Econometria.

Multicollinearità perfetta e imperfetta

La multicollinearità perfetta si verifica quando una colonna della matrice dei regressori è una combinazione lineare esatta delle altre. In questo caso il rango è insufficiente e alcuni coefficienti non sono separatamente identificati. La multicollinearità imperfetta indica invece relazioni molto forti ma non esatte fra regressori. OLS può ancora essere calcolato in modo unico, ma alcune combinazioni di coefficienti risultano poco precise. La distinzione è fondamentale: nel primo caso manca identificazione algebrica; nel secondo l’informazione è debole in determinate direzioni.

Un’elevata correlazione fra due regressori non è l’unica forma possibile di collinearità. Una variabile può essere quasi combinazione di molte altre anche se nessuna correlazione a coppie è estrema. La matrice di correlazione è quindi utile ma non sufficiente. Inoltre, coefficienti individuali instabili possono coesistere con previsioni relativamente stabili all’interno del supporto osservato, perché i dati informano bene alcune combinazioni complessive e male la separazione dei contributi. La gravità del problema dipende dall’obiettivo: previsione e interpretazione separata dei parametri possono essere colpite in modo diverso.

Il fattore di inflazione della varianza

Per il regressore x_j, si stima una regressione sugli altri regressori e si calcola R_j². Il variance inflation factor è VIF_j = 1/(1 − R_j²). Nella formula omoschedastica Var(β̂_j|X) = σ²/[S_jj(1 − R_j²)], il VIF misura il fattore associato alla riduzione di variazione indipendente del regressore, a parità degli altri elementi. Se R_j² = 0,90, VIF = 10; se R_j² = 0,99, VIF = 100. La precisione può deteriorarsi rapidamente quando il regressore è quasi perfettamente rappresentato dagli altri.

Soglie come 5 o 10 sono convenzioni diagnostiche, non leggi che determinano automaticamente quali variabili eliminare. Un VIF elevato può essere naturale in modelli con polinomi o interazioni e non rendere inutili i confronti economicamente pertinenti. Centrare le variabili può ridurre alcune correlazioni non essenziali fra termini senza modificare lo spazio del modello. Eliminare un controllo necessario per l’identificazione, invece, può ridurre il VIF ma introdurre distorsione. Migliorare una diagnostica numerica non equivale sempre a migliorare l’analisi econometrica.

Condizionamento e stabilità numerica

Gli autovalori e il numero di condizionamento della matrice dei regressori aiutano a individuare direzioni quasi ridondanti. Scale molto diverse possono peggiorare il condizionamento numerico: una variabile in euro e una in milioni di euro possono richiedere una standardizzazione per rendere il calcolo più stabile. La riscalatura non modifica l’informazione sostanziale, purché si trasformino coerentemente coefficienti e interpretazioni. La collinearità dovuta a una relazione economica quasi deterministica, invece, non scompare cambiando unità.

Possibili risposte includono raccogliere dati con maggiore variazione indipendente, ridefinire l’estimando come combinazione di coefficienti, usare restrizioni teoriche giustificate o adottare regolarizzazione per fini predittivi. La regressione sulle componenti principali sostituisce i regressori con combinazioni ortogonali, ma cambia il modo in cui i parametri sono interpretati. Ridge riduce la variabilità introducendo distorsione. Questi strumenti non devono essere presentati come correzioni automatiche che conservano tutte le proprietà inferenziali e causali del modello originario.

Osservazioni anomale: tre concetti diversi

Un’osservazione può essere anomala nell’esito, avere leverage elevato nei regressori oppure essere influente sulla stima. Un residuo grande segnala disaccordo con la previsione; un leverage grande segnala una posizione insolita nello spazio di X; l’influenza misura quanto cambiano i risultati eliminando o modificando il punto. Un’osservazione con leverage elevato può avere residuo piccolo perché ha contribuito a orientare la retta verso di sé. Guardare soltanto i residui può quindi non individuare tutti i punti capaci di dominare la stima.

Un valore estremo può essere un errore di registrazione, un’unità rara ma autentica oppure il segnale che il modello non rappresenta bene una parte della popolazione. Le risposte appropriate sono diverse. Correggere un errore documentato migliora i dati; eliminare un’unità autentica cambia la popolazione analizzata; modificare il modello può essere necessario quando l’eterogeneità è sostanziale. La decisione non dovrebbe dipendere dal fatto che il punto rende un coefficiente meno significativo o contraddice l’aspettativa dell’analista.

Leverage e residui standardizzati

La diagonale h_ii della matrice P_x misura il leverage. La media è k/n e la somma è k. Valori molto superiori alla media meritano attenzione, ma non costituiscono da soli un motivo di esclusione. Nel modello omoschedastico, Var(û_i|X) = σ²(1 − h_ii), perciò i residui dei punti ad alto leverage hanno varianza inferiore. Il residuo internamente studentizzato è r_i = û_i/[s√(1 − h_ii)]. La standardizzazione tiene conto della diversa variabilità dei residui indotta dalla geometria della regressione.

