1. Introduzione

Gli integrali doppi costituiscono l’estensione naturale dell’integrale definito di una funzione di una variabile al caso di funzioni di due variabili.

Se una funzione di una variabile

$$y=f(x)$$

può essere integrata su un intervallo [a,b],

$$\int_a^b f(x)\,dx,$$

una funzione di due variabili

$$z=f(x,y)$$

può essere integrata su una regione D del piano xy:

$$\iint_D f(x,y)\,dA.$$

L’integrale doppio permette quindi di sommare infinitesimi distribuiti su una superficie bidimensionale anziché lungo un intervallo.

Le principali applicazioni sono:

• calcolo di aree;
• calcolo di volumi;
• determinazione del valor medio di una funzione;
• calcolo di masse di lamine a densità variabile;
• determinazione di baricentri e momenti;
• applicazioni economiche e probabilistiche con funzioni dipendenti da due variabili.

2. Significato geometrico

Consideriamo una funzione

$$z=f(x,y)$$

definita in una regione D\subseteq\mathbb{R}^2.

Se

$$f(x,y)\geq 0$$

in tutta la regione D, allora

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dA }$$

rappresenta il volume del solido compreso tra la superficie

$$z=f(x,y)$$

e il piano

$$z=0$$

al di sopra della regione D.

L’elemento

$$dA$$

rappresenta un elemento infinitesimo di area.

In coordinate cartesiane:

$$\boxed{dA=dx\,dy}$$

oppure

$$\boxed{dA=dy\,dx}.$$

L’ordine dei differenziali indica l’ordine con cui vengono eseguite le integrazioni.

3. Definizione intuitiva dell’integrale doppio

Supponiamo di dividere la regione D in numerose piccole regioni di area

$$\Delta A_i.$$

Per ogni piccola regione scegliamo un punto

$$(x_i,y_i).$$

Costruiamo la somma

$$\sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta A_i.$$

Facendo diventare le suddivisioni sempre più piccole, se il limite esiste otteniamo

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dA = \lim_{\max \Delta A_i\to0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta A_i }$$

che prende il nome di integrale doppio di f sulla regione D.

4. Integrali doppi su domini rettangolari

Il caso più semplice è quello in cui il dominio di integrazione è un rettangolo:

$$D=[a,b]\times[c,d].$$

Ciò significa che

$$a\leq x\leq b$$

e contemporaneamente

$$c\leq y\leq d.$$

L’integrale doppio può allora essere scritto come un integrale iterato:

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \left[ \int_c^d f(x,y)\,dy \right]dx }$$

oppure invertendo l’ordine:

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \left[ \int_a^b f(x,y)\,dx \right]dy }$$

purché siano soddisfatte le condizioni che consentono di applicare il teorema di Fubini.

5. Teorema di Fubini

Il teorema di Fubini permette di trasformare un integrale doppio in due normali integrali semplici successivi.

Per una funzione continua f(x,y) su un rettangolo

$$D=[a,b]\times[c,d],$$

vale:

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx }$$

e inoltre

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy. }$$

Pertanto:

$$\boxed{ \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy. }$$

Su un dominio rettangolare, quindi, è normalmente possibile scegliere liberamente l’ordine di integrazione.

6. Come si calcola concretamente un integrale doppio

Consideriamo

$$\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx.$$

Si procede dall’interno verso l’esterno.

7. Primo esempio

Calcolare

$$\int_0^1\int_0^2 (x+y)\,dy\,dx.$$

Partiamo dall’integrale interno:

$$\int_0^2(x+y)\,dy.$$

Rispetto a y, x è costante:

$$\int(x+y)\,dy = xy+\frac{y^2}{2}.$$

Applicando gli estremi:

$$\left[ xy+\frac{y^2}{2} \right]_0^2.$$

Otteniamo:

$$2x+\frac{4}{2} = 2x+2.$$

Dobbiamo ora integrare rispetto a x:

$$\int_0^1(2x+2)\,dx.$$

Una primitiva è

$$x^2+2x.$$

Quindi

$$[x^2+2x]_0^1 = 1+2 = 3.$$

Pertanto:

$$\boxed{3}$$

è il valore dell’integrale doppio.

8. Attenzione alla variabile di integrazione

Un errore frequente consiste nel dimenticare quale variabile si sta integrando.

Ad esempio:

$$\int (x^2y+3x)\,dy.$$

Poiché stiamo integrando rispetto a y, x è costante.

