Econometria.

Il modello a effetti casuali

Nel modello y_it = α + x_it′β + a_i + u_it, gli effetti casuali assumono una relazione sufficientemente restrittiva fra a_i e i regressori, tipicamente E(a_i|x_i1,…,x_iT) = 0. La componente permanente è quindi incorrelata con la storia delle covariate nella formulazione standard. Con ulteriori ipotesi sulle varianze e sulla dipendenza, si può sfruttare sia la variazione within sia quella between. Il possibile guadagno di precisione deriva proprio da informazioni che il within elimina per evitare la correlazione con a_i.

L’ipotesi non è innocua: imprese con qualità gestionale persistentemente alta possono scegliere investimenti maggiori; persone con abilità permanente maggiore possono acquisire più istruzione. Se queste caratteristiche entrano in a_i, l’ortogonalità con i regressori è dubbia. RE non dovrebbe essere scelto soltanto perché permette di stimare una variabile costante nel tempo o produce errori standard più piccoli. La possibilità di stimare quel coefficiente deriva da restrizioni aggiuntive, non da nuova informazione osservata.

Covarianza a componenti di errore

Assumendo Var(a_i) = σa², Var(u_it) = σu² e assenza di correlazione fra componenti e fra unità, la covarianza del vettore degli errori di una unità è Ω_i = σu²I_t + σa²11′. Due periodi della stessa unità condividono a_i e hanno covarianza σa². La correlazione intraclasse è σa²/(σa² + σu²). La struttura descrive una dipendenza persistente semplice, non ogni possibile autocorrelazione temporale. Se u_it è a sua volta serialmente correlato, la matrice RE elementare è incompleta.

GLS usa Ω_i^-1 per combinare informazione dei periodi. Le componenti di varianza sono normalmente stimate, producendo GLS fattibile. La qualità della ponderazione dipende dalla specificazione e dalle condizioni dei momenti. Anche quando la matrice di lavoro è approssimata, una covarianza cluster-robust può essere utile per l’inferenza se le condizioni sulla media rimangono valide. Non corregge però una correlazione fra a_i e x_it che rende il coefficiente inconsistente rispetto al modello strutturale.

Quasi-demeaning

Nel panel bilanciato standard, la trasformazione RE può essere scritta y_it − θȳ_i e x_it − θx̄_i, con:

Anche la costante viene trasformata in 1 − θ. Se σa² = 0, θ = 0 e si torna alla regressione pooled. Se la componente permanente è molto importante rispetto al rumore idiosincratico, θ si avvicina a uno e la trasformazione si avvicina al within. Nel panel sbilanciato il coefficiente può dipendere dal numero Ti di periodi osservati per unità, secondo la struttura assunta.

Con σu² = 4, σa² = 1 e T = 4, θ = 1 − √(4/8) ≈ 0,2929. La trasformazione sottrae circa il 29,3% della media individuale, non la media completa. Rimane quindi informazione between. Il valore non è una misura della credibilità dell’esogeneità: dipende dalle componenti di varianza. Un θ vicino a uno non dimostra che RE sia valido quando a_i è correlata con i regressori; modifica soltanto il peso attribuito alle fonti di variazione.

Stimatore between e pooled

La regressione between usa ȳ_i = α + x̄_i′β + a_i + ū_i. Confronta unità con medie diverse e richiede ortogonalità appropriata fra x̄_i e a_i + ū_i per interpretare il coefficiente come β. Il pooled OLS usa tutte le righe senza modellare esplicitamente la componente permanente, e la sua covarianza ordinaria ignora la dipendenza entro unità. Anche quando il pooled è consistente sotto forti ipotesi di esogeneità, può essere inefficiente e avere errori standard sbagliati se trattato come un campione indipendente.

La differenza fra coefficienti within e between può riflettere eterogeneità permanente correlata, ma anche effetti economici diversi nel breve e nel lungo periodo, errori di misura o misspecificazione. Non bisogna attribuire automaticamente ogni scostamento alla sola correlazione fra a_i e x. Le due regressioni usano confronti diversi e possono stimare diversi parametri di proiezione quando l’effetto non è omogeneo. Il modello teorico deve spiegare perché ci si aspetta che le due fonti identifichino un unico coefficiente comune.

