Definizione rigorosa di continuità

Una funzione $f:D\to\mathbb R$ è continua in $a\in D$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che, per ogni $x\in D$, da $|x-a|<\delta$ segue $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$. Rispetto alla definizione di limite non si esclude $x=a$, perché proprio in quel punto la differenza delle uscite è zero. Se $a$ è anche un punto di accumulazione del dominio, la definizione equivale a

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$

Occorre quindi che il valore $f(a)$ sia definito, che il limite relativo al dominio esista finito e che i due coincidano. In un punto interno raggiungibile da entrambi i lati, il controllo si riassume così:

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).$$

La rappresentazione intuitiva «disegnare senza staccare la penna» aiuta sui normali intervalli, ma non sostituisce questa definizione. La continuità è una proprietà rispetto al dominio effettivo, e non richiede necessariamente che esista un grafico su tutta la retta reale.

Continuità laterale, agli estremi e nei punti isolati

Su un intervallo chiuso $[a,b]$, essere continui significa esserlo in ogni punto interno, essere continui da destra in $a$ e da sinistra in $b$. Non si richiedono valori esterni al dominio. La funzione $\sqrt{x}$ è perciò continua in $0$ sul dominio $[0,+\infty)$, perché $\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0=f(0)$.

Ogni funzione è continua in un punto isolato del proprio dominio: scegliendo una δ abbastanza piccola, l’unico punto del dominio nell’intorno è il centro, e la differenza $|f(x)-f(a)|$ è zero. Questo non fornisce un limite bucato ordinario in quel punto, perché manca l’ipotesi di accumulazione.

In senso rigoroso, si parla di continuità o discontinuità di $f$ nei punti del suo dominio. Nei manuali scolastici si chiamano spesso «punti di discontinuità» anche punti esclusi dal dominio ma di accumulazione, distinguendo singolarità eliminabili e non eliminabili. Useremo anche questa convenzione, dichiarando sempre se il valore nel punto manca. Le tre specie descritte sotto presuppongono, nella loro classificazione bilaterale, che entrambi i lati siano raggiungibili.

Funzioni elementari e operazioni che conservano la continuità

Polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, radicali e funzioni trigonometriche inverse sono continui nei rispettivi domini. Anche somma, prodotto e composizione di funzioni continue sono continui dove le operazioni sono definite; il quoziente lo è dove il denominatore non si annulla. Queste proprietà spiegano perché moltissimi limiti si calcolano per sostituzione.

La funzione $1/x$ è continua in ogni punto del suo dominio $\mathbb R\setminus\{0\}$. L’assenza del valore in zero non autorizza a dire che «è discontinua ovunque». Analogamente, per studiare una funzione a tratti basta normalmente controllare i raccordi fra le diverse formule e gli eventuali punti problematici all’interno dei singoli tratti.

Derivabilità e continuità non sono equivalenti. La derivabilità in un punto implica continuità, ma il contrario è falso: $|x|$ è continua in zero, pur avendo derivate laterali diverse. Un angolo nel grafico non è quindi una discontinuità della funzione; riguarda la derivata.

Discontinuità di prima specie: il salto

Si ha una discontinuità di prima specie, o di salto, quando i due limiti laterali esistono entrambi finiti, ma sono diversi. Indichiamo con $L_-$ il limite sinistro e con $L_+$ quello destro:

$$L_-,L_+\in\mathbb R,\qquad L_-\ne L_+.$$

L’ampiezza del salto è $|L_+-L_-|$; se interessa anche la direzione si può considerare il salto con segno $L_+-L_-$. Il valore assegnato a $f(a)$ può coincidere con uno dei due limiti, con nessuno, oppure mancare: non modifica il fatto che i due lati non si raccordano. Nessuna scelta del solo valore centrale può rendere continua la funzione.

