8. Serie numeriche
Una serie non è la successione dei termini aₙ, ma la successione delle somme parziali Sₙ=a₁+⋯+aₙ. La serie converge quando Sₙ tende a un numero finito.
Significato della convergenza
Somma parziale
Significato dei simboli. aₖ è il termine k-esimo; Sₙ è la somma dei primi n termini. La serie converge se la successione Sₙ ha limite finito.
Condizione necessaria è aₙ→0, ma non è sufficiente: la serie armonica ∑1/n diverge nonostante 1/n→0.
Esempio guidato — serie geometrica
Per ∑qⁿ con n da 0 a ∞, le somme parziali valgono (1−qⁿ⁺¹)/(1−q). Se |q|<1, qⁿ⁺¹→0 e la somma è 1/(1−q). Se |q|≥1, la serie diverge.
Errore frequente
Calcolare il limite del termine generale non calcola la somma della serie. Serve studiare le somme parziali o applicare un criterio.
Criteri di convergenza
Per serie a termini non negativi si usano confronto, confronto asintotico, rapporto e radice. Il criterio integrale collega ∑f(n) all’integrale improprio di f. Per segni alterni, il criterio di Leibniz richiede termini positivi decrescenti verso zero.
La convergenza assoluta di ∑|aₙ| implica la convergenza di ∑aₙ. La convergenza condizionata è più fragile: riordinare i termini può alterare la somma.
Schema di ripasso
- Verifica subito che aₙ→0.
- Riconosci geometriche e serie p: ∑1/nᵖ converge solo per p>1.
- Scegli il criterio in base alla forma dei termini.