Econometria.

Dalla stima alla matrice di covarianza

Una regressione multipla produce un vettore di coefficienti e una matrice di covarianza stimata V̂. Gli elementi diagonali sono le varianze stimate dei coefficienti; le radici quadrate sono gli errori standard. Gli elementi fuori diagonale descrivono come gli errori di stima dei diversi coefficienti tendono a muoversi insieme. La matrice completa è necessaria per confronti, somme, differenze ed effetti marginali. Una tabella che riporta soltanto gli errori standard individuali non contiene tutta l’informazione inferenziale richiesta per ogni possibile domanda.

Nel modello classico V̂ = s²(X′X)^-1, con s² = RSS/(n − k). In presenza di eteroschedasticità o dipendenza si usa una covarianza coerente con tali caratteristiche. La scelta non cambia soltanto una nota metodologica: può modificare intervalli, p-value e conclusioni. I coefficienti possono rimanere identici mentre la precisione cambia. Per questo il tipo di covarianza deve essere specificato accanto ai risultati, soprattutto quando si confrontano analisi che usano diversi livelli di clustering.

Test di un singolo coefficiente

Per H₀: β_j = b₀, la statistica è t = (β̂_j − b₀)/√V̂_jj. Nel modello normale omoschedastico condizionato a X segue una t con n − k gradi di libertà. Il numero dei gradi di libertà tiene conto di tutti i coefficienti stimati, non soltanto di quello sottoposto a test. Un intervallo classico è β̂_j ± t_n-k,_1-α/₂√V̂_jj. Con inferenza robusta, l’uso di una t finita può essere un’approssimazione o una correzione specifica, non un risultato esatto automatico.

Il test risponde a una domanda condizionata alla specificazione. Se si omette un’interazione necessaria, il coefficiente testato potrebbe non rappresentare l’effetto desiderato. Se si include una categoria di riferimento differente, cambiano alcuni test individuali ma non la capacità complessiva del modello di rappresentare le stesse previsioni. Interpretare un p-value richiede quindi conoscere come le variabili sono codificate e quale confronto è incorporato nel parametro. L’output non può essere letto separatamente dall’equazione stimata.

Combinazioni lineari

Per una combinazione θ = a′β, la stima è θ̂ = a′β̂ e la varianza stimata è a′V̂a. Se θ = β₁ − β₂, allora Var(θ̂) = Var(β̂₁) + Var(β̂₂) − 2Cov(β̂₁,β̂₂). Per una somma il termine di covarianza entra con segno positivo. La formula deriva dalla varianza di una combinazione lineare e non richiede di stimare una nuova regressione quando la matrice di covarianza è disponibile. Il test è costruito confrontando θ̂ con il valore nullo desiderato e usando il suo errore standard, non gli errori standard dei singoli coefficienti separatamente.

Supponiamo b₁ = 0,40, b₂ = 0,25, Var(b₁) = 0,01, Var(b₂) = 0,0064 e Cov(b₁,b₂) = 0,004. La differenza è 0,15 e la sua varianza è 0,01 + 0,0064 − 0,008 = 0,0084. L’errore standard è circa 0,09165 e il test contro zero dà t ≈ 1,637. Ignorando la covarianza si otterrebbe √0,0164 ≈ 0,1281, un errore standard diverso. In altri esempi il segno della covarianza può invertire la direzione dell’errore commesso ignorandola.

Restrizioni lineari congiunte

Una famiglia di q restrizioni si rappresenta come Rβ = r. La matrice R seleziona o combina i coefficienti e deve avere rango q per rappresentare restrizioni indipendenti. Per esempio, verificare che due coefficienti siano nulli richiede due righe; verificare che la loro somma sia uno richiede una sola riga. La statistica di Wald W = (Rβ̂ − r)′[RV̂R′]^-1(Rβ̂ − r) confronta la distanza dal vincolo con l’incertezza nelle direzioni rilevanti. La covarianza fra restrizioni è incorporata nell’inversa della matrice centrale.

Sotto le condizioni asintotiche appropriate, W converge a una chi-quadrato con q gradi di libertà. Nel modello classico, usando V̂ = s²(X′X)^-1, W/q segue esattamente una F con q e n − k gradi di libertà. Il risultato permette di valutare gruppi di regressori, uguaglianze fra parametri e vincoli teorici. Se la covarianza è cluster-robust con pochi gruppi, la semplice approssimazione chi-quadrato può essere inaffidabile e occorrono procedure adeguate al disegno e al numero di cluster.

Test f basato sui modelli ristretto e non ristretto

Per modelli lineari annidati stimati sullo stesso campione, il test classico può essere scritto:

RSSR è la somma dei quadrati residui del modello ristretto, RSSU quella del modello non ristretto e kU il numero dei suoi coefficienti. Il numeratore misura la perdita media di adattamento per restrizione; il denominatore stima la varianza dell’errore nel modello più ampio. La formula richiede omoschedasticità per la consueta inferenza classica. Con eteroschedasticità, un test Wald robusto delle stesse restrizioni è generalmente più appropriato della sostituzione meccanica di residui nella formula F.

Se n = 100, kU = 5, q = 2, RSSR = 160 e RSSU = 120, il numeratore è 40/2 = 20 e il denominatore è 120/95 ≈ 1,2632. La statistica F è circa 15,833 con 2 e 95 gradi di libertà. La differenza dei residui deve essere non negativa perché il modello non ristretto contiene quello ristretto. Se il calcolo produce il contrario, occorre controllare campione, trasformazione dell’esito, convergenza e reale annidamento dei modelli. Non è corretto confrontare RSS di regressioni effettuate su insiemi di osservazioni differenti come se fossero annidate.