Esempio svolto

Sia $f(x)=x+1$ per $x<0$ e $f(x)=x+3$ per $x\ge0$. In zero, il limite sinistro è $1$, quello destro è $3$ e $f(0)=3$. La funzione è continua da destra, ma non è continua in senso bilaterale; presenta una discontinuità di prima specie con salto di ampiezza $2$.

Un secondo esempio è la parte intera $\lfloor x\rfloor$, cioè il massimo intero non superiore a $x$: in ogni intero $k$ il limite sinistro è $k-1$, il destro è $k$ e il salto è $1$.

Discontinuità di seconda specie: limiti infiniti o inesistenti

Si ha una discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due limiti laterali è infinito oppure non esiste, neppure come infinito con segno. La categoria comprende quindi comportamenti differenti: divergenza verticale da uno o entrambi i lati, oppure oscillazione persistente. Non basta dire che «il limite bilaterale non esiste», perché ciò accade anche nel salto; bisogna esaminare i singoli lati.

Caso infinito

Per $f(x)=1/x$, in zero il limite sinistro è $-\infty$ e quello destro è $+\infty$: seconda specie e asintoto verticale $x=0$. Per $1/x^2$ entrambi sono $+\infty$, quindi il limite bilaterale infinito esiste, ma la singolarità resta di seconda specie. Una funzione reale continua non può avere come valore centrale $+\infty$.

Caso oscillante

Per $\sin(1/x)$ i limiti laterali in zero non esistono a causa delle oscillazioni fra $-1$ e $1$. Anche questa è seconda specie, pur essendo la funzione limitata e senza asintoto verticale. Il prodotto $x\sin(1/x)$, invece, tende a zero: definendolo uguale a zero nel centro si ottiene una funzione continua. Conta dunque il comportamento dell’ampiezza, non la semplice presenza di oscillazioni.

Discontinuità di terza specie: il caso eliminabile

Si ha una discontinuità di terza specie, o eliminabile, quando i due limiti laterali sono uguali e finiti, ma il valore della funzione nel punto è diverso dal limite oppure non è definito. La denominazione «terza specie» è diffusa nella scuola italiana; alcuni testi usano soltanto «eliminabile» e la trattano separatamente dalle prime due specie. Il criterio matematico è lo stesso:

$$L_-=L_+=L\in\mathbb R,\qquad f(a)\ne L\ \text{oppure }f(a)\text{ non definita}.$$

L’aggettivo eliminabile significa che basta ridefinire o aggiungere un solo valore, ponendo $f(a)=L$, per rendere continua la funzione nel punto. Il prolungamento continuo è unico, perché il limite è unico.

Esempio svolto con valore errato

Consideriamo $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ per $x\ne1$ e $f(1)=0$. Fuori dal centro la funzione coincide con $x+1$, quindi i due limiti laterali sono $2$. Il punto $1$ è di terza specie perché $f(1)=0\ne2$. Sostituendo soltanto quel valore con $f(1)=2$, il grafico diventa la retta completa $y=x+1$.

Esempio svolto con valore mancante

La funzione $\sin x/x$ non è definita in zero, ma il suo limite è $1$. Aggiungendo il valore $1$ nel centro si ottiene il prolungamento continuo. Non ogni denominatore nullo produce però un buco eliminabile: $1/x$ non ammette alcun prolungamento continuo reale in zero.

Tabella comparativa e procedura di classificazione

1. Verifica dominio e possibilità di avvicinamento da entrambi i lati.
2. Calcola il limite sinistro con la formula valida a sinistra e quello destro con la formula valida a destra.
3. Se almeno uno è infinito o inesistente, classifica come seconda specie.
4. Se entrambi sono finiti ma diversi, classifica come prima specie e calcola il salto.
5. Se sono finiti e uguali, confronta il valore comune con $f(a)$: coincidenza significa continuità; valore diverso o mancante significa terza specie secondo la convenzione scolastica.

