Econometria.

Indicatori e categorie di riferimento

Una variabile indicatrice, o dummy, assume uno quando una condizione è soddisfatta e zero altrimenti. Permette di includere categorie in un modello lineare senza attribuire loro distanze numeriche arbitrarie. Per una classificazione con G categorie mutuamente esclusive ed esaustive, un modello con intercetta utilizza normalmente G − 1 indicatori. La categoria esclusa è il riferimento. I coefficienti degli indicatori misurano differenze rispetto a essa, condizionatamente agli altri regressori. Cambiare riferimento modifica la parametrizzazione, non i valori stimati del medesimo modello.

Assegnare i numeri 1, 2 e 3 a tre settori e inserirli come regressore continuo impone che il passaggio dal primo al secondo abbia lo stesso effetto del passaggio dal secondo al terzo. Tale restrizione non è giustificata dalla codifica. Gli indicatori lasciano invece libere le differenze fra categorie. Per variabili ordinali può essere ragionevole studiare una tendenza ordinata, ma l’uguaglianza delle distanze resta un’ipotesi. La scelta fra punteggio numerico e indicatori deve essere motivata dal significato della scala.

Una dummy nel modello lineare

Nel modello y = β₀ + δD + u, la previsione per D = 0 è β₀ e quella per D = 1 è β₀ + δ. OLS con intercetta restituisce le due medie campionarie e la loro differenza. Aggiungendo covariate x, y = β₀ + δD + x′γ + u, δ rappresenta una differenza condizionata nella componente lineare. Il modello impone che tale differenza sia costante rispetto a x, salvo l’inclusione di interazioni. Non è una proprietà che i dati garantiscono automaticamente: è una restrizione della specificazione additiva.

Se D rappresenta la partecipazione a un trattamento, δ non è automaticamente un effetto causale. La regressione controlla soltanto le covariate incluse e nella forma scelta. Se D rappresenta una caratteristica di gruppo, il coefficiente descrive un confronto condizionato e non una valutazione delle persone appartenenti ai gruppi. Variabili antecedenti, conseguenze del trattamento e criteri di selezione hanno ruoli diversi. La codifica binaria semplifica la rappresentazione matematica, ma non risolve le questioni di identificazione.

Più categorie e test congiunti

Con quattro categorie e la prima come riferimento, il modello contiene D₂, D₃ e D₄. β₀ è il livello della categoria di riferimento quando gli altri regressori valgono zero; δ₂, δ₃ e δ₄ sono differenze rispetto a essa. La differenza fra la terza e la seconda categoria è δ₃ − δ₂ e richiede un test della combinazione lineare. Il fatto che δ₃ sia significativo e δ₂ no non dimostra che le due categorie differiscano. Occorre usare la covarianza dei coefficienti nel confronto diretto.

La rilevanza complessiva della classificazione è verificata tramite H₀: δ₂ = δ₃ = δ₄ = 0. Il risultato del test congiunto non dipende dalla categoria di riferimento quando si confrontano gli stessi spazi di modelli con una procedura coerente. Questo è un vantaggio rispetto alla lettura isolata dei singoli p-value. La categoria di riferimento dovrebbe essere scelta per rendere interpretabili i confronti, non per ottenere una tabella con più coefficienti significativi.

Interazione fra dummy e variabile continua

Il modello y = β₀ + β₁x + δD + γ(Dx) + u consente intercette e pendenze diverse fra due gruppi. Per D = 0, la componente prevista è β₀ + β₁x; per D = 1 è (β₀ + δ) + (β₁ + γ)x. Il coefficiente δ è la differenza fra gruppi in x = 0, mentre γ è la differenza fra le pendenze. L’effetto discreto di D a un dato x è δ + γx. Non esiste quindi un’unica differenza costante fra gruppi, a meno che γ sia zero.

Se x = 0 non è un valore interessante, si può usare xc = x − c. Il nuovo coefficiente della dummy rappresenta la differenza fra gruppi in x = c, mentre la differenza di pendenza rimane γ. La centratura non modifica le previsioni se tutti i termini necessari sono mantenuti. Può rendere più leggibile la tabella, per esempio riferendo la differenza di salario a dieci anni di esperienza anziché a esperienza zero. Gli errori standard dei nuovi coefficienti devono seguire la trasformazione e includere le covarianze.

Esempio di pendenze diverse

Supponiamo ŷ = 100 + 5x + 20D − 2Dx. Nel gruppo D = 0 la pendenza è 5; nel gruppo D = 1 è 3. La differenza fra gruppi è 20 − 2x: vale 20 in x = 0, 10 in x = 5 e zero in x = 10. Dire che il gruppo D = 1 ha sempre un esito maggiore di 20 sarebbe sbagliato, perché ignorerebbe l’interazione. Il punto di incrocio a x = 10 ha significato empirico soltanto se quel valore è plausibile e rappresentato per entrambi i gruppi.

Per testare l’uguaglianza delle pendenze si verifica γ = 0. Per testare l’uguaglianza completa delle due rette si verificano congiuntamente δ = 0 e γ = 0. Per testare l’uguaglianza dei gruppi a x = 5 si verifica δ + 5γ = 0. Sono tre domande diverse e possono produrre risposte diverse sullo stesso campione. La formulazione del test deve derivare dall’equazione delle previsioni, non da una lettura automatica dei coefficienti principali.