Pertanto:

$$\int x^2y\,dy = x^2\frac{y^2}{2}$$

e

$$\int3x\,dy = 3xy.$$

Quindi:

$$\boxed{ \int (x^2y+3x)\,dy = \frac{x^2y^2}{2}+3xy+C. }$$

Viceversa:

$$\int(x^2y+3x)\,dx$$

fornisce

$$\boxed{ \frac{x^3y}{3}+\frac{3x^2}{2}+C. }$$

9. Integrali doppi su domini non rettangolari

Il caso più importante è quello in cui il dominio D non è rettangolare.

In questo caso gli estremi dell’integrale interno dipendono generalmente dall’altra variabile.

I domini vengono normalmente distinti in:

• domini semplici rispetto a y;
• domini semplici rispetto a x.

10. Domini semplici rispetto a y

Una regione è semplice rispetto a y quando può essere descritta nella forma

$$\boxed{ D= \left\{ (x,y): a\leq x\leq b,\; g_1(x)\leq y\leq g_2(x) \right\}. }$$

Geometricamente, per ogni valore di x compreso tra a e b, la coordinata y varia tra una curva inferiore

$$y=g_1(x)$$

e una curva superiore

$$y=g_2(x).$$

L’integrale diventa:

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx. }$$

Una regola pratica estremamente utile è:

$$\boxed{ x:\text{ da sinistra a destra} }$$

$$\boxed{ y:\text{ dal basso verso l'alto}. }$$

11. Domini semplici rispetto a x

Una regione è invece semplice rispetto a x se può essere descritta come

$$\boxed{ D= \left\{ (x,y): c\leq y\leq d,\; h_1(y)\leq x\leq h_2(y) \right\}. }$$

In questo caso:

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy. }$$

La regola pratica diventa:

$$\boxed{ y:\text{ dal basso verso l'alto} }$$

$$\boxed{ x:\text{ da sinistra a destra}. }$$

12. Come costruire correttamente il dominio

Prima di calcolare un integrale doppio è spesso necessario disegnare il dominio.

Questa fase è fondamentale.

Supponiamo, ad esempio, che la regione sia delimitata da

$$y=x^2$$

e

$$y=2x.$$

Per trovare gli estremi sull’asse x, determiniamo i punti di intersezione:

$$x^2=2x.$$

Portando tutto a sinistra:

$$x^2-2x=0.$$

Fattorizziamo:

$$x(x-2)=0.$$

Quindi:

$$x=0$$

oppure

$$x=2.$$

Tra 0 e 2,

$$x^2\leq2x.$$

Pertanto il dominio è

$$\boxed{ 0\leq x\leq2, \qquad x^2\leq y\leq2x. }$$

L’integrale può quindi essere scritto come

$$\boxed{ \int_0^2 \int_{x^2}^{2x} f(x,y)\,dy\,dx. }$$

13. Calcolo dell’area con un integrale doppio

Un’applicazione fondamentale consiste nel calcolare l’area di una regione.

È sufficiente porre

$$f(x,y)=1.$$

Infatti:

$$\boxed{ A(D)=\iint_D1\,dA. }$$

Per il dominio precedente:

$$0\leq x\leq2, \qquad x^2\leq y\leq2x,$$

abbiamo

$$A= \int_0^2 \int_{x^2}^{2x} 1\,dy\,dx.$$

Calcoliamo l’integrale interno:

$$\int_{x^2}^{2x}1\,dy = [y]_{x^2}^{2x} = 2x-x^2.$$

Quindi:

$$A= \int_0^2(2x-x^2)\,dx.$$

Una primitiva è

$$x^2-\frac{x^3}{3}.$$

Pertanto:

$$A= \left[ x^2-\frac{x^3}{3} \right]_0^2.$$

Otteniamo:

$$4-\frac83 = \frac43.$$

Quindi:

$$\boxed{A=\frac43}.$$

14. Integrale doppio come volume

Se

$$f(x,y)\geq0,$$

il volume sotto la superficie

$$z=f(x,y)$$

e sopra il dominio D è

$$\boxed{ V=\iint_D f(x,y)\,dA. }$$

15. Cambiamento dell’ordine di integrazione

Uno degli argomenti più importanti sugli integrali doppi è il cambio dell’ordine di integrazione.

Supponiamo di avere

$$\int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx.$$

Possiamo voler riscrivere l’integrale nella forma

$$\int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy.$$

Non è sufficiente semplicemente scambiare dx e dy.

Bisogna rideterminare completamente gli estremi.

La procedura corretta è:

1. ricostruire il dominio;
2. disegnarlo;
3. individuare il minimo e massimo valore di y;
4. descrivere, per ogni y, i valori di x appartenenti alla regione;
5. riscrivere l’integrale.