Non confondere un cerchietto vuoto nel grafico con una classificazione automatica: bisogna leggere anche dove arrivano i due rami. Un grafico può mostrare un punto escluso in presenza di un salto, e un punto pieno assegnato arbitrariamente in presenza di un asintoto.

Funzioni con parametri: rendere continuo un raccordo

Esempio svolto con due parametri

Sia $f(x)=ax+2$ per $x<1$, $f(1)=b$ e $f(x)=x^2+3$ per $x>1$. Il limite sinistro è $a+2$, quello destro è $4$. La continuità richiede simultaneamente $a+2=4$ e $b=4$, quindi $a=2$, $b=4$.

Questo stesso esempio permette una classificazione completa: se $a\ne2$, i limiti laterali sono finiti e diversi, dunque c’è un salto qualunque sia $b$; se $a=2$ ma $b\ne4$, i lati coincidono e c’è una discontinuità eliminabile; se $a=2$ e $b=4$, la funzione è continua. Non basta dunque trovare il parametro che rende uguali i lati: va controllato anche il valore assegnato al punto.

Esempio svolto con parametro in un limite notevole

Sia $g(x)=\sin(kx)/x$ per $x\ne0$ e $g(0)=3$. Il limite in zero è $k$, anche per $k=0$ perché in quel caso il numeratore è identicamente nullo. Per la continuità deve essere $k=3$. Un parametro non deve essere cancellato senza controllare il caso in cui vale zero.

Esercizio completo: tre specie nella stessa funzione

Consideriamo la funzione seguente, definita su $\mathbb R\setminus\{2\}$:

$$f(x)=\begin{cases} x+1 & x<0,\\ 5 & x=0,\\ x+1 & 0<x<1,\\ \dfrac1{x-2} & x\ge1,\ x\ne2. \end{cases}$$

In $0$, entrambe le formule vicine danno limite $1$, mentre $f(0)=5$: c’è una discontinuità di terza specie, eliminabile ponendo $f(0)=1$. In $1$, il limite sinistro è $2$ e il destro è $-1$, coincidente con $f(1)$: c’è una discontinuità di prima specie, con ampiezza del salto $|-1-2|=3$. In $2$, il limite sinistro è $-\infty$ e quello destro è $+\infty$: c’è una singolarità di seconda specie, con asintoto verticale $x=2$.

Negli altri punti ogni tratto è continuo nel proprio dominio. Il controllo è quindi completo: i soli punti problematici sono i raccordi $0$ e $1$ e il polo $2$. Modificare $f(0)$ risolve soltanto il primo problema; modificare i valori in $1$ o aggiungerne uno in $2$ non risolve gli altri due.

Teorema degli zeri, valori intermedi e Weierstrass

Teorema degli zeri, o di Bolzano. Se $f$ è continua su $[a,b]$ e $f(a)f(b)<0$, esiste almeno un $c\in(a,b)$ tale che $f(c)=0$. Il passaggio da un segno all’altro non può saltare lo zero. L’ipotesi di continuità sull’intero intervallo è indispensabile: $1/x$ cambia segno fra $-1$ e $1$, ma non ha zeri e non è continua né definita in tutto quell’intervallo.

Teorema dei valori intermedi. Una funzione continua su $[a,b]$ assume ogni valore compreso fra $f(a)$ e $f(b)$. Più in generale, l’immagine di un intervallo mediante una funzione continua è un intervallo. Ciò non significa che il valore cercato sia assunto una sola volta: l’unicità può essere garantita, per esempio, dalla stretta monotonia.

Teorema di Weierstrass. Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ è limitata e raggiunge un massimo e un minimo assoluti. «Raggiunge» significa che esistono punti dell’intervallo nei quali assume effettivamente i due estremi. Su $(0,1)$ la funzione $f(x)=x$ è continua e limitata, ma non raggiunge né $0$ né $1$: gli estremi esclusi mostrano perché la chiusura dell’intervallo conta.

