Econometria.

La distribuzione campionaria

Uno stimatore è una funzione del campione e, prima dell’osservazione, è una variabile casuale. La sua distribuzione campionaria descrive i valori che assumerebbe ripetendo il procedimento di campionamento nelle medesime condizioni. Per esempio, la media di cento redditi cambia da un campione all’altro anche se la popolazione rimane invariata. L’inferenza usa la distribuzione di questa variazione per valutare la precisione. Non bisogna confondere la distribuzione delle cento osservazioni all’interno di un campione con la distribuzione delle medie fra molti campioni.

L’ipotesi i.i.d. significa osservazioni indipendenti e identicamente distribuite. L’indipendenza esclude dipendenze fra unità; l’identica distribuzione richiede che ogni unità sia generata dalla stessa legge probabilistica. È un’idealizzazione utile per sviluppare la teoria di base, non una proprietà automatica di qualunque archivio. Nei panel, nelle serie storiche e nei dati raggruppati la dipendenza è spesso parte della struttura. Esistono leggi dei grandi numeri e teoremi del limite centrale anche per sequenze dipendenti, ma richiedono condizioni differenti e possono implicare varianze asintotiche diverse.

Media e varianza della media

Se X₁, …, X_n sono i.i.d. con E(X_i) = μ e Var(X_i) = σ² finita, la media X̄ ha E(X̄) = μ e Var(X̄) = σ²/n. La prima proprietà deriva dalla linearità dell’aspettativa. Per la seconda si sommano le varianze delle osservazioni indipendenti e si divide per n². La deviazione standard di X̄ è quindi σ/√n. Per dimezzare l’errore standard occorre quadruplicare n, non raddoppiarlo. Questa relazione chiarisce perché aumentare un campione già grande produce miglioramenti marginali decrescenti nella precisione.

Con dipendenza, invece, Var(X̄) = n^-2[∑_iVar(X_i) + 2∑_i<_jCov(X_i,X_j)]. Se le covarianze sono positive, ignorarle sottostima la varianza della media. In un esempio con n osservazioni aventi varianza σ² e correlazione comune ρ, la varianza della media è σ²[1 + (n − 1)ρ]/n. Con ρ > 0 costante, la precisione non migliora indefinitamente come nel caso indipendente. Una grande quantità di osservazioni quasi replicate può aggiungere poca informazione rispetto a un numero minore di unità realmente indipendenti.

Convergenza in probabilità

Una successione Z_n converge in probabilità a z se, per ogni ε > 0, P(|Z_n − z| > ε) tende a zero quando n cresce. Si scrive Z_n →p z oppure plim Z_n = z. Non si afferma che ogni campione più grande produca una stima più vicina al parametro del precedente: si afferma che la probabilità di uno scostamento superiore a una soglia fissata diventa piccola. Una successione può oscillare e avere realizzazioni sfavorevoli pur essendo consistente nel senso probabilistico.

La legge dei grandi numeri stabilisce, sotto condizioni adeguate, che una media campionaria converge alla corrispondente aspettativa. Nel caso i.i.d. con valore assoluto integrabile, X̄ →p μ. Un modo elementare per comprenderne il risultato, assumendo anche varianza finita, usa la disuguaglianza di Chebyshev: P(|X̄ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²), che tende a zero. La prova mostra il ruolo della riduzione della varianza. Versioni più generali non richiedono necessariamente un secondo momento finito, ma rimane indispensabile controllare l’esistenza della quantità verso cui si vuole convergere.

Cosa non dice la legge dei grandi numeri

La legge non corregge un campione sistematicamente selezionato. Se tutte le osservazioni provengono da una sottopopolazione con media μS diversa dalla media obiettivo μ, la media campionaria può convergere molto precisamente a μS. La consistenza è sempre riferita a un estimando e a un meccanismo di generazione. Analogamente, se uno stimatore converge a β + b anziché a β, aumentare n riduce la dispersione intorno al limite sbagliato senza eliminare la distorsione asintotica. È il caso tipico di OLS con endogeneità persistente.

Non tutte le distribuzioni hanno una media finita. La distribuzione di Cauchy, per esempio, non soddisfa le usuali condizioni sull’esistenza del primo momento; la media di osservazioni Cauchy indipendenti standard conserva la distribuzione Cauchy standard. Non si concentra intorno a un valore atteso che non esiste. Questo esempio impedisce di trasformare l’idea «molti dati stabilizzano la media» in una regola universale priva di ipotesi. In applicazioni con code molto pesanti, valori estremi e momenti instabili, la teoria standard può richiedere verifiche e metodi alternativi.

Il teorema del limite centrale

Per osservazioni i.i.d. con media μ e varianza 0 < σ² < ∞, il teorema del limite centrale afferma:

La notazione →d indica convergenza in distribuzione. Il teorema riguarda la forma della distribuzione degli scarti standardizzati della media, non la normalità dei dati originali. Una variabile Bernoulli rimane binaria per qualunque n, ma la sua media può avere una distribuzione approssimativamente normale quando il campione è sufficientemente informativo. L’approssimazione tende a essere meno accurata con probabilità molto vicine a zero o uno e con pochi successi o insuccessi osservati.

