17. Sistemi lineari
Un sistema lineare cerca un vettore x che soddisfi Ax=b. Può avere una soluzione unica, infinite soluzioni o nessuna soluzione; l’eliminazione rende visibile quale caso si presenta.
Eliminazione di Gauss e Gauss–Jordan
Le operazioni elementari — scambio di righe, moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo, somma a una riga di un multiplo di un’altra — non cambiano l’insieme delle soluzioni. Gauss porta la matrice aumentata in forma a scala; Gauss–Jordan prosegue finché ogni pivot è l’unico elemento non nullo della propria colonna.
Esempio guidato — eliminazione
Il sistema x+y=3, 2x−y=0 ha matrice aumentata [[1,1|3],[2,−1|0]]. Sostituendo R₂←R₂−2R₁ si ottiene [0,−3|−6], dunque y=2 e poi x=1.
Errore frequente
Le operazioni vanno applicate all’intera riga, incluso il termine noto.
Rango, Rouché–Capelli e sistemi parametrici
Il teorema di Rouché–Capelli afferma che Ax=b è compatibile se e solo se rango(A)=rango(A|b). Se il rango comune coincide con il numero n delle incognite, la soluzione è unica; se è minore di n, esistono n−r parametri liberi.
Nei sistemi dipendenti da un parametro si individuano i valori per cui cambiano pivot o rango. Non si può dividere per un’espressione contenente il parametro senza separare il caso in cui essa è zero.
Esempio guidato — parametro
kx+y=1, x+ky=1. Il determinante è k²−1. Per k≠±1 la soluzione è unica. Per k=1 le due equazioni coincidono e vi sono infinite soluzioni; per k=−1 diventano incompatibili.
Schema di ripasso
- Riduci la matrice aumentata.
- Confronta i ranghi.
- Conta incognite e parametri liberi.
- Se compaiono parametri, separa i valori critici.