Il residuo esternamente studentizzato usa una stima della scala ottenuta escludendo l’osservazione stessa. Può essere più sensibile a punti che influenzano anche s. Tuttavia, esaminare molti residui e confrontarli tutti con una soglia individuale richiede attenzione ai confronti multipli. Inoltre, con eteroschedasticità la formula classica della varianza residua non descrive tutta la struttura. Le diagnostiche sono indicatori da interpretare nel contesto, non test universali di autenticità dei dati.

Distanza di cook e modifica dei coefficienti

La distanza di Cook riassume quanto cambiano complessivamente i valori stimati quando si elimina una osservazione, con una standardizzazione basata sul modello. Una formula classica è D_i = [û_i²/(ks²)] × [h_ii/(1 − h_ii)²]. Il valore aumenta quando residuo e leverage si combinano. Un punto con residuo moderato ma leverage vicino a uno può essere molto influente. Non esiste una soglia universale che trasformi automaticamente D_i in una decisione di cancellazione: occorre esaminare il punto e il suo ruolo economico.

La variazione dei coefficienti eliminando l’osservazione può essere scritta β̂ − β̂_(-i) = (X′X)^-1x_iû_i/(1 − h_ii), con x_i vettore colonna dei regressori dell’unità. La formula rende esplicita la combinazione fra posizione, residuo e fragilità della stima. DFBETAS standardizza il cambiamento di un singolo coefficiente; DFFITS considera il cambiamento della previsione dell’osservazione. Queste misure rispondono a domande diverse e possono evidenziare influenze concentrate su parametri specifici anziché sull’intero modello.

Esempio numerico di influenza

Supponiamo k = 3, s = 2, residuo û_i = 4 e leverage h_ii = 0,5. La distanza di Cook è [16/(3 × 4)] × [0,5/0,25] = (4/3) × 2 = 8/3, circa 2,667. Con lo stesso residuo ma leverage 0,05, il secondo fattore diventa 0,05/0,9025 ≈ 0,0554 e D_i ≈ 0,0739. La grandezza del residuo da sola non descrive l’influenza. Il primo punto si trova in una posizione molto più capace di modificare la superficie stimata.

La valutazione successiva dovrebbe verificare la registrazione, confrontare il punto con unità economicamente simili e stimare una sensibilità con e senza di esso. Se le conclusioni dipendono drasticamente da una singola osservazione autentica, è importante comunicarlo. Nascondere il punto perché scomodo produce una rappresentazione selettiva; ignorarne il ruolo produce una falsa impressione di stabilità. Una relazione economica osservata soltanto grazie a pochi casi estremi richiede una qualificazione diversa da una relazione sostenuta da variazione diffusa.

Trimming, winsorizzazione e trasformazioni

Il trimming elimina osservazioni oltre certe soglie; la winsorizzazione sostituisce i valori estremi con valori di soglia. Entrambe modificano la distribuzione e possono cambiare l’estimando. Una media dopo trimming non è la media della popolazione originale; una regressione su valori winsorizzati riguarda variabili trasformate. Le soglie dovrebbero essere motivate e dichiarate, preferibilmente definite prima di vedere l’effetto sui risultati. Non è corretto presentare tali operazioni come semplice «pulizia» quando alterano dati autentici.

Trasformazioni come il logaritmo possono ridurre la dominanza di valori grandi, ma cambiano la funzione di perdita e l’interpretazione. La regressione mediana o altre procedure robuste possono offrire confronti utili quando l’obiettivo è una caratteristica centrale meno sensibile alle code. Non risolvono però automaticamente errori di misura, selezione o endogeneità. La robustezza rispetto a valori estremi è una proprietà specifica, distinta dalla robustezza degli errori standard e dalla credibilità causale.

Diagnostica congiunta e comunicazione

Una diagnosi utile combina distribuzioni delle variabili, residui rispetto ai valori stimati, leverage, osservazioni influenti e sensibilità delle quantità di interesse. Non basta produrre molte statistiche senza una domanda. Se l’obiettivo è prevedere imprese ordinarie, un punto estremo fuori dalla popolazione di utilizzo può avere un ruolo diverso rispetto a un’analisi che mira proprio a grandi imprese. La popolazione obiettivo deve guidare il trattamento dei casi, non essere ridefinita implicitamente dopo la stima.

La relazione finale dovrebbe distinguere risultati dell’intero campione, correzioni di errori documentati e analisi di sensibilità su campioni o trasformazioni alternativi. Riportare che una stima cambia da 0,8 a 0,2 escludendo due osservazioni informa sulla fragilità; non determina da solo quale numero sia vero. L’analista deve spiegare che cosa rappresentano quelle unità e perché la loro inclusione o esclusione sia pertinente. La diagnostica serve a rendere trasparente il rapporto fra dati e conclusioni, non a selezionare automaticamente il risultato desiderato.

Esercizio svolto: collinearità o distorsione?

Un ricercatore elimina un controllo perché il suo VIF è 12 e osserva che l’errore standard del trattamento si dimezza. Il miglioramento della precisione non dimostra che il modello sia migliore. Se il controllo è un confondente antecedente necessario, la nuova stima può essere più precisa ma distorta. Se invece il controllo è una trasformazione ridondante non necessaria all’obiettivo, una parametrizzazione più semplice può essere ragionevole. La decisione richiede di identificare il ruolo della variabile e il confronto desiderato; il VIF misura un problema di informazione lineare, non la validità causale del controllo.