14. Integrali
L’integrazione risponde a due domande collegate: quale funzione ha una data derivata e come si accumulano infinitesimi per ottenere area, volume o quantità totale.
Primitive e integrale indefinito
F è una primitiva di f in un intervallo se F′=f. Tutte le primitive differiscono per una costante perché la derivata di una costante è zero.
Integrale indefinito
Significato dei simboli. f è l’integranda, dx indica la variabile, F è una primitiva e C è una costante reale arbitraria.
Esempio guidato — potenza
∫x³dx=x⁴/4+C, perché la derivata di x⁴/4 è x³. La regola ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C richiede n≠−1.
Errore frequente
Dimenticare +C significa descrivere una sola primitiva invece dell’intera famiglia.
Somme di Riemann, integrale definito e teorema fondamentale
Si divide [a,b] in piccoli intervalli, si moltiplica un valore della funzione per la larghezza di ciascun tratto e si somma. Il limite delle somme di Riemann, quando esiste, è l’integrale definito.
Teorema fondamentale
Significato dei simboli. f è continua, F è una sua primitiva, a e b sono gli estremi. Il teorema collega accumulazione e derivazione.
L’integrale è area orientata: le porzioni sotto l’asse x contribuiscono negativamente. L’area geometrica richiede integrare |f| o spezzare l’intervallo agli zeri.
Metodi di integrazione
La sostituzione inverte la regola della catena. L’integrazione per parti inverte la derivata del prodotto: ∫u dv=uv−∫v du. Le funzioni razionali possono richiedere divisione tra polinomi e fratti semplici; le forme trigonometriche richiedono identità coerenti.
Esempio guidato — per parti
∫x eˣdx. Poniamo u=x e dv=eˣdx; allora du=dx e v=eˣ. Quindi ∫x eˣdx=xeˣ−∫eˣdx=eˣ(x−1)+C.
Errore frequente
Una sostituzione è completa solo quando integranda e differenziale sono riscritti nella nuova variabile.
Aree, volumi e integrali impropri
L’area tra f e g su [a,b] è ∫|f−g|dx; se sappiamo che f≥g, diventa ∫(f−g)dx. I volumi di rotazione si calcolano, tra gli altri metodi, con dischi e rondelle: π∫(R²−r²)dx.
Un integrale è improprio quando l’intervallo è illimitato o l’integranda è illimitata. Si definisce tramite un limite; la convergenza non può essere dedotta dalla sola esistenza formale di una primitiva.
Schema di ripasso
- Indefinito: famiglia di primitive.
- Definito: numero e accumulazione orientata.
- Per l’area geometrica gestisci il segno.
- Negli impropri scrivi sempre il limite.