12. Endogeneità e minacce all'identificazione
Confondimento, errore di misura, simultaneità e selezione campionaria
Regressori endogeni
Rispetto alla condizione di ortogonalità lineare, endogeneità significa E[Xu]≠0 tra un regressore e il disturbo strutturale. La violazione di E[u|X]=0 è una violazione più ampia dell’esogeneità in media condizionale: non implica necessariamente E[Xu]≠0, perché una relazione condizionale non lineare può comunque avere covarianza nulla. Il problema centrale riguarda l’interpretazione: OLS combina l’effetto strutturale con le fonti di variazione della variabile esplicativa generate da fattori non osservati. L’endogeneità può derivare da variabili omesse, causalità inversa, determinazione simultanea, errori di misurazione, selezione del campione o scelte inappropriate delle variabili su cui condizionare.
Consideriamo un'equazione del mercato del lavoro che descrive il rendimento causale di un anno di istruzione. Abilità, risorse dei genitori e reti di relazioni possono influenzare sia i salari sia la decisione di acquisire istruzione. L'omissione di questi fattori può rendere endogena l'istruzione. Analogamente, un prezzo di mercato più alto potrebbe essere correlato con shock di domanda, perché domanda e offerta determinano congiuntamente prezzo e quantità di equilibrio; una regressione della quantità sul prezzo non può isolare direttamente una curva di domanda.
Un'interpretazione generale della distorsione da variabile omessa
La formula semplice della distorsione da variabile omessa offre una prima diagnosi. Si supponga Y=β0+β1X+β2Z+u, con Cov(X,u)=0 e Var(X)>0. Una regressione nella popolazione di Y su un’intercetta e X, che omette Z, ha pendenza β1+β2 Cov(X,Z)/Var(X). Il problema non scompare aggiungendo un numero arbitrario di variabili: i controlli scelti devono includere i fattori confondenti pertinenti e, quando l’obiettivo è l’effetto causale totale, dovrebbero generalmente essere misurati prima del trattamento.
I controlli inappropriati meritano particolare attenzione. Un mediatore successivo al trattamento può assorbire una parte dell'effetto causale che si intende stimare. Condizionare su una variabile influenzata sia dal trattamento sia da determinanti non osservate del risultato può aprire un percorso statistico spurio. Una specificazione corretta della regressione richiede una teoria dell'ordine temporale e delle relazioni causali tra le variabili, non soltanto un algoritmo che massimizzi R2.
Errore di misura
Se una variabile dipendente è misurata con un errore classico indipendente, l’esito diventa più rumoroso e, sotto le ipotesi standard, i coefficienti OLS spesso rimangono consistenti, sebbene l’inferenza diventi meno precisa. Se il regressore osservato X è uguale al valore vero X* più un errore classico additivo di misurazione, X=X*+w, dove w ha media zero ed è indipendente da X* e dal disturbo strutturale u, la regressione OLS di Y su X in un modello semplice ha limite in probabilità
Il termine è il rapporto di affidabilità, compreso tra zero e uno sotto queste ipotesi, che produce attenuazione verso zero. Un errore di misura più complesso, correlato con i valori veri, altri regressori o il risultato, può distorcere i coefficienti in qualsiasi direzione. L'affermazione generica secondo cui l'errore di misura attenua sempre le stime è errata, specialmente nella regressione multivariata.
Equazioni simultanee ed equilibrio
Immaginiamo domanda e offerta di mercato lineari:
Le transazioni osservate soddisfano Qᵈ=Qˢ, quindi il prezzo di equilibrio risponde sia agli shock di domanda sia a quelli di offerta. Una regressione di Q su P tra diversi equilibri non recupera necessariamente né a1 né b1. Per identificare la pendenza della domanda, il ricercatore cerca una fonte di variazione del prezzo che sposti l'offerta senza spostare direttamente la domanda, ad esempio una variazione dei costi di offerta plausibilmente esogena, sottoponendo la sua restrizione di esclusione a un'attenta valutazione economica.