Il fattore √n è essenziale: X̄ converge a μ, mentre √n(X̄ − μ) conserva una variabilità non degenere nel limite. La legge dei grandi numeri descrive la concentrazione; il limite centrale descrive la velocità e la forma delle fluttuazioni attorno al limite. La formula X̄ ≈ N(μ,σ²/n) è una traduzione pratica dell’approssimazione per grandi campioni. Non esiste un numero magico universale, come trenta osservazioni, che renda l’approssimazione buona indipendentemente da asimmetria, code, dipendenza e parametro studiato.

Convergenza in distribuzione e continuità

La convergenza in distribuzione significa che le funzioni di ripartizione convergono nei punti di continuità della distribuzione limite. È più debole della convergenza in probabilità verso una variabile casuale generale, ma quando il limite è una costante la convergenza in distribuzione implica quella in probabilità. Il teorema della funzione continua permette di trasformare limiti: se Z_n →p z e g è continua in z, allora g(Z_n) →p g(z). Questa regola giustifica il passaggio da momenti campionari a rapporti, prodotti e matrici inverse, purché i denominatori o le matrici limite non siano degeneri.

Per esempio, Sxy/n può convergere a Cov(X,Y) e Sxx/n a Var(X). Se Var(X) > 0, il loro rapporto converge a Cov(X,Y)/Var(X). Se invece il denominatore limite è zero, il teorema non permette di concludere e la stima della pendenza non dispone della variazione necessaria. La continuità dell’inversione matriciale richiede analogamente che la matrice limite sia non singolare. Le condizioni di rango non sono quindi soltanto un requisito del calcolo finito: sono anche una parte dell’identificazione asintotica.

Teorema di slutsky e standardizzazione stimata

Il teorema di Slutsky consente di combinare una quantità che converge in distribuzione con una quantità che converge in probabilità a una costante. Se √n(X̄ − μ)/σ →d N(0,1) e s →p σ, allora √n(X̄ − μ)/s →d N(0,1). La sostituzione della deviazione standard ignota con una stima consistente non altera la distribuzione limite. Questa proprietà è alla base degli intervalli e dei test asintotici in cui la varianza viene stimata dai dati.

La distribuzione t esatta della media standardizzata richiede invece condizioni più forti, tipicamente osservazioni normali indipendenti e la consueta varianza campionaria. Con dati non normali, la statistica può essere asintoticamente normale senza essere esattamente t in campioni finiti. Usare quantili t come approssimazione può essere una convenzione ragionevole in alcuni contesti, ma non trasforma il risultato in un teorema esatto. La distinzione fra esattezza finita e validità asintotica deve accompagnare ogni formula inferenziale.

Versione multivariata e varianza di lungo periodo

Per un vettore di variabili W_i con media μ e matrice di covarianza Σ, una versione multivariata del limite centrale dà √n(W̄ − μ) →d N(0,Σ) sotto appropriate condizioni. La matrice limite conserva le covarianze fra le componenti. Per una funzione differenziabile g, il metodo delta produce una varianza limite ∇g(μ)′Σ∇g(μ). Questo passaggio consente di trattare elasticità, rapporti, effetti marginali e altre funzioni dei coefficienti senza costruire da zero una teoria separata per ogni trasformazione.

Per una serie stazionaria debolmente dipendente, la varianza limite della media può essere Ω = γ₀ + 2∑ₕ₌₁∞γₕ, dove γₕ è l’autocovarianza al ritardo h e la somma deve essere ben definita. Ω è la varianza di lungo periodo, distinta dalla sola varianza contemporanea γ₀. Autocorrelazione positiva persistente aumenta spesso l’incertezza della media. Gli stimatori HAC cercano di stimare questa somma senza imporre indipendenza temporale. Non si applica però automaticamente un limite centrale standard a processi con radice unitaria o dipendenza troppo forte.

Esempio svolto: precisione e ampiezza campionaria

Una variabile ha deviazione standard pari a 20. Con n = 100 osservazioni indipendenti, l’errore standard della media è 20/10 = 2. Con n = 400 scende a 1. Un intervallo normale approssimato al 95% ha semilarghezza 1,96 × 2 = 3,92 nel primo caso e 1,96 nel secondo. Per ottenere una semilarghezza non superiore a 1,5, mantenendo la stessa deviazione standard e l’approssimazione normale, occorre n ≥ (1,96 × 20/1,5)² ≈ 682,95, quindi almeno 683 osservazioni indipendenti.

Questo calcolo è prospettico e dipende dalla deviazione standard assunta. Se esiste campionamento a grappoli, bisogna considerare l’effetto del disegno; se è prevista mancata risposta, bisogna distinguere persone contattate e osservazioni utilizzabili. Inoltre, la precisione della media non coincide con quella di una differenza causale o di un coefficiente in presenza di regressori molto correlati. Il calcolo della numerosità deve essere costruito sull’oggetto effettivamente studiato, non su una formula generica scelta soltanto perché familiare.