13. Studio completo di funzione
Lo studio di funzione organizza tutti gli strumenti precedenti per ricostruire un grafico affidabile. L’ordine dei controlli evita calcoli inutili e interpretazioni contraddittorie.
Procedura operativa
Si determinano: dominio; eventuali simmetrie e periodicità; intersezioni con gli assi; segno; limiti ai bordi del dominio e all’infinito; asintoti; derivata prima e monotonia; punti stazionari ed estremi; derivata seconda, concavità e flessi. Il grafico si costruisce soltanto dopo aver coordinato queste informazioni.
Schema di ripasso
- Dominio e simmetrie.
- Zeri, segno e limiti.
- Asintoti.
- Derivata prima: crescita ed estremi.
- Derivata seconda: concavità e flessi.
- Grafico coerente con tutti i risultati.
Esempio completo: funzione razionale
Esempio guidato — f(x)=(x²−1)/(x−2)
Dominio. ℝ{2}. Zeri. x=−1 e x=1. Segno. Si studiano i fattori (x−1)(x+1)/(x−2).
Asintoti. La divisione dà f(x)=x+2+3/(x−2): x=2 è verticale e y=x+2 è obliquo.
Derivata. f′(x)=1−3/(x−2)². Si annulla per (x−2)²=3, cioè x=2±√3. Il segno della derivata classifica il primo come massimo locale e il secondo come minimo locale.
Seconda derivata. f″(x)=6/(x−2)³: concava verso il basso a sinistra di 2 e verso l’alto a destra. x=2 non è un flesso perché non appartiene al dominio.
Errore frequente
Un cambio di concavità in corrispondenza di un punto escluso non produce un punto di flesso.
Esempio completo: funzione logaritmica
Esempio guidato — g(x)=ln x−x/2
Dominio. x>0. Limiti. g(x)→−∞ per x→0⁺ e per x→+∞. Derivata. g′(x)=1/x−1/2, positiva per 0<x<2 e negativa per x>2: massimo assoluto in x=2, con valore ln2−1.
Concavità. g″(x)=−1/x²<0 su tutto il dominio, quindi il grafico è sempre concavo verso il basso. Gli zeri non si esprimono con funzioni elementari, ma se ne può discutere l’esistenza tramite continuità e monotonia.