Interazione fra due dummy

Nel modello y = β₀ + δD + λS + τDS + u, le quattro medie previste sono β₀ per (D,S) = (0,0), β₀ + δ per (1,0), β₀ + λ per (0,1) e β₀ + δ + λ + τ per (1,1). Il coefficiente τ è una differenza di differenze: [m₁₁ − m₀₁] − [m₁₀ − m₀₀]. Misura quanto la differenza associata a D cambia quando S passa da zero a uno. Questa identità è la base algebrica del disegno differenze nelle differenze, ma da sola non ne garantisce l’interpretazione causale.

Se le quattro medie sono 100, 120, 110 e 125 rispettivamente per (0,0), (1,0), (0,1) e (1,1), allora β₀ = 100, δ = 20, λ = 10 e τ = 125 − 110 − 120 + 100 = −5. Il gruppo con entrambe le caratteristiche ha una media di 125, non di 130: l’interazione riduce di cinque unità la somma dei due incrementi principali. Un’interazione negativa non significa che tutte le differenze siano negative; significa che l’associazione combinata è inferiore a quella prevista dall’additività semplice.

Interazioni fra variabili continue

Nel modello y = β₀ + β₁x + β₂z + β₃xz + u, l’effetto marginale di x è β₁ + β₃z e quello di z è β₂ + β₃x. La derivata incrociata è β₃ nella componente lineare. L’interpretazione dei coefficienti principali è condizionata al valore zero dell’altra variabile. Centrare x e z può rendere tali coefficienti riferiti a livelli medi o economicamente significativi, ma non cambia la presenza dell’interazione. È buona pratica riportare effetti marginali a valori pertinenti e relativi intervalli, anziché limitarsi al segno di β₃.

L’incertezza dell’effetto di x in z₀ è Var(β̂₁) + z₀²Var(β̂₃) + 2z₀Cov(β̂₁,β̂₃). Valutare l’effetto in molti valori di z produce una curva di effetti marginali. Gli intervalli puntuali lungo la curva non costituiscono automaticamente una banda simultanea. Inoltre, effetti stimati ai bordi del supporto possono essere imprecisi anche se l’interazione è globalmente significativa. Il grafico dovrebbe mostrare dove si trovano effettivamente le osservazioni, per distinguere confronti supportati ed extrapolazioni.

Dummy in modelli logaritmici

Nel modello ln(Y) = β₀ + δD + x′γ + u, il passaggio da D = 0 a D = 1 modifica la componente esponenziale di un fattore exp(δ). La differenza percentuale esatta della componente è 100[exp(δ) − 1], non 100δ salvo approssimazione per coefficienti piccoli. Con δ = −0,20, la variazione è circa −18,13%, non −20%. Invertire il confronto produce exp(0,20) − 1 ≈ 22,14%: una riduzione percentuale e il suo recupero non sono simmetrici perché cambia la base del rapporto.

Per interpretare il rapporto come differenza fra medie in livelli servono condizioni sulla ritrasformazione dell’errore. Se la varianza o la distribuzione residua differisce fra gruppi, i fattori E[exp(u)|D,x] possono differire e il semplice exp(δ) non basta. L’intervallo di δ può essere trasformato monotonicamente per ottenere un intervallo della componente percentuale. Non bisogna invece presentare il coefficiente trasformato insieme a un errore standard non trasformato senza chiarire la differenza di scala.

Stagionalità, effetti temporali e classificazioni

Indicatori mensili o trimestrali possono rappresentare differenze stagionali ricorrenti. Con intercetta si omette un periodo di riferimento. Indicatori per ogni anno possono assorbire shock comuni a tutte le unità di un panel in quel periodo. Le due scelte hanno significati diversi: la stagionalità ripete lo stesso schema ogni anno, mentre effetti annuali liberi consentono livelli diversi in ciascun anno. Inserire entrambe può essere appropriato in alcuni dati, purché esista variazione sufficiente e la specificazione sia coerente.

Una classificazione molto dettagliata può introdurre numerosi parametri e consumare gradi di libertà. In modelli lineari gli effetti fissi possono essere assorbiti tramite trasformazioni equivalenti, ma resta il requisito di variazione identificante. Se una caratteristica è costante all’interno di ogni gruppo assorbito, il suo coefficiente non può essere separato dagli effetti di gruppo. Non è un limite accidentale del software: il modello ha eliminato proprio la variazione tra gruppi sulla quale si basava quel confronto.

Esercizio svolto: centrare un’interazione

Partendo da ŷ = 100 + 5x + 20D − 2Dx, definiamo xc = x − 5, quindi x = xc + 5. Sostituendo si ottiene ŷ = 125 + 5xc + 10D − 2Dxc. La nuova intercetta è il livello del gruppo di riferimento in x = 5; il nuovo coefficiente di D è la differenza fra gruppi nello stesso punto, pari a 10. Le pendenze restano 5 e 3. Le previsioni non cambiano: è cambiato soltanto il riferimento interpretativo. Questa trasformazione mostra perché il significato di un coefficiente principale non può essere separato dalla codifica degli altri termini.