11. Derivate e calcolo differenziale
La derivata misura la variazione istantanea. Nasce dal rapporto tra una variazione dell’uscita e la corrispondente variazione dell’ingresso quando quest’ultima tende a zero.
Rapporto incrementale e significato
Definizione di derivata
Significato dei simboli. h è l’incremento dell’input; il numeratore è l’incremento dell’output. Il limite, se finito, è la pendenza della tangente e il tasso di variazione istantaneo.
La derivabilità implica la continuità, ma non vale il contrario: |x| è continua in 0, però le pendenze laterali sono −1 e 1, quindi non è derivabile.
Esempio guidato — dalla definizione
Per f(x)=x², [(x+h)²−x²]/h=(2xh+h²)/h=2x+h. Mandando h a zero si ottiene f′(x)=2x.
Regole di derivazione
La linearità permette di derivare somme termine a termine. Il prodotto e il quoziente richiedono regole specifiche; la catena deriva una composizione moltiplicando la derivata esterna, valutata nell’interno, per la derivata interna.
Regola della catena
Significato dei simboli. f è la funzione esterna, g quella interna; entrambe devono essere derivabili nei punti coinvolti.
Le derivate successive descrivono variazioni di ordine superiore. f″ misura come cambia la pendenza ed è centrale per concavità e classificazione degli estremi.
Esempio guidato — catena
Se y=(3x²+1)⁵, la funzione esterna è u⁵ e l’interno è u=3x²+1. Quindi y′=5(3x²+1)⁴·6x=30x(3x²+1)⁴.
Errore frequente
La derivata di un prodotto non è il prodotto delle derivate: (fg)′=f′g+fg′.
Tangente, normale e approssimazione lineare
Retta tangente
Significato dei simboli. a è l’ascissa di tangenza; f(a) è l’ordinata; f′(a) è la pendenza.
Se f′(a)≠0, la normale ha pendenza −1/f′(a). Vicino ad a, la tangente fornisce l’approssimazione f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a).
Schema di ripasso
- Derivata = limite del rapporto incrementale.
- Interpreta unità e segno del tasso di variazione.
- Usa la catena dall’esterno verso l’interno.