Econometrics Economics

Sommatorie e identità matriciali

In econometria, Σ_i indica la sommatoria sulle unità osservate. Un vettore è una raccolta ordinata di valori, una matrice è una disposizione rettangolare e la trasposta X′ scambia righe e colonne. L’inversa (X′X)^-1 esiste soltanto quando X′X ha rango pieno. In OLS, i valori stimati sono proiezioni ortogonali, quindi P_x=P_x′ e P_x²=P_x; questa idempotenza spiega molte identità algebriche dei minimi quadrati.

Per normali variabili scalari con momenti finiti, la covarianza è Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]. Il coefficiente della regressione semplice di popolazione che minimizza E[(Y−a−bX)²] è Cov(X,Y)/Var(X) quando Var(X)>0. Il numeratore determina la direzione e il denominatore riscalibra la variabilità di X. L’aspettativa condizionata E[Y|X] minimizza E[(Y−g(X))²] rispetto a tutte le funzioni misurabili g con opportuni momenti secondi finiti; la regressione lineare limita g a una classe lineare.

Derivazione della formula OLS nella regressione semplice

Si parte da S(a,b)=Σ(Y_i−a−bX_i)². La condizione del primo ordine rispetto ad a è −2Σ(Y_i−a−bX_i)=0. Dividendo per n si ottiene Ȳ−a−bX̄=0, quindi a=Ȳ−bX̄. La condizione del primo ordine rispetto a b è −2ΣX_i(Y_i−a−bX_i)=0. Sostituendo ad a l’espressione precedente, sviluppando le variabili centrate e riordinando, si ottiene b=Σ(X_i−X̄)(Y_i−Ȳ)/Σ(X_i−X̄)². La derivata seconda rispetto al coefficiente angolare è positiva se i valori di X non sono tutti uguali, garantendo un minimo unico.

Derivazione della varianza di una combinazione lineare di due variabili

Per costanti a e b e variabili casuali X e Z,

Si sviluppa lo scarto dalla media al quadrato e si utilizza la linearità dell’aspettativa. Questa identità ricorre spesso in econometria: l’errore standard di una combinazione lineare di coefficienti di regressione, l’effetto previsto di un’interazione e la varianza di un portafoglio dipendono tutti dai termini di covarianza. Assumere che i coefficienti siano incorrelati senza controllare la matrice varianza-covarianza è un errore comune.

Derivazione della varianza asintotica di OLS

Partendo da β̂−β=[(1/n)ΣX_iX_i′]^-1(1/n)ΣX_iu_i, si moltiplica per √n. Sotto condizioni di regolarità, la matrice dei regressori converge a Q e la media degli score soddisfa un teorema centrale del limite multivariato, (1/√n)ΣX_iu_i→ᵈN(0,Ω). Il teorema di Slutsky fornisce √n(β̂−β)→ᵈN(0,Q^-1ΩQ^-1). Il risultato chiarisce sia perché gli errori standard diminuiscono tipicamente al tasso 1/√n, sia perché l’eteroschedasticità influenza Ω. Chiarisce inoltre che una formula di varianza asintotica non implica non distorsione nei campioni finiti.

Esercizio svolto: una retta di regressione stimata

Problema. Si osservano X=(0,1,2,3) e Y=(1,2,2,5). Calcola β̂₁ e β̂₀, i residui e R².

Soluzione. X̄=1.5 e Ȳ=2.5. La somma dei prodotti incrociati centrati è (−1.5)(−1.5)+(−0.5)(−0.5)+(0.5)(−0.5)+(1.5)(2.5)=6.0. La somma dei quadrati degli scarti di X è 5, quindi β̂₁=1.2 e β̂₀=0.7. I valori stimati sono (0.7,1.9,3.1,4.3) e i residui (0.3,0.1,−1.1,0.7). RSS=0.09+0.01+1.21+0.49=1.8. TSS=2.25+0.25+0.25+6.25=9, da cui R²=1−1.8/9=0.80. La somma dei residui è zero, come previsto per OLS con intercetta.

Esercizio svolto: un’ipotesi congiunta

Problema. Un modello non vincolato ha RSS_u=120 con n=100 osservazioni e k=4 regressori diversi dalla costante. Un modello vincolato impone q=2 restrizioni e ha RSS_r=144. Calcola la statistica F parziale convenzionale.

Soluzione. I gradi di libertà residui del modello non vincolato sono 100−4−1=95. Il peggioramento dell’adattamento per restrizione è (144−120)/2=12, mentre il quadrato medio residuo del modello non vincolato è 120/95=1.2632. Pertanto F=12/1.2632=9.50, da confrontare con il valore critico pertinente di F(2,95) sotto le ipotesi classiche. In presenza di eteroschedasticità, questa distribuzione di riferimento basata su RSS può essere inappropriata; è necessario un test di Wald robusto.

Esercizio svolto: interpretare una specificazione log-livello

Problema. Una regressione stimata fornisce ln(wage)=1.8+0.06education. Stima il rapporto esatto tra i salari previsti corrispondente a tre anni aggiuntivi di istruzione.

Soluzione. La variazione del logaritmo naturale del salario stimato è 3×0,06=0,18. Il rapporto tra i valori esponenziati dei logaritmi salariali stimati è exp(0,18)≈1,1972, ossia una differenza del 19,72%; l’approssimazione del primo ordine è il 18%. Quando la media condizionale del logaritmo è correttamente specificata, si tratta di un rapporto tra medie geometriche condizionali. Rappresenta anche il rapporto tra medie aritmetiche condizionali soltanto se il fattore di ritrasformazione E[exp(u)|education] rimane invariato nel confronto. L’interpretazione causale richiede inoltre esogeneità, che l’equazione stimata non dimostra.