16. Esempio di cambio dell’ordine

Consideriamo

$$\int_0^1 \int_x^1 f(x,y)\,dy\,dx.$$

Il dominio è:

$$0\leq x\leq1, \qquad x\leq y\leq1.$$

Equivalentemente:

$$0\leq y\leq1.$$

Per un y fissato:

$$0\leq x\leq y.$$

Pertanto:

$$\boxed{ \int_0^1 \int_x^1 f(x,y)\,dy\,dx = \int_0^1 \int_0^y f(x,y)\,dx\,dy. }$$

17. Quando conviene cambiare ordine

Cambiare ordine può rendere un integrale molto più semplice.

Consideriamo:

$$\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx.$$

L’integrale

$$\int e^{y^2}\,dy$$

non possiede una primitiva esprimibile mediante funzioni elementari.

Conviene quindi cambiare ordine.

Il dominio è:

$$0\leq x\leq1, \qquad x\leq y\leq1.$$

Equivalentemente:

$$0\leq y\leq1, \qquad 0\leq x\leq y.$$

Otteniamo:

$$\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy.$$

Rispetto a x,

$$e^{y^2}$$

è costante.

Quindi:

$$\int_0^y e^{y^2}\,dx = ye^{y^2}.$$

Pertanto:

$$\int_0^1ye^{y^2}\,dy.$$

Ponendo

$$t=y^2, \qquad dt=2y\,dy,$$

otteniamo:

$$\frac12\int_0^1e^t\,dt = \frac12[e^t]_0^1.$$

Quindi:

$$\boxed{ \frac{e-1}{2}. }$$

Questo esempio mostra perché il cambio dell’ordine non è soltanto una manipolazione formale, ma una vera tecnica di integrazione.

18. Domini che richiedono una suddivisione

Non tutti i domini possono essere descritti mediante un’unica coppia di funzioni.

In alcuni casi è necessario suddividere il dominio:

$$D=D_1\cup D_2.$$

L’integrale diventa:

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dA = \iint_{D_1}f(x,y)\,dA + \iint_{D_2}f(x,y)\,dA. }$$

Questo accade frequentemente quando, cambiando ordine di integrazione, il bordo sinistro o destro della regione cambia espressione.

La regola fondamentale è quindi:

$$\boxed{ \text{prima si comprende il dominio, poi si integra.} }$$

19. Integrali doppi in coordinate polari

Quando il dominio presenta circonferenze, dischi o settori circolari, le coordinate cartesiane possono risultare scomode.

È spesso preferibile utilizzare le coordinate polari.

Le relazioni fondamentali sono:

$$\boxed{x=r\cos\theta}$$

$$\boxed{y=r\sin\theta}$$

e

$$\boxed{x^2+y^2=r^2}.$$

20. Elemento di area in coordinate polari

In coordinate cartesiane:

$$dA=dx\,dy.$$

In coordinate polari, invece:

$$\boxed{ dA=r\,dr\,d\theta. }$$

Il fattore r è fondamentale e deriva dal determinante Jacobiano della trasformazione.

Pertanto:

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'} f(r\cos\theta,r\sin\theta) \,r\,dr\,d\theta. }$$

Uno degli errori più frequenti consiste proprio nel dimenticare il fattore:

$$\boxed{r}.$$

21. Dominio circolare

Consideriamo il disco

$$x^2+y^2\leq R^2.$$

In coordinate polari:

$$r^2\leq R^2,$$

quindi:

$$0\leq r\leq R.$$

Per descrivere l’intero disco:

$$0\leq\theta\leq2\pi.$$

Pertanto:

$$\boxed{ D= \left\{ (r,\theta): 0\leq r\leq R, \; 0\leq\theta\leq2\pi \right\}. }$$

22. Area del cerchio mediante un integrale doppio

Possiamo ricavare la formula dell’area del cerchio:

$$A=\pi R^2.$$

Scriviamo:

$$A= \iint_D1\,dA.$$

Passando alle coordinate polari:

$$A= \int_0^{2\pi} \int_0^R r\,dr\,d\theta.$$

Calcoliamo:

$$\int_0^Rr\,dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R = \frac{R^2}{2}.$$

Quindi:

$$A= \int_0^{2\pi} \frac{R^2}{2} \,d\theta.$$

Otteniamo:

$$A= \frac{R^2}{2}(2\pi) = \boxed{\pi R^2}.$$

23. Settori circolari

Se il dominio è un settore circolare compreso tra gli angoli

$$\alpha\leq\theta\leq\beta$$

e tra due circonferenze di raggio

$$R_1\leq r\leq R_2,$$

allora:

$$\boxed{ \int_\alpha^\beta \int_{R_1}^{R_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta) \,r\,dr\,d\theta. }$$

Gli estremi possono anche dipendere dall’angolo:

$$0\leq r\leq R(\theta).$$

24. Esempio in coordinate polari

Calcolare:

