6. Funzioni elementari
Le funzioni elementari sono i mattoni con cui si costruiscono modelli più complessi. Conoscerne dominio, immagine, monotonia e grafico riduce gran parte dello studio successivo a trasformazioni note.
Polinomiali, razionali e radicali
I polinomi sono definiti su tutto ℝ e sono continui. Una funzione razionale P(x)/Q(x) esclude gli zeri di Q. Una funzione con radice di indice pari richiede radicando non negativo; con indice dispari accetta ogni reale.
La funzione affine y=mx+q ha variazione costante m. La quadratica y=ax²+bx+c ha grafico parabolico, asse x=−b/(2a) e vertice ottenuto sostituendo tale ascissa.
Esempio guidato — trasformazione
y=(x−2)²−3 è il grafico di y=x² spostato di 2 a destra e 3 verso il basso; il vertice è (2,−3).
Esponenziali e logaritmi
Per a>0, a≠1, l’esponenziale aˣ è sempre positivo: cresce se a>1 e decresce se 0<a<1. Il logaritmo logₐx è la sua inversa, ha dominio x>0 e passa per (1,0).
Proprietà del logaritmo
Significato dei simboli. x e y devono essere positivi; a è una base positiva diversa da 1.
Errore frequente
log(x+y) non è log x + log y. La proprietà riguarda il prodotto, non la somma.
Trigonometriche e iperboliche
Seno e coseno sono periodici di periodo 2π e limitati tra −1 e 1; la tangente ha periodo π e asintoti verticali. Le funzioni iperboliche sinh e cosh nascono da combinazioni di eˣ ed e⁻ˣ e soddisfano cosh²x−sinh²x=1.
Schema di ripasso
- Determina prima dominio e periodicità.
- Memorizza il grafico base e usa trasformazioni.
- Non confondere identità circolari e iperboliche: il segno centrale cambia.