Econometria.

Costruire un controfattuale ponderato

Il controllo sintetico costruisce una combinazione di unità non trattate che riproduca il comportamento pre-intervento di una unità trattata. È particolarmente utile quando l’intervento riguarda una o poche unità aggregate e non esiste un singolo controllo chiaramente comparabile. Il metodo non rende il controfattuale osservabile: lo approssima attraverso una combinazione trasparente di donatori. La credibilità dipende dalla qualità del fit precedente, dalla scelta del donor pool e da ipotesi sulla stabilità dei legami dopo l’intervento.

Supponiamo che l’unità trattata sia indicata con uno e che esistano J donatori. Il controllo sintetico è Ŷ_1t(0) = ∑_jw_jY_jt, con pesi non negativi che sommano a uno nella formulazione classica. Dopo l’intervento, l’effetto stimato è Y_1t − Ŷ_1t(0). I pesi vengono scelti usando soltanto informazione pre-trattamento, in modo da non adattare il controfattuale agli esiti che si desidera spiegare. La selezione dei predittori e degli iperparametri deve rispettare lo stesso principio.

Scelta dei pesi

Sia X₁ un vettore di caratteristiche pre-intervento della trattata e X₀ la matrice delle corrispondenti caratteristiche dei donatori. I pesi minimizzano (X₁ − X₀w)′V(X₁ − X₀w), soggetti a w_j ≥ 0 e ∑w_j = 1. V attribuisce importanza alle diverse caratteristiche e può essere scelta con procedure motivate o validazione pre-intervento. Le caratteristiche possono includere esiti passati e covariate predittive. La scala delle variabili e la scelta dei periodi influenzano il criterio.

I vincoli di non negatività e somma unitaria mantengono il controllo nella combinazione convessa dei donatori, limitando l’extrapolazione. Se la trattata è fuori dal supporto convesso delle caratteristiche dei controlli, può essere impossibile ottenere un buon fit. Un algoritmo restituisce comunque pesi, ma il risultato può essere un controfattuale poco plausibile. La qualità del confronto va valutata prima di interpretare il gap post-intervento. Il metodo non è appropriato soltanto perché esistono molti donatori disponibili.

Esempio di combinazione sintetica

La trattata presenta esiti pre-intervento 10, 12 e 14. Il donatore A presenta 8, 10 e 12; il donatore B presenta 12, 14 e 16. Pesi pari a 0,5 per ciascuno riproducono esattamente la traiettoria della trattata. Nel periodo successivo A vale 13 e B vale 17, quindi il controfattuale sintetico è 15. Se la trattata osservata vale 18, il gap è tre. Il calcolo mostra come una combinazione di controlli possa essere più comparabile di ciascun controllo singolarmente.

Il fit perfetto su tre periodi non dimostra però che il controfattuale futuro sia corretto. Potrebbero esistere shock specifici della trattata, cambiamenti nei donatori o una coincidenza temporanea. Con pochi periodi, molte combinazioni possono adattarsi bene senza una solida capacità di rappresentare la dinamica. L’informazione pre-intervento deve essere sufficientemente ricca rispetto alla complessità del confronto. Il gap tre è una stima causale soltanto sotto le ipotesi che giustificano l’evoluzione controfattuale sintetica.

Modello a fattori e intuizione identificante

Una motivazione del metodo rappresenta gli esiti senza trattamento attraverso fattori temporali comuni e carichi specifici delle unità, oltre a covariate e shock idiosincratici. Se la combinazione sintetica riproduce le caratteristiche e i carichi rilevanti della trattata, può seguirne l’evoluzione controfattuale dopo l’intervento. Gli esiti passati aiutano a informare sui fattori non osservati, ma la loro capacità dipende dalla lunghezza e dalla ricchezza del periodo precedente. Non basta un’uguaglianza di media per garantire uguaglianza dei meccanismi dinamici.

