1. Fondamenti di algebra
L’algebra è il linguaggio con cui trasformiamo un problema in relazioni tra numeri e simboli. Prima di risolvere equazioni o studiare funzioni occorre saper leggere gli insiemi numerici, rispettare le condizioni di esistenza e trasformare le espressioni senza cambiarne il valore.
Insiemi numerici e intervalli
Idea intuitiva
I numeri non formano un unico contenitore indistinto. I naturali servono a contare, gli interi introducono i negativi, i razionali descrivono rapporti tra interi e i reali comprendono anche numeri come √2 e π. Le inclusioni sono ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Definizione e interpretazione
Un intervallo raccoglie tutti i reali compresi tra due estremi. La parentesi quadra include l’estremo, quella tonda lo esclude: [a,b] significa a ≤ x ≤ b, mentre (a,b) significa a < x < b. Con ±∞ si usa sempre la parentesi tonda, perché infinito non è un numero raggiungibile.
Distanza sulla retta reale
Significato dei simboli. x è il punto variabile, a è il centro e r > 0 è il raggio: la distanza di x da a è minore di r.
Esempio guidato — tradurre un intervallo
La condizione |x−3| < 2 dice che x dista meno di 2 da 3. Quindi −2 < x−3 < 2 e, sommando 3, 1 < x < 5. L’insieme soluzione è (1,5).
Errore frequente
Non scrivere [−∞,2]: l’infinito non appartiene all’insieme dei reali e non può essere incluso.
Potenze, radicali e valore assoluto
Una potenza abbrevia una moltiplicazione ripetuta. Le proprietà delle potenze derivano dal conteggio dei fattori e valgono soltanto quando le basi e le operazioni coinvolte sono definite.
Regole fondamentali
Significato dei simboli. a è la base, m e n sono esponenti; nel quoziente deve essere a ≠ 0.
Un radicale è collegato alle potenze frazionarie: per a ≥ 0, √a è il numero non negativo il cui quadrato è a. Per questo √(a²)=|a| e non semplicemente a.
Valore assoluto
Significato dei simboli. |x| misura la distanza di x da 0 ed è quindi sempre non negativo.
Esempio guidato — semplificare un radicale
√72 = √(36·2) = 6√2. Abbiamo estratto il quadrato perfetto 36; non abbiamo separato una somma, operazione che sarebbe scorretta.
Errore frequente
In generale √(a+b) ≠ √a+√b. Il radicale si distribuisce sul prodotto, sotto le opportune condizioni, non sulla somma.
Manipolazione e frazioni algebriche
Manipolare un’espressione significa sostituirla con un’altra equivalente. Raccoglimento, prodotti notevoli e scomposizione sono strumenti per rendere visibile la struttura, non trucchi da applicare meccanicamente.
Differenza di quadrati
Significato dei simboli. a e b sono espressioni qualsiasi; l’identità vale perché i termini misti si cancellano.
Una frazione algebrica esiste solo quando il denominatore è diverso da zero. Le condizioni di esistenza vanno fissate prima di semplificare, perché una cancellazione non può rendere ammesso un valore originariamente vietato.
Esempio guidato — semplificazione con condizione
(x²−9)/(x−3) = [(x−3)(x+3)]/(x−3) = x+3, ma soltanto per x ≠ 3. L’espressione semplificata ha lo stesso valore dell’originale nel suo dominio, non in ogni reale.
Schema di ripasso
- Fissa sempre il dominio prima delle trasformazioni.
- Scomponi prima di cancellare fattori.
- Puoi cancellare fattori, non addendi.