2. Equazioni e disequazioni
Un’equazione cerca i valori che rendono vera un’uguaglianza; una disequazione cerca un insieme di valori che rende vero un confronto. Le trasformazioni devono preservare l’insieme delle soluzioni, tenendo sotto controllo dominio e segni.
Primo e secondo grado
Per ax+b=0 con a ≠ 0 si isola l’incognita applicando la stessa operazione ai due membri.
Equazione lineare
Significato dei simboli. a è il coefficiente di x e deve essere diverso da zero; b è il termine noto.
Nel secondo grado ax²+bx+c=0 la formula risolutiva nasce dal completamento del quadrato. Il discriminante Δ=b²−4ac anticipa il numero di soluzioni reali.
Formula risolutiva
Significato dei simboli. a, b, c sono i coefficienti con a ≠ 0; il segno ± produce le due eventuali radici.
Esempio guidato — secondo grado
2x²−5x−3=0. Δ=25+24=49; quindi x=(5±7)/4. Si ottengono x=3 e x=−1/2. La sostituzione nell’equazione iniziale conferma entrambe.
Errore frequente
Il denominatore della formula è 2a, non soltanto 2. Inoltre −b riguarda tutto il coefficiente b, compreso il suo segno.
Fratte, irrazionali e con valore assoluto
Nelle equazioni fratte si fissano le condizioni di esistenza e poi si moltiplica per il minimo comune multiplo. Nelle irrazionali si isola il radicale prima di elevare al quadrato: il quadrato può introdurre soluzioni estranee, quindi la verifica finale è obbligatoria.
Esempio guidato — equazione irrazionale
√(x+1)=x−1. Il membro destro deve essere non negativo, dunque x≥1. Quadrando: x+1=x²−2x+1, quindi x(x−3)=0. Tra 0 e 3, solo 3 rispetta x≥1 e verifica l’originale.
Per |A(x)|=k: se k<0 non vi sono soluzioni; se k≥0 si risolvono A(x)=k oppure A(x)=−k. Per le disequazioni, |A|<k descrive −k<A<k, mentre |A|>k descrive A<−k oppure A>k.
Errore frequente
Elevare al quadrato è un’implicazione, non sempre un’equivalenza. Una soluzione dell’equazione trasformata può non soddisfare quella iniziale.
Disequazioni e studio del segno
In una disequazione moltiplicare o dividere per un numero negativo inverte il verso. Per prodotti e quozienti conviene trovare zeri e punti esclusi, ordinare questi valori sulla retta e costruire la tabella dei segni.
Esempio guidato — disequazione fratta
(x−2)/(x+1) ≥ 0. I punti critici sono −1, escluso, e 2, incluso perché annulla il numeratore. Il rapporto è positivo per x<−1 e x>2, nullo in 2. Soluzione: (−∞,−1)∪[2,+∞).
Errore frequente
Non moltiplicare una disequazione per un’espressione contenente x senza conoscerne il segno: potresti dover invertire il verso solo in parte del dominio.
Esponenziali, logaritmiche e sistemi
Se a>0 e a≠1, la funzione aˣ è iniettiva: aᶠ⁽ˣ⁾=aᵍ⁽ˣ⁾ equivale a f(x)=g(x). Il logaritmo logₐx è l’esponente da dare ad a per ottenere x, dunque richiede x>0.
Relazione fondamentale
Significato dei simboli. a è la base, con a>0 e a≠1; x è l’argomento positivo; y è l’esponente.
Un sistema richiede che tutte le condizioni siano vere contemporaneamente. Nei sistemi lineari si usano sostituzione, confronto o eliminazione; nei sistemi non lineari è essenziale controllare tutte le intersezioni.
Esempio guidato — logaritmica
log₂(x−1)+log₂(x+1)=3. Dominio: x>1. Unendo i logaritmi: log₂(x²−1)=3, quindi x²−1=8 e x=±3. Il dominio conserva soltanto x=3.
Schema di ripasso
- Dominio prima dei calcoli.
- Controlla se la trasformazione è equivalente.
- Nei sistemi si intersecano, non si uniscono, le soluzioni delle singole condizioni.