15. Vettori e geometria vettoriale
Un vettore descrive grandezza e direzione mediante componenti. Le operazioni vettoriali permettono di trattare geometria, fisica e algebra lineare con lo stesso linguaggio.
Operazioni, norma e prodotto scalare
Somma e moltiplicazione per scalare si eseguono componente per componente. La norma euclidea nasce dal teorema di Pitagora; il prodotto scalare misura l’allineamento tra due vettori.
Norma e prodotto scalare
Significato dei simboli. uᵢ e vᵢ sono le componenti. Il prodotto è zero per vettori ortogonali non nulli.
La disuguaglianza di Cauchy–Schwarz |u·v|≤∥u∥∥v∥ garantisce che il coseno dell’angolo, definito dal rapporto tra i due membri, sia compreso tra −1 e 1.
Esempio guidato — angolo
u=(1,0), v=(1,1). u·v=1, ∥u∥=1 e ∥v∥=√2; dunque cosθ=1/√2 e θ=π/4.
Dipendenza lineare, span e basi
I vettori sono linearmente dipendenti se esiste una combinazione lineare nulla con coefficienti non tutti zero. Sono indipendenti se l’unica combinazione nulla è quella con tutti i coefficienti zero.
Lo span è l’insieme di tutte le combinazioni lineari. Una base è un insieme indipendente che genera lo spazio; le coordinate di un vettore dipendono dalla base, mentre il vettore geometrico no.
Errore frequente
Due vettori non nulli sono dipendenti quando uno è multiplo dell’altro; in dimensione maggiore la verifica non si riduce sempre a un confronto visivo.
Schema di ripasso
- Norma: lunghezza.
- Prodotto scalare: allineamento e ortogonalità.
- Base: indipendenza più generazione.