Il quadro metodologico, i requisiti dei dati e le principali limitazioni sono discussi da Abadie nel riferimento R15. Il controllo sintetico non richiede esattamente lo stesso parallelismo di una DiD con un singolo controllo, ma impone una stabilità della rappresentazione controfattuale attraverso i donatori. Se un fattore nuovo colpisce soltanto la trattata dopo l’intervento, il gap può confonderlo con l’effetto. L’analisi economica degli eventi concomitanti resta essenziale.

Donor pool e contaminazione

I donatori devono essere plausibilmente non trattati e non influenzati indirettamente dall’intervento. Spillover, anticipazioni o politiche concomitanti possono contaminare il controfattuale. Un donatore con peso elevato merita particolare attenzione perché può dominare la traiettoria sintetica. Escludere donatori sulla base del loro andamento post-intervento soltanto perché rendono l’effetto meno evidente introduce selezione. Le regole di inclusione dovrebbero essere motivate da informazioni antecedenti e dalla conoscenza dell’esposizione.

La comparabilità comprende definizioni dell’esito, unità di misura, frequenza e qualità della raccolta. Un cambiamento amministrativo nella serie della trattata può generare un gap non economico. Differenze strutturali di scala possono richiedere trasformazioni o una ridefinizione dell’esito, ma queste scelte modificano il confronto. Una procedura di controllo sintetico non può correggere automaticamente serie non omogenee o revisioni non coerenti fra unità. La costruzione dei dati rimane una fase identificante.

Valutazione del fit pre-intervento

La root mean squared prediction error pre-intervento è la radice della media dei quadrati dei gap precedenti. Un valore basso rispetto alla scala dell’esito indica buon adattamento, ma non basta da solo. Occorre osservare se rimangono trend sistematici, se il fit dipende da pochi periodi e se il periodo precedente include dinamiche abbastanza varie. Un errore piccolo in una serie quasi costante può essere meno informativo di un fit buono attraverso oscillazioni significative.

Si può separare il periodo precedente in una fase di costruzione e una di validazione, scegliendo pesi o caratteristiche senza utilizzare gli ultimi periodi pre-intervento e verificando la capacità di riprodurli. Il compromesso è che si riduce l’informazione per stimare i pesi. La scelta della procedura deve essere fissata senza consultare gli esiti post-intervento per ottimizzare la conclusione. Una validazione pre-intervento credibile aiuta a valutare stabilità, ma non esclude shock specifici successivi.

Placebo nello spazio

Un placebo nello spazio applica la stessa procedura a ciascun donatore come se fosse stato trattato, usando gli altri come controlli. Si confronta il gap della trattata con quelli placebo. Rapporti fra RMSPE post e pre possono aiutare a distinguere grandi gap successivi da semplici cattivi fit iniziali. Donatori con fit pre-intervento pessimo possono rendere il confronto poco interpretabile e richiedere regole di inclusione motivate e dichiarate. Tali regole non dovrebbero essere scelte per rendere estremo il risultato della trattata.

La posizione del gap nella distribuzione placebo non è automaticamente un p-value esatto di randomizzazione. Per questa interpretazione servono condizioni sull’assegnazione del trattamento o sulla scambiabilità delle unità compatibili con la procedura. In un’applicazione osservazionale con una unità scelta in modo non casuale, il confronto placebo è spesso una diagnostica di rarità e robustezza, non una garanzia inferenziale universale. Il numero limitato di donatori determina anche una risoluzione discreta dei confronti.

Placebo nel tempo e anticipazione

Un placebo temporale colloca una data fittizia di intervento nel periodo precedente e verifica se la procedura produce un gap simile senza trattamento. Può segnalare instabilità della relazione sintetica o una scelta di modello che genera scarti anche in assenza di intervento. La disponibilità di pochi periodi può limitarne la potenza. Se esiste anticipazione, un gap prima della data ufficiale può essere parte dell’effetto economico e non soltanto un fallimento del fit. La cronologia deve distinguere annuncio, aspettative e attuazione.