Esempio svolto: esistenza e unicità di una radice

Il polinomio $p(x)=x^3+x-1$ è continuo su $[0,1]$, con $p(0)=-1$ e $p(1)=1$: esiste almeno uno zero interno. Inoltre è strettamente crescente, perché sia $x^3$ sia $x$ sono crescenti e la loro somma è strettamente crescente. Lo zero è dunque unico. Il teorema degli zeri ha fornito l’esistenza; la monotonia ha fornito l’unicità.

Bisezione e continuità uniforme

Il metodo di bisezione trasforma il teorema degli zeri in un procedimento numerico. Da un intervallo $[a,b]$ in cui una funzione continua assume segni opposti agli estremi, si calcola il punto medio. Se la funzione lì è zero, il problema è risolto; altrimenti si conserva la metà in cui gli estremi mantengono segni opposti. Ripetendo, dopo $n$ dimezzamenti la lunghezza è $(b-a)/2^n$. Il punto medio dell’intervallo finale dista da uno zero presente nell’intervallo al massimo metà di questa lunghezza.

La continuità uniforme richiede una sola δ che funzioni in tutto il dominio per la tolleranza scelta: per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che, per ogni coppia $x,y\in D$, da $|x-y|<\delta$ segue $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Nella continuità ordinaria δ può dipendere dal punto; qui non può. Il teorema di Heine–Cantor garantisce la continuità uniforme di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato.

Per esempio $x^2$ è continua su tutta $\mathbb R$ ma non uniformemente continua lì: scegliendo $x_n=n$ e $y_n=n+1/n$, la distanza degli ingressi è $1/n\to0$, mentre $y_n^2-x_n^2=2+1/n^2$ non tende a zero. Su ogni intervallo chiuso e limitato, invece, $x^2$ è uniformemente continua. Questo approfondimento chiarisce perché «vicinanza degli ingressi» possa richiedere tolleranze diverse in parti diverse del dominio.

Esercizi di continuità e domande di ripasso

Classificare una singolarità razionale

Per $h(x)=(x^2-4)/(x-2)$, il dominio esclude $2$ e la semplificazione dà $h(x)=x+2$ per $x\ne2$. Il limite è $4$: la singolarità è eliminabile, cioè di terza specie nella classificazione adottata. Il prolungamento continuo richiede $h(2)=4$; non c’è asintoto verticale.

Distinguere salto e divergenza

La funzione $|x|/x$ ha in zero limiti $-1$ e $1$: prima specie, salto $2$. La funzione $1/|x|$ ha entrambi i limiti uguali a $+\infty$: seconda specie. La presenza di due limiti «uguali» non basta alla continuità o alla terza specie, perché in quei casi devono essere finiti.

Domande con risposta ragionata

• Se $f(a)$ è definita, la funzione è continua? No: il valore deve coincidere col limite. Un valore assegnato arbitrariamente non controlla i punti vicini.
• Una funzione limitata può avere una discontinuità di seconda specie? Sì: $\sin(1/x)$ oscilla senza limite in zero pur restando fra $-1$ e $1$.
• Il limite può esistere senza continuità? Sì: se manca il valore nel punto o se è diverso dal limite, il limite finito esiste ma c’è una singolarità eliminabile.
• Un salto si elimina scegliendo il valore intermedio fra i due lati? No: i due limiti restano diversi qualunque valore centrale si assegni.
• Una funzione continua è necessariamente derivabile? No: $|x|$ in zero è il controesempio fondamentale.
• Un punto escluso dal dominio è sempre un asintoto verticale? No: può essere eliminabile, di salto o oscillante; servono i limiti laterali.
• Il cambio di segno garantisce sempre uno zero? Soltanto con le ipotesi del teorema degli zeri, in particolare la continuità su tutto l’intervallo chiuso considerato.
• Che cosa si confronta in un punto interno? Limite sinistro, limite destro e valore della funzione: tre informazioni distinte, da non confondere.