3. Geometria analitica
La geometria analitica traduce figure e proprietà geometriche in equazioni. Un punto diventa una coppia di coordinate; una curva è l’insieme dei punti che soddisfano una relazione.
Piano cartesiano, retta e distanze
La retta in forma affine è y=mx+q: m misura la pendenza, q l’intercetta con l’asse y. La funzione è lineare in senso stretto solo quando q=0; con q≠0 è affine.
Retta per due punti
Significato dei simboli. (x₁,y₁) e (x₂,y₂) sono punti distinti con x₁≠x₂; m è il coefficiente angolare.
Distanza tra due punti
Significato dei simboli. La formula deriva dal teorema di Pitagora applicato alle differenze orizzontale e verticale.
Errore frequente
Una retta verticale x=k non può essere scritta come y=mx+q: il suo coefficiente angolare non è definito.
Circonferenza e coniche
La circonferenza raccoglie i punti a distanza costante r dal centro (h,k); la sua equazione deriva direttamente dalla formula della distanza.
Circonferenza
Significato dei simboli. (h,k) è il centro e r>0 è il raggio.
Parabola, ellisse e iperbole sono coniche. La parabola y=ax²+bx+c ha asse verticale; il segno di a stabilisce la concavità e il vertice ha ascissa −b/(2a). Ellisse e iperbole si riconoscono, in forma canonica, rispettivamente dalla somma o dalla differenza di due quadrati normalizzati.
Esempio guidato — circonferenza
x²+y²−4x+6y−12=0. Completando i quadrati: (x−2)²+(y+3)²=25. Il centro è (2,−3) e il raggio è 5.
Schema di ripasso
- Disegna punti notevoli e intersezioni con gli assi.
- Porta le coniche in forma canonica completando i quadrati.
- Verifica sempre che il raggio o i semiassi siano reali e positivi.