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dA$$

dove

$$D:x^2+y^2\leq1.$$

Poiché:

$$x^2+y^2=r^2$$

e

$$dA=r\,dr\,d\theta,$$

l’integrale diventa:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^1r^2r\,dr\,d\theta.$$

Quindi:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3\,dr\,d\theta.$$

Calcoliamo:

$$\int_0^1r^3\,dr = \frac14.$$

Pertanto:

$$\int_0^{2\pi}\frac14\,d\theta = \frac14(2\pi).$$

Quindi:

$$\boxed{\frac{\pi}{2}}.$$

25. Cambio di variabili e Jacobiano

Le coordinate polari sono un caso particolare di cambio di variabili negli integrali doppi.

Consideriamo la trasformazione:

$$x=x(u,v), \qquad y=y(u,v).$$

Il determinante Jacobiano è

$$\boxed{ J= \frac{\partial(x,y)} {\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}. }$$

L’elemento di area si trasforma secondo:

$$\boxed{ dx\,dy = |J|\,du\,dv. }$$

Pertanto:

$$\boxed{ \iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) |J|\,du\,dv. }$$

Nel caso delle coordinate polari:

$$x=r\cos\theta, \qquad y=r\sin\theta.$$

Il Jacobiano vale:

$$\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}.$$

Calcolandolo:

$$r\cos^2\theta+r\sin^2\theta = r.$$

Perciò:

$$\boxed{dx\,dy=r\,dr\,d\theta}.$$

26. Valor medio di una funzione su una regione

Se f(x,y) è definita su una regione D, il suo valore medio è

$$\boxed{ f_{\text{medio}} = \frac{1}{A(D)} \iint_Df(x,y)\,dA. }$$

dove

$$A(D)=\iint_D1\,dA.$$

È l’analogo bidimensionale della formula:

$$f_{\text{medio}} = \frac{1}{b-a} \int_a^bf(x)\,dx.$$

27. Massa di una lamina

Supponiamo che una lamina occupi una regione D e abbia densità superficiale

$$\rho(x,y).$$

La massa totale è:

$$\boxed{ M= \iint_D\rho(x,y)\,dA. }$$

Se la densità è costante:

$$\rho(x,y)=\rho,$$

allora:

$$M = \rho\iint_DdA = \rho A(D).$$

28. Baricentro di una lamina

Data una lamina di densità

$$\rho(x,y),$$

la massa è

$$M= \iint_D\rho(x,y)\,dA.$$

Le coordinate del baricentro sono:

$$\boxed{ \bar{x} = \frac{1}{M} \iint_Dx\rho(x,y)\,dA }$$

e

$$\boxed{ \bar{y} = \frac{1}{M} \iint_Dy\rho(x,y)\,dA. }$$

Se la densità è uniforme, \rho si semplifica.

29. Simmetrie utili

Prima di calcolare un integrale doppio conviene verificare se esistono simmetrie.

Se il dominio D è simmetrico rispetto all’asse y e la funzione è dispari rispetto a x:

$$f(-x,y)=-f(x,y),$$

allora:

$$\boxed{ \iint_Df(x,y)\,dA=0. }$$

Analogamente, se il dominio è simmetrico rispetto all’asse x e

$$f(x,-y)=-f(x,y),$$

si ha ancora:

$$\boxed{ \iint_Df(x,y)\,dA=0. }$$

Riconoscere queste proprietà può evitare calcoli molto lunghi.

30. Metodo generale per risolvere un integrale doppio

Quando si affronta un esercizio, è utile seguire sempre uno schema preciso.

31. Errori frequenti

32. Esercizi svolti

33. Esercizi proposti

34. Schema riassuntivo

35. Strategia da ricordare all’esame

Negli integrali doppi la difficoltà principale spesso non è trovare la primitiva, ma descrivere correttamente la regione di integrazione.

L’ordine mentale corretto è quindi:

$$\boxed{ \text{DOMINIO} \rightarrow \text{DISEGNO} \rightarrow \text{ORDINE} \rightarrow \text{ESTREMI} \rightarrow \text{INTEGRAZIONE}. }$$

Se il dominio contiene circonferenze o espressioni del tipo

$$x^2+y^2,$$

bisogna inoltre valutare immediatamente:

$$\boxed{ \text{COORDINATE POLARI?} }$$

Infine, prima di svolgere calcoli lunghi, è sempre opportuno verificare:

$$\boxed{ \text{SIMMETRIE?} }$$

e

$$\boxed{ \text{CONVIENE CAMBIARE ORDINE?} }$$

Questi controlli preliminari possono trasformare un integrale apparentemente complesso in un esercizio molto semplice.