7. Successioni
Una successione è una funzione definita sui naturali: a ogni indice n associa un termine aₙ. Non descrive un unico numero, ma il comportamento di una sequenza quando n cresce.
Definizione, convergenza e divergenza
Dire che aₙ converge a L significa che i termini possono essere resi arbitrariamente vicini a L scegliendo n abbastanza grande. La definizione rigorosa afferma: per ogni ε>0 esiste N tale che n≥N implica |aₙ−L|<ε.
Se non esiste un limite reale finito, la successione diverge. Può tendere a +∞ o −∞, oscillare senza stabilizzarsi oppure avere sottosuccessioni con limiti diversi.
Esempio guidato — convergenza
aₙ=1/n converge a 0. Dato ε>0, basta scegliere N>1/ε: se n≥N, allora 1/n≤1/N<ε.
Errore frequente
Termini sempre più piccoli non garantiscono da soli la convergenza a zero: bisogna chiarire in quale senso e dimostrare il comportamento per ogni ε.
Monotonia, limitatezza e ricorrenza
Una successione crescente e limitata superiormente converge; analogamente una decrescente e limitata inferiormente converge. Questo teorema garantisce l’esistenza del limite anche quando non sappiamo ancora calcolarlo.
Le successioni ricorsive definiscono ogni termine attraverso i precedenti. Per studiarne il limite si devono prima provare limitatezza e monotonia; soltanto dopo, se il limite esiste, si può passare formalmente al limite nella ricorrenza.
Schema di ripasso
- Individua il termine generale o la ricorrenza.
- Controlla monotonia e limiti.
- Distingui limite finito, infinito e oscillazione.