12. Teoremi del calcolo differenziale
I teoremi differenziali collegano proprietà globali di una funzione alle sue derivate. Non sono formule isolate: ogni conclusione dipende da precise ipotesi di continuità e derivabilità.
Fermat, Rolle e Lagrange
Fermat: se f ha un estremo locale interno ed è derivabile, allora f′=0. Il contrario non è automatico. Rolle: se f è continua in [a,b], derivabile in (a,b) e f(a)=f(b), esiste c con f′(c)=0. Lagrange sostituisce l’uguaglianza agli estremi con la pendenza della secante.
Teorema di Lagrange
Significato dei simboli. c è almeno un punto interno in cui la tangente è parallela alla secante tra gli estremi.
Errore frequente
Un punto con f′=0 è stazionario, non necessariamente massimo o minimo: x³ ha derivata zero in 0 ma continua a crescere.
Cauchy, de l’Hôpital e Taylor
Il teorema di Cauchy generalizza Lagrange a due funzioni. De l’Hôpital può essere applicato a forme 0/0 o ∞/∞ quando sono soddisfatte le ipotesi; non vale automaticamente per altre forme.
Il polinomio di Taylor approssima una funzione mediante derivate calcolate in un punto. Il termine di resto misura l’errore e distingue un’approssimazione informale da un risultato controllato.
Taylor di ordine n
Significato dei simboli. a è il centro, k l’ordine della derivata, n il grado e Rₙ il resto.
Schema di ripasso
- Scrivi sempre le ipotesi.
- Distingui condizioni necessarie e sufficienti.
- Trasforma le forme prima di usare de l’Hôpital.