Significatività globale della regressione

Il test globale classico verifica che tutte le pendenze siano nulle, mantenendo l’intercetta. Con k coefficienti complessivi, q = k − 1 e F = [R²/(k − 1)]/[(1 − R²)/(n − k)], nelle condizioni appropriate. Rifiutare indica che almeno una combinazione delle pendenze è informativa rispetto al modello con sola costante. Non significa che ogni regressore sia significativo, che il modello sia correttamente specificato o che i coefficienti abbiano interpretazione causale. È un confronto limitato fra due spazi di previsioni.

Un test globale significativo può coesistere con test individuali poco precisi quando i regressori sono fortemente correlati. I dati possono mostrare che il gruppo di variabili è utile senza distinguere bene il contributo separato di ciascuna. In tal caso eliminare variabili sulla base di singoli p-value può essere instabile. Occorre valutare il ruolo teorico delle variabili e il confronto congiunto, evitando di trattare la selezione automatica come una dimostrazione di causalità o di correttezza della specificazione.

Vincoli economici: rendimenti di scala

Una funzione Cobb–Douglas logaritmica può essere scritta ln(Q) = β₀ + βLln(L) + βKln(K) + u. L’ipotesi di rendimenti di scala costanti è βL + βK = 1. Se le stime sono 0,65 e 0,25, la somma è 0,90, ma la distanza di 0,10 da uno va confrontata con l’errore standard della somma. Quest’ultimo richiede Var(β̂L) + Var(β̂K) + 2Cov(β̂L,β̂K). Non è sufficiente osservare che entrambi i coefficienti sono individualmente significativi rispetto a zero.

Il vincolo può essere incorporato anche nella stima ristretta. Sostituendo βK = 1 − βL si ottiene ln(Q) − ln(K) = β₀ + βL[ln(L) − ln(K)] + u. La regressione di ln(Q/K) su ln(L/K) e costante impone i rendimenti costanti. Confrontare il modello ristretto e quello non ristretto permette di verificare quanto i dati siano compatibili con il vincolo. L’interpretazione strutturale richiede comunque di affrontare la possibile endogeneità degli input, scelti dalle imprese in risposta a produttività non osservata.

Stabilità dei coefficienti e test di chow

Per confrontare due gruppi si può stimare un modello con indicatori e interazioni che consenta intercette e pendenze diverse. Il test di uguaglianza dei coefficienti è un test congiunto delle interazioni e dell’eventuale differenza di intercetta. Il test di Chow classico confronta il modello comune con due regressioni separate, assumendo varianza dell’errore uguale fra gruppi e le altre condizioni pertinenti. Quando le varianze differiscono, una formulazione tramite interazioni con covarianza robusta evita di imporre l’omoschedasticità comune.

Con due gruppi da 60 osservazioni, tre coefficienti per gruppo, RSS comune pari a 200 e RSS separate pari a 70 e 90, la statistica classica è [(200 − 160)/3]/[160/(120 − 6)] = 9,5. Le restrizioni sono tre: uguaglianza dell’intercetta e delle due pendenze. Se la data di rottura viene scelta dopo aver cercato il massimo scostamento fra molte date, la distribuzione di riferimento del test a data fissata non è più direttamente appropriata. La selezione della soglia o della data fa parte del procedimento inferenziale.

Effetti non lineari e metodo delta

Molte quantità economiche sono funzioni non lineari dei coefficienti, come un punto di massimo −β₁/(2β₂), un’elasticità valutata a certe covariate o una probabilità prevista. Se g è differenziabile e i parametri sono regolarmente identificati, la varianza approssimata è ∇g(β̂)′V̂∇g(β̂). Il gradiente deve includere tutte le componenti dalle quali g dipende. Calcolare l’incertezza di un effetto marginale usando soltanto l’errore standard di uno dei coefficienti coinvolti omette parte della variabilità e le covarianze.

Per g(β) = β₁ + 2x₀β₂, l’effetto marginale di un modello quadratico, la funzione è in realtà lineare nei coefficienti a x₀ fissato. La varianza è V̂₁₁ + 4x₀²V̂₂₂ + 4x₀V̂₁₂. Per il punto di massimo, invece, il rapporto può diventare instabile quando β₂ è vicino a zero. Un intervallo ottenuto meccanicamente dal metodo delta può allora essere poco affidabile. La presenza di un massimo stimato non implica che il suo valore sia precisamente localizzato o che rientri nel supporto dei dati.

Esercizio svolto: qual è l’ipotesi corretta?

Un modello delle vendite contiene prezzo, pubblicità e un’interazione prezzo × pubblicità. Si vuole verificare se la sensibilità al prezzo dipende dalla pubblicità. L’ipotesi pertinente è che il coefficiente dell’interazione sia zero, non che il coefficiente del prezzo sia zero. Per verificare invece che il prezzo non abbia alcun effetto nella funzione specificata a tutti i livelli di pubblicità, occorre imporre congiuntamente coefficiente del prezzo e coefficiente dell’interazione uguali a zero. La formulazione del test deriva dall’espressione dell’effetto marginale, βprezzo + βinterazione × pubblicità, e non dalla sola posizione dei p-value nella tabella.