Econometria.

Effetti che si sviluppano nel tempo

Una variazione economica può influenzare l’esito immediatamente e attraverso periodi successivi. Pubblicità, investimenti o variazioni dei costi possono avere effetti ritardati per contratti, abitudini e tempi di aggiustamento. Un modello a ritardi distribuiti finiti scrive y_t = α + β₀x_t + β₁x_t-1 + … + βq x_t-q + u_t. β_j descrive la relazione con una variazione di x avvenuta j periodi prima, condizionatamente agli altri termini. L’interpretazione causale richiede che la variazione utilizzata sia esogena rispetto agli errori pertinenti.

L’inclusione di ritardi non rende automaticamente causale un modello. Un valore passato di x può essere correlato con shock persistenti, anticipazioni o variabili omesse. L’ordine temporale è necessario per molti ragionamenti causali, ma non sufficiente. Inoltre, la frequenza dei dati determina il significato del ritardo: un trimestre e un mese non sono unità intercambiabili. Aggregare una dinamica mensile può produrre coefficienti trimestrali che non coincidono con una semplice somma di quelli originari.

Shock temporaneo e cambiamento permanente

Se x aumenta di una unità soltanto nel periodo t e poi torna al livello precedente, gli effetti nel modello distribuito sono β₀ al tempo t, β₁ al tempo t + 1 e così via fino a βq. Se invece x aumenta permanentemente di una unità da t in avanti, l’effetto iniziale è β₀, dopo un periodo è β₀ + β₁ e a regime è ∑_j=0qβ_j. Il medesimo modello produce quindi traiettorie diverse a seconda del tipo di variazione. La domanda deve specificare se si considera un impulso o un cambiamento permanente.

Con β₀ = 0,4, β₁ = 0,3 e β₂ = 0,1, uno shock temporaneo produce effetti 0,4, 0,3 e 0,1, poi zero. Un aumento permanente produce 0,4, poi 0,7 e infine 0,8. La somma 0,8 è il moltiplicatore cumulato del modello. Non va confusa con l’effetto del primo periodo. L’incertezza della somma richiede tutte le varianze e covarianze dei coefficienti, attraverso a′V̂a con a composto da uno nelle posizioni pertinenti.

Ritardi e collinearità

Quando x è persistente, valori contemporanei e ritardati sono fortemente correlati. I singoli β_j possono essere imprecisi anche se la somma è stimata meglio. Il modello può riconoscere che esiste un effetto complessivo senza distinguere con precisione in quale periodo si realizzi. Interpretare ogni coefficiente in base al suo p-value può dare una falsa impressione di assenza di effetto. Sono importanti test congiunti e intervalli dei moltiplicatori cumulati.

Aggiungere molti ritardi consuma gradi di libertà e può aumentare la variabilità. Omettere ritardi rilevanti può invece lasciare dinamica nell’errore e distorcere coefficienti se i regressori inclusi sono correlati con quelli omessi. La scelta dell’orizzonte può basarsi su teoria, frequenza, criteri informativi confrontabili e validazione temporale. Non dovrebbe essere effettuata cercando il numero di ritardi che rende significativo il coefficiente desiderato. L’incertezza dovuta alla selezione va considerata quando si formula inferenza confermativa.

Modello ardl

Un autoregressive distributed lag combina ritardi dell’esito e delle covariate:

I ritardi dell’esito rappresentano propagazione e aggiustamento, mentre quelli di x consentono una risposta distribuita. Se il modello è stabile e un equilibrio di lungo periodo è appropriato, il moltiplicatore di x è θ = (∑β_l)/(1 − ∑φ_j). L’effetto immediato rimane β₀. La formula nasce ponendo le variabili ai loro livelli costanti di equilibrio, non dall’interpretazione isolata di un coefficiente della tabella.

La stabilità richiede condizioni sul polinomio autoregressivo, non soltanto un denominatore positivo. Se i regressori sono integrati, l’interpretazione del livello di equilibrio richiede un quadro di cointegrazione appropriato. Un rapporto calcolabile non dimostra l’esistenza di una relazione di lungo periodo. Inoltre, se x è endogena rispetto a u, OLS può non identificare i parametri strutturali. La dinamica non sostituisce strumenti o restrizioni economiche quando la decisione su x risponde agli stessi shock dell’esito.

Moltiplicatori dinamici

In un ARDL(1,1), y_t = c + φy_t-1 + β₀x_t + β₁x_t-1 + u_t, la risposta a un impulso unitario di x è m₀ = β₀, m₁ = φβ₀ + β₁ e mₕ = φmₕ_-1 per h ≥ 2. La somma degli effetti, se |φ| < 1, è (β₀ + β₁)/(1 − φ). La risposta a un cambiamento permanente è la somma cumulata delle risposte agli impulsi. Questa rappresentazione rende più chiaro il contributo separato dell’effetto diretto ritardato e della propagazione attraverso y.

Con φ = 0,5, β₀ = 0,4 e β₁ = 0,2, la risposta a un impulso è 0,4, 0,4, 0,2, 0,1 e così via. La somma è 1,2. Un cambiamento permanente produce 0,4 nel primo periodo, 0,8 nel secondo, 1,0 nel terzo e converge a 1,2. Dire che l’effetto è 0,4 descrive soltanto l’impatto immediato; dire che è 1,2 descrive il confronto di lungo periodo sotto stabilità. Entrambi possono essere pertinenti, ma rispondono a orizzonti diversi.