Esercizio svolto: distorsione da variabile omessa

Problema. Il vero modello è Y=β₀+2X+3Z+u e Cov(X,Z)/Var(X)=−0.4. Trova il coefficiente di popolazione di una regressione semplice che omette Z.

Soluzione. β̃₁=2+3(−0.4)=0.8. Il coefficiente osservato sottostima l’effetto diretto di X, perché il fattore omesso aumenta Y e tende al contempo a essere più basso nelle osservazioni con X maggiore. L’analisi dei segni deve precedere i calcoli: un effetto omesso positivo moltiplicato per un’associazione negativa tra X e Z produce una distorsione negativa.

Esercizio svolto: selezione nel trattamento

Problema. Gli esiti medi dei trattati e dei non trattati sono 18 e 15. La popolazione trattata avrebbe avuto una media di 16 in assenza di trattamento. Calcola ATT e distorsione da selezione.

Soluzione. ATT=18−16=2. Distorsione da selezione=16−15=1. La differenza osservata di 3 è uguale a 2+1. Interpretare la differenza grezza come causale sovrastima ATT del 50% in questo esempio.

Esercizio svolto: un rapporto IV

Problema. L’offerta di un programma assegnata casualmente aumenta la partecipazione alla formazione di 0.20 e il reddito medio annuo di €360. Sotto le ipotesi di rilevanza, esclusione, monotonicità e assegnazione casuale, interpreta lo stimatore di Wald.

Soluzione. La stima IV è 360/0.20=€1,800. Sotto queste ipotesi e con una definizione appropriata del trattamento, identifica un effetto medio della formazione effettiva per i compliers, il cui stato di trattamento viene modificato dall’offerta. Non stima direttamente l’effetto per chi partecipa sempre, per chi non partecipa mai o per l’intera popolazione ammissibile, salvo che valgano ipotesi più forti di omogeneità.

Esercizio svolto: differenze prime nei panel

Problema. Tre imprese presentano (X₁,Y₁)=(1,5),(2,9),(4,12) e (X₂,Y₂)=(2,7),(4,12),(5,13). Calcola le variazioni osservate e spiega perché regredire ΔY su ΔX può essere utile.

Soluzione. ΔX=(1,2,1) e ΔY=(2,3,1). Se il modello contiene un effetto d’impresa additivo invariato nel tempo, tale effetto non osservato scompare quando si differenziano esiti e regressori. Una regressione sulle variazioni utilizza quindi informazioni interne alle imprese anziché confronti tra imprese, ma un’interpretazione causale richiede ancora che ΔX sia sufficientemente esogeno rispetto a Δu.

Esercizio svolto: il termine di covarianza omesso

Problema. Una stima con interazione presenta β̂₁=2, β̂₃=0.5, Var(β̂₁)=0.16, Var(β̂₃)=0.01 e Cov(β̂₁,β̂₃)=−0.02. Trova l’effetto stimato del trattamento e l’errore standard per X=3.

Soluzione. L’effetto è 2+3×0.5=3.5. La sua varianza è 0.16+9×0.01+2×3×(−0.02)=0.13, quindi SE≈0.3606. Ignorare la covarianza negativa produrrebbe invece √0.25=0.5 e sovrastimerebbe in misura rilevante l’incertezza di questo specifico confronto.

Ulteriori esercizi guidati

Esercizio A. Dimostra perché la media campionaria dei residui OLS è zero quando è inclusa un’intercetta. Risposta. La condizione del primo ordine per l’intercetta è Σû_i=0; basta dividere per n. Esercizio B. Mostra che la multicollinearità non distorce di per sé OLS sotto l’ipotesi di media condizionata nulla. Risposta. L’aspettativa condizionata E[β̂−β|X]=(X′X)^-1X′E[u|X]=0 ogni volta che la matrice è invertibile; la collinearità influenza quell’inversa e quindi la precisione.

Esercizio C. Spiega perché un effetto positivo del primo stadio e una forma ridotta negativa implicano un coefficiente IV negativo in un modello esattamente identificato. Risposta. Il loro rapporto è negativo; l’argomentazione sull’esclusione rimane necessaria per un’interpretazione causale. Esercizio D. Spiega perché la validazione incrociata predittiva non dimostra l’esclusione dello strumento IV. Risposta. Un modello può prevedere accuratamente D o Y mentre il suo strumento modifica Y attraverso un canale causale indipendente; la previsione verifica un’ipotesi diversa da quella rilevante.

Esercizio E. Una passeggiata aleatoria Y_t=Y_t₋₁+ε_t parte da Y₀=0 con innovazioni i.i.d. di varianza σ². Risposta. Y_t=Σ_s₌₁ᵗ ε_s e Var(Y_t)=tσ², quindi la varianza aumenta con t e il processo è non stazionario. Esercizio F. Spiega perché gli effetti fissi delle unità non possono stimare separatamente il coefficiente di una variabile costante nel tempo all’interno di ciascuna unità. Risposta. Questa variabile scompare dopo la trasformazione within ed è collineare con le dummy delle unità.

Lista di controllo per valutare un’affermazione empirica

Enuncia la domanda sostanziale e il parametro numerico di interesse. Distingui l’esito, il trattamento o regressore principale, i controlli inclusi e le determinanti non osservate. Verifica unità di misura, costruzione del campione, valori mancanti e dipendenza. Scrivi esplicitamente l’ipotesi di identificazione e argomenta perché potrebbe essere valida. Controlla se lo stimatore scelto mira al parametro di interesse e se gli errori standard riflettono la struttura campionaria. Calcola e comunica l’incertezza, spiega le grandezze economicamente significative, considera la sensibilità e dichiara i limiti. Se l’argomentazione di identificazione non regge, presenta i risultati in modo descrittivo invece di attribuire loro un’interpretazione causale ingiustificata.