La scelta della data di trattamento non dovrebbe essere ottimizzata cercando dove il gap diventa più grande. Un intervento graduale richiede una definizione esplicita dell’esposizione e dell’orizzonte. Se il trattamento si intensifica nel tempo, il gap post-intervento può riflettere una combinazione di dosi diverse. Il controllo sintetico fornisce una traiettoria controfattuale, ma non identifica automaticamente la funzione dose-risposta senza ulteriore variazione e struttura.

Analisi leave-one-out

Eliminare a turno donatori con peso positivo e ricostruire il controllo permette di verificare la dipendenza da singole unità. Se il risultato cambia drasticamente escludendo un donatore, occorre capire se quel donatore rappresenti informazione indispensabile o una fragilità del confronto. Una stima stabile non dimostra validità, ma una forte instabilità segnala che la conclusione dipende da scelte specifiche. La sensibilità dovrebbe riportare sia gap post sia fit pre, perché un effetto diverso ottenuto con un controllo molto peggiore non è un confronto equivalente.

È utile anche valutare insiemi alternativi di predittori e periodi predefiniti, purché economicamente motivati. Produrre molte specificazioni e mostrare solo quelle concordi non è una verifica di robustezza. Il risultato centrale dovrebbe essere accompagnato dalle principali alternative che mettono alla prova l’ipotesi controfattuale. La trasparenza sui pesi rende il metodo particolarmente leggibile: il lettore può vedere quali unità sostengono il confronto e giudicarne la plausibilità.

Estensioni e regolarizzazione

Approcci aumentati combinano controllo sintetico e modelli dell’esito per correggere il mancato fit pre-intervento. Alcune procedure consentono pesi negativi o extrapolazione regolarizzata. Possono migliorare l’adattamento quando la trattata non è ben rappresentata da una combinazione convessa, ma introducono dipendenza da un modello e da scelte di penalizzazione. Non sono automaticamente superiori in ogni applicazione: il vantaggio potenziale va confrontato con il rischio di extrapolazione e misspecificazione.

Metodi basati su fattori interattivi, completamento di matrici o synthetic difference-in-differences collegano informazioni fra unità e tempi in modi diversi. Richiedono ipotesi su struttura a basso rango, pattern di osservazione, stabilità o ponderazione. La scelta dovrebbe seguire il tipo di dati, il numero di trattati e il controfattuale credibile. Una tecnica più flessibile non elimina shock specifici non osservati né rende casuale un intervento selezionato.

Effetti medi e cumulati

Il gap può essere riportato per periodo, come media post-intervento oppure come somma cumulata, secondo il significato dell’esito. Sommare gap di flussi, come vendite mensili, può rappresentare un effetto cumulato; sommare gap di stock, come livello di capitale, richiede un’interpretazione diversa e può contare ripetutamente la stessa grandezza. Anche una media dei gap dipende dall’orizzonte scelto. La finestra dovrebbe essere motivata e non selezionata dopo aver osservato quando l’effetto appare massimo.

La trasformazione logaritmica permette confronti proporzionali ma cambia l’oggetto e il fit. Un gap di logaritmi non coincide esattamente con una differenza percentuale in livelli senza trasformazione appropriata. Inoltre, l’incertezza di una traiettoria o di un cumulato non è ottenuta sommando semplicemente errori standard puntuali: servono covarianze e una procedura inferenziale coerente. La comunicazione dovrebbe distinguere stima del controfattuale, assunzioni causali e precisione delle aggregazioni.

Esercizio svolto: pesi e supporto

La trattata ha un indicatore pre-intervento pari a 20, mentre i due donatori hanno valori 10 e 15. Con pesi non negativi che sommano a uno, il controllo sintetico può assumere soltanto valori fra 10 e 15: non può riprodurre 20. Consentire pesi −1 e 2 produce 20, ma usa extrapolazione. Il calcolo non dimostra che l’extrapolazione sia necessariamente sbagliata; mostra che richiede una giustificazione diversa dalla combinazione convessa classica. Un fit perfetto ottenuto rimuovendo vincoli non equivale automaticamente a un controfattuale più credibile.