Dati mancanti, selezione e validità esterna
Un campione può escludere le persone che non rispondono, le imprese che escono dal mercato, i lavoratori che non partecipano all'occupazione o le famiglie che rifiutano di dichiarare la propria ricchezza. Se l'inclusione nel campione è collegata a determinanti non osservate di Y dopo aver condizionato su X, la regressione osservata può non essere rappresentativa. Inoltre, un effetto di popolazione stimato correttamente per il gruppo campionato può non trasferirsi a una popolazione obiettivo economicamente diversa.
I modelli di selezione campionaria possono talvolta recuperare il parametro di interesse sotto ipotesi distributive o di esclusione, ma non esiste una correzione universale. Occorre individuare chi è stato incluso, perché e in quale fase, e verificare se siano state registrate le variabili che determinano l'inclusione.
Validità interna ed esterna
La validità interna riguarda la capacità del confronto empirico di identificare l'effetto di interesse nella popolazione studiata. Confondimento omesso, simultaneità ed errore di misura la minacciano. La validità esterna riguarda invece la possibilità di generalizzare una stima internamente valida a popolazioni, istituzioni, periodi o intensità di trattamento diversi. L'effetto di classi scolastiche più piccole in una regione può differire da quello in un'altra regione con una diversa offerta di insegnanti o dimensioni iniziali delle classi differenti.
Uno studio credibile distingue esplicitamente validità interna ed esterna e spiega la fonte di identificazione, anziché presumere che un coefficiente statisticamente significativo risolva entrambe le questioni.
Analisi di sensibilità
Controlli di robustezza utili includono modifiche della forma funzionale, insiemi di controlli motivati economicamente, analisi di sottocampioni, diagnostica delle osservazioni influenti, misure alternative, risultati placebo ed esame delle plausibili violazioni dell'ipotesi di identificazione. La robustezza rispetto a diverse specificazioni arbitrarie non sostituisce una fonte credibile di variazione esogena. È evidenza sulla sensibilità alla specificazione, non una garanzia formale di identificazione causale.
Endogeneità, controlli inappropriati e distorsione da collider
Un collider è una variabile causata da due o più variabili che, altrimenti, potrebbero essere non correlate. Condizionare su un collider può creare dipendenza statistica tra le sue cause. Ad esempio, tra i candidati ammessi a un programma di borse di studio molto selettivo, motivazione e relazioni familiari potrebbero essere associate negativamente anche se fossero indipendenti nella popolazione dei candidati, perché ciascuna delle due caratteristiche può aumentare la probabilità di ammissione. Una regressione limitata ai beneficiari selezionati può quindi generare relazioni non presenti nell'intera popolazione.
La distinzione tra fattori di confondimento, mediatori e collider è concettualmente importante. Un fattore di confondimento è una causa comune del trattamento e del risultato; aggiustare per esso può ridurre la distorsione. Un mediatore è in parte causato dal trattamento e influenza poi il risultato; aggiustare per esso cambia l'effetto causale oggetto di stima. Un collider è una conseguenza comune di altre variabili; condizionare su di esso può indurre distorsione. L'ordine temporale e le istituzioni economiche dovrebbero guidare l'identificazione di queste categorie, anziché le correlazioni osservate a posteriori.
Come costruire un'argomentazione di sensibilità
Supponiamo che un coefficiente OLS dell'istruzione diminuisca da 0.10 a 0.07 quando si includono il contesto familiare e i punteggi dei test. Questa variazione suggerisce che i fattori misurati contribuiscano a spiegare l'associazione originaria, ma non quantifica direttamente il confondimento residuo dovuto all'abilità non misurata. Un'argomentazione di sensibilità può chiedersi quanto forte dovrebbe essere il legame di una variabile non osservata sia con l'istruzione sia con i salari per spiegare il restante 0.07, rispetto all'intensità dei legami dei controlli osservati. Questi confronti devono dichiarare le ipotesi e non vanno mai trattati come prova di esogeneità.