4. Trigonometria
La trigonometria nasce dai rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo, ma la circonferenza goniometrica estende seno e coseno a ogni angolo e permette di descrivere fenomeni periodici.
Angoli e circonferenza goniometrica
Un radiante è l’angolo che sottende un arco lungo quanto il raggio. Poiché una circonferenza è lunga 2πr, un giro completo misura 2π radianti, cioè 360°.
Conversione
Significato dei simboli. α è lo stesso angolo espresso nelle due unità.
Sulla circonferenza unitaria il punto associato ad α ha coordinate (cos α, sin α). Questa definizione determina segni, periodicità e valori speciali senza dipendere da un triangolo particolare.
Funzioni e identità trigonometriche
Identità fondamentale
Significato dei simboli. Seno e coseno sono le coordinate di un punto della circonferenza unitaria; l’identità è il teorema di Pitagora x²+y²=1.
La tangente è sin α/cos α ed esiste quando cos α≠0. Le funzioni inverse arcsin, arccos e arctan restituiscono un angolo in un intervallo principale; non sono i reciproci 1/sin, 1/cos e 1/tan.
Esempio guidato — equazione trigonometrica
2sin x=1 implica sin x=1/2. In [0,2π) le soluzioni sono π/6 e 5π/6; su ℝ si aggiungono multipli di 2π.
Errore frequente
Da sin²x=sin x non si può cancellare sin x: si perderebbe la soluzione sin x=0. Occorre raccogliere sin x(sin x−1)=0.
Schema di ripasso
- Usa i radianti nel calcolo infinitesimale.
- Controlla il quadrante per determinare i segni.
- Scrivi la periodicità nelle soluzioni generali.