Rappresentazione a correzione dell’errore

Lo stesso ARDL(1,1) può essere riscritto come Δy_t = c + (φ − 1)y_t-1 + (β₀ + β₁)x_t-1 + β₀Δx_t + u_t. Definendo λ = φ − 1, θ = (β₀ + β₁)/(1 − φ) e μ = c/(1 − φ), si ottiene:

Il termine fra parentesi è uno scostamento dalla relazione di equilibrio. Con λ negativo e condizioni di stabilità, un y sopra il livello coerente con x tende a essere corretto verso il basso. La riscrittura separa dinamica di breve periodo e relazione di livello. È un’identità algebrica del modello, ma l’interpretazione come error correction model con variabili integrate richiede che la combinazione di livello sia stazionaria e che i parametri siano identificati.

Nell’esempio φ = 0,5, λ = −0,5 e θ = 1,2. A covariata invariata, uno scostamento positivo di dieci unità dall’equilibrio produce una correzione prevista di −5 nel periodo successivo, prima di altri shock. La frase «si corregge il 50% dello squilibrio» è una descrizione del modello lineare a un ritardo, non una legge universale del processo economico. Con più ritardi la velocità di aggiustamento complessiva può avere una dinamica più complessa e includere oscillazioni.

Esogeneità e retroazioni

L’ortogonalità contemporanea E(x_tu_t) = 0 può non bastare per tutte le proprietà di un modello dinamico. Se x futuro reagisce a u corrente, la stretta esogeneità fallisce, anche se alcune stime possono restare consistenti sotto condizioni più deboli e una specificazione appropriata. La debole esogeneità è una nozione relativa all’inferenza su certi parametri in un sistema, non semplicemente sinonimo di regressore ritardato. La terminologia deve essere collegata alle condizioni del modello congiunto.

Se l’obiettivo è prevedere y e x è prevedibile con lo stesso insieme informativo, una regressione condizionata può essere utile anche senza interpretazione causale. Se l’obiettivo è simulare un intervento che modifica x, occorre che i parametri siano invarianti rispetto a quell’intervento o che il sistema rappresenti le retroazioni. Una relazione stimata durante un regime può cambiare quando cambiano incentivi e regole. La previsione condizionata e l’analisi strutturale di scenari non devono essere confuse.

Restrizioni sulla forma dei ritardi

Per ridurre il numero di parametri si possono imporre strutture ai coefficienti dei ritardi. Un polinomio di Almon rappresenta β_j come funzione polinomiale di j; ritardi geometrici assumono β_j = βλʲ. Queste restrizioni possono migliorare la precisione se plausibili, ma introducono bias se la vera risposta ha una forma diversa. Ordine del polinomio, lunghezza massima e vincoli agli estremi devono essere motivati. Un profilo liscio non è automaticamente economicamente corretto.

Nel modello a ritardi geometrici, una trasformazione di Koyck può introdurre y_t-1 e un errore u_t − λu_t-1. Il ritardo dell’esito è allora correlato con l’errore trasformato attraverso u_t-1, salvo strutture aggiuntive. Applicare OLS come se la trasformazione avesse eliminato ogni problema può essere sbagliato. L’equivalenza algebrica non garantisce l’esogeneità della nuova equazione. È un esempio importante di come semplificare la dinamica possa creare una correlazione che richiede strumenti o una stima coerente del sistema.

Shock, interventi e dummy dinamiche

Una dummy impulso vale uno in un solo periodo; una dummy gradino vale uno dalla data dell’intervento in avanti; un trend spezzato cambia pendenza dopo una data. Questi regressori rappresentano effetti diversi. Un impulso in un modello autoregressivo può propagarsi tramite i ritardi dell’esito; un gradino può produrre un cambiamento permanente con aggiustamento graduale. La scelta dovrebbe seguire il meccanismo e la definizione dell’intervento, non il profilo che meglio si adatta ex post.

Una data scelta osservando un’anomalia richiede cautela nell’inferenza, perché il test non è più quello di una data fissata indipendentemente dai dati. Shock concomitanti e cambiamenti di misura possono rendere ambiguo il coefficiente di una dummy. La regressione di intervento può descrivere una discontinuità temporale, ma non identifica automaticamente una causa senza un controfattuale credibile. Il tempo stesso contiene molti eventi e tendenze che possono coincidere con la data studiata.

Diagnostica e confronti di modelli

Residui serialmente correlati possono segnalare ritardi omessi, una componente MA o altre misspecificazioni. HAC può rendere più robusta l’inferenza su un modello correttamente identificato, ma non sostituisce una dinamica della media necessaria per la domanda. Se l’esito ritardato è correlato con l’errore, una covarianza HAC non corregge la distorsione. La diagnostica deve quindi stabilire se il problema riguarda solo la covarianza o anche le condizioni sui coefficienti.

Confronti fra modelli devono usare campioni coerenti, poiché aggiungere ritardi riduce le osservazioni iniziali utilizzabili. Per separare l’effetto della specificazione da quello del campione, si possono stimare le alternative sul medesimo intervallo. La validazione fuori campione deve rispettare l’ordine temporale e non usare covariate future non disponibili. Una regressione dinamica ben adattata nel campione non è necessariamente la migliore procedura previsiva né la migliore rappresentazione causale.

Esercizio svolto: intervallo del lungo periodo

Per θ = β/(1 − φ), il gradiente rispetto a (β,φ) è (1/(1 − φ), β/(1 − φ)²). Con β = 0,8 e φ = 0,6, il gradiente è (2,5; 5). Se Var(β̂) = 0,01, Var(φ̂) = 0,0025 e Cov(β̂,φ̂) = 0,001, la varianza delta di θ̂ è 2,5² × 0,01 + 5² × 0,0025 + 2 × 2,5 × 5 × 0,001 = 0,15. L’errore standard è circa 0,3873. Dividere soltanto l’errore standard di β̂ per 1 − φ ignorerebbe l’incertezza di φ e la covarianza.