5. Funzioni
Una funzione è una regola che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo valore nel codominio. Studiare una funzione significa capire quali input accetta, quali output produce e come cambia.
Dominio, codominio, immagine, zeri e segno
Nella scrittura f:A→B, A è il dominio e B è il codominio scelto. L’immagine f(A) è il sottoinsieme di B effettivamente raggiunto. Gli zeri sono i valori x per cui f(x)=0; il segno descrive dove il grafico sta sopra o sotto l’asse x.
Esempio guidato — dominio
Per f(x)=√(x−1)/(x−3) servono x−1≥0 e x−3≠0. Il dominio è [1,3)∪(3,+∞).
Errore frequente
Codominio e immagine non sono sinonimi. La funzione f:ℝ→ℝ, f(x)=x² ha codominio ℝ ma immagine [0,+∞).
Parità, monotonia, limitatezza e corrispondenze
Una funzione è pari se f(−x)=f(x), dispari se f(−x)=−f(x), quando il dominio è simmetrico rispetto a zero. È crescente se a input maggiori corrispondono output non minori; è limitata superiormente se esiste M con f(x)≤M.
È iniettiva quando input distinti producono output distinti, suriettiva quando ogni elemento del codominio è raggiunto, biettiva quando valgono entrambe. Soltanto una funzione biettiva possiede un’inversa definita sull’intero codominio.
Esempio guidato — rendere invertibile
f(x)=x² non è iniettiva su ℝ, perché f(2)=f(−2). Ristretta a [0,+∞) diventa biettiva verso [0,+∞) e la sua inversa è √x.
Composizione, inversa e trasformazioni grafiche
La composizione (f∘g)(x)=f(g(x)) richiede che g(x) cada nel dominio di f. L’inversa scambia input e output: f⁻¹(f(x))=x nel dominio appropriato.
Da y=f(x), la trasformazione f(x)+k sposta il grafico verticalmente, f(x−h) lo sposta a destra di h, −f(x) lo riflette rispetto all’asse x e f(−x) rispetto all’asse y. Il cambiamento interno ha verso apparentemente opposto perché modifica quale input deve essere usato.
Errore frequente
f⁻¹(x) indica la funzione inversa, non il reciproco 1/f(x). Sono oggetti diversi.
Schema di ripasso
- Dominio: input ammessi.
- Immagine: output raggiunti.
- Inversa: esiste dopo aver ottenuto una corrispondenza biunivoca.