18. Funzioni di più variabili
Una funzione f(x,y) assegna un numero a ogni punto del proprio dominio nel piano. Il grafico è una superficie nello spazio; le curve di livello permettono di leggerla restando nel piano.
Dominio in ℝ² e curve di livello
Il dominio si ottiene imponendo simultaneamente tutte le condizioni: denominatori non nulli, radicandi pari non negativi e argomenti dei logaritmi positivi. Il risultato è una regione del piano, non un intervallo.
La curva di livello f(x,y)=k raccoglie i punti in cui la funzione assume lo stesso valore k, come le curve altimetriche di una carta geografica.
Esempio guidato — dominio e livelli
f(x,y)=√(4−x²−y²) ha dominio x²+y²≤4, il disco di raggio 2. Le curve di livello k∈[0,2] soddisfano x²+y²=4−k²: circonferenze concentriche.
Limiti e continuità
In due variabili un punto può essere raggiunto lungo infinite traiettorie. Se due cammini producono limiti diversi, il limite non esiste; se coincidono, ciò non basta ancora a provarne l’esistenza. Servono stime, coordinate polari o una dimostrazione ε–δ.
Esempio guidato — limite inesistente
f(x,y)=xy/(x²+y²). Verso (0,0), lungo y=x vale 1/2, mentre lungo y=−x vale −1/2. Il limite non esiste.
Errore frequente
Controllare soltanto gli assi x e y non prova l’esistenza di un limite in due variabili.
Derivate parziali, gradiente e direzionali
La derivata parziale rispetto a x varia x lasciando y fisso. Il gradiente raccoglie tutte le derivate parziali e indica la direzione di massima crescita locale.
Derivata direzionale
Significato dei simboli. p è il punto, u deve essere un vettore unitario, ∇f(p) è il gradiente. La formula vale se f è differenziabile.
Le curve di livello regolari sono ortogonali al gradiente, perché muovendosi lungo il livello il valore non cambia.
Piano tangente e differenziabilità
Piano tangente
Significato dei simboli. (a,b) è il punto base; fₓ e fᵧ sono le pendenze nelle direzioni coordinate.
La differenziabilità significa che l’errore rispetto all’approssimazione lineare è trascurabile rispetto alla distanza dal punto. L’esistenza delle sole derivate parziali non basta; la continuità delle parziali in un intorno è una condizione sufficiente comune.
Schema di ripasso
- Disegna il dominio.
- Per i limiti considera ogni direzione.
- Il gradiente riunisce le pendenze locali.
- Differenziabilità è più forte dell’esistenza delle parziali.