16. Matrici
Una matrice organizza numeri in righe e colonne e rappresenta trasformazioni lineari o sistemi di equazioni. Le operazioni non sono una semplice estensione dell’aritmetica: l’ordine del prodotto conta.
Tipi e operazioni
Due matrici si sommano solo se hanno le stesse dimensioni. Il prodotto AB è definito quando il numero di colonne di A coincide con il numero di righe di B; l’elemento (i,j) si ottiene dal prodotto scalare tra la riga i di A e la colonna j di B.
Errore frequente
In generale AB≠BA e uno dei due prodotti può esistere mentre l’altro no.
Determinante, rango e inversa
Il determinante di una matrice quadrata misura il fattore di scala orientato della trasformazione. det A=0 significa che lo spazio viene schiacciato in una dimensione inferiore e A non è invertibile.
Determinante 2×2
Significato dei simboli. a,b,c,d sono gli elementi delle due righe. La formula confronta le due diagonali orientate.
Il rango è il numero massimo di righe o colonne linearmente indipendenti. Si calcola in modo stabile riducendo la matrice con operazioni elementari. Una matrice quadrata n×n è invertibile se e solo se ha rango n, determinante non nullo e nucleo ridotto al vettore zero.
Esempio guidato — inversa 2×2
Per A=[[a,b],[c,d]] con ad−bc≠0, A⁻¹=(1/(ad−bc))[[d,−b],[−c,a]]. Moltiplicare A per questa matrice restituisce l’identità.
Schema di ripasso
- Controlla le dimensioni prima del prodotto.
- det≠0 equivale a invertibilità per matrici quadrate.
- Il rango si legge dai pivot dopo l’eliminazione.