19. Ottimizzazione in più variabili
Ottimizzare significa cercare punti in cui una funzione raggiunge valori localmente o globalmente estremi. In più variabili il gradiente individua i candidati e la Hessiana descrive la curvatura.
Hessiana e forme quadratiche
La Hessiana H raccoglie le derivate seconde. Vicino a un punto stazionario, la forma quadratica hᵀHh è il termine che descrive la curvatura di secondo ordine.
In due variabili, D=fₓₓfᵧᵧ−fₓᵧ²: se D>0 e fₓₓ>0 c’è un minimo locale; se D>0 e fₓₓ<0 un massimo; se D<0 un punto di sella; se D=0 il test è inconcludente.
Errore frequente
D=0 non significa punto di sella: significa soltanto che il test della Hessiana non decide.
Punti stazionari e classificazione
Un punto interno differenziabile di massimo o minimo locale deve avere ∇f=0. Si risolve quindi il sistema delle derivate prime e si classificano i candidati con Hessiana, confronto diretto o termini di ordine superiore.
Esempio guidato — classificazione
f(x,y)=x²−y². Il gradiente (2x,−2y) si annulla in (0,0). La Hessiana diag(2,−2) è indefinita e D=−4<0: lungo l’asse x la funzione cresce, lungo y diminuisce, quindi l’origine è una sella.
Vincoli e moltiplicatori di Lagrange
Con il vincolo g(x,y)=c, in un estremo regolare le curve di livello di f e g sono tangenti: i gradienti sono paralleli.
Sistema di Lagrange
Significato dei simboli. λ è il moltiplicatore; l’ultima equazione impone il vincolo. Occorre inoltre controllare punti non regolari e bordi.
Esempio guidato — distanza con vincolo
Massimizzare e minimizzare f=x+y su x²+y²=1. Da (1,1)=λ(2x,2y) segue x=y. Col vincolo, x=y=±1/√2. I valori sono ±√2.
Schema di ripasso
- Trova tutti i candidati.
- Classifica gli interni con la Hessiana.
- Confronta anche bordo e punti non regolari.
- Su insiemi compatti una funzione continua raggiunge estremi assoluti.