Il test di hausman

Il test di Hausman confronta uno stimatore consistente sotto un insieme più ampio di ipotesi con uno più efficiente sotto la nulla. Nel confronto classico FE-RE, la nulla include l’ortogonalità richiesta da RE e le condizioni che rendono appropriato il confronto di covarianze. La statistica usa la differenza d = β̂FE − β̂RE e, nella forma classica, la matrice Var(β̂FE) − Var(β̂RE). Sotto regolarità, la forma quadratica ha un riferimento chi-quadrato con rango pertinente.

La formula semplice può produrre matrici non positive o risultati problematici quando si mescolano covarianze robuste non coerenti con la derivazione, campioni differenti o parametri non confrontabili. Non bisogna interpretare un numero negativo come prova dell’assenza di differenze. Esistono formulazioni tramite regressioni ausiliarie, momenti o correlated random effects che consentono test robusti appropriati. Il non rifiuto non dimostra esogeneità: può riflettere poca potenza o effetti debolmente identificati. La scelta sostanziale non dovrebbe essere delegata interamente a un test preliminare.

Approccio di mundlak

L’approccio di Mundlak rappresenta la dipendenza della componente permanente dalle covariate attraverso le medie individuali: a_i = x̄_i′π + c_i, con una condizione di media nulla per c_i rispetto alla storia dei regressori. Sostituendo, y_it = α + x_it′β + x̄_i′π + c_i + u_it. Il modello include quindi sia i regressori variabili nel tempo sia le loro medie per unità. La formulazione è nota come correlated random effects, CRE, e rende esplicito quale forma di correlazione viene consentita.

Nel modello lineare standard con medie appropriate, il coefficiente della variazione temporale è strettamente collegato allo stimatore within, e nella parametrizzazione usuale sullo stesso panel bilanciato coincide con esso per le covariate variabili nel tempo. La verifica π = 0 offre un modo per esaminare la restrizione RE usando un test congiunto e una covarianza adeguata. Non è una prova dell’assenza di ogni forma di dipendenza: la rappresentazione tramite medie impone a sua volta una struttura. Il contributo originale di Mundlak è indicato nel riferimento R18.

Parametrizzazione within-between

Un modo trasparente di scrivere il modello è y_it = α + (x_it − x̄_i)′βW + x̄_i′βB + errore. βW descrive il confronto interno; βB il confronto fra medie. Nella formulazione di Mundlak precedente, βW = β e βB = β + π. Il test π = 0 equivale quindi a verificare l’uguaglianza dei coefficienti within e between nella struttura specificata. Questa parametrizzazione facilita la comunicazione perché evita di attribuire lo stesso significato a variazioni temporali e differenze persistenti.

L’uguaglianza può non essere una previsione economica ragionevole. Un aumento temporaneo del reddito e un reddito permanentemente più alto possono influenzare il consumo in modi diversi. In tal caso la differenza fra βW e βB può riflettere una distinzione teorica, non soltanto un errore di stima. Il modello deve chiarire se il parametro desiderato è una risposta a shock transitori, una relazione fra livelli permanenti o un effetto causale specifico. La scomposizione statistica aiuta a formulare la domanda, ma non la determina da sola.

Variabili costanti nel tempo

CRE può includere regressori invarianti nel tempo, che FE assorbe. Tuttavia, il loro coefficiente è identificato attraverso differenze fra unità e richiede condizioni sulla relazione con la componente permanente residua. Includere le medie delle covariate variabili non rende automaticamente esogena una caratteristica permanente. Se una variabile invariata è correlata con aspetti non osservati non rappresentati dalle medie, il coefficiente può rimanere distorto. La maggiore flessibilità di CRE deve essere descritta con precisione, senza presentarla come una soluzione universale alla correlazione non osservata.

Nel panel sbilanciato, il processo che determina i periodi osservati può influenzare le medie individuali e richiedere estensioni, controlli della struttura del campione o condizioni specifiche. Una media basata su due periodi non ha lo stesso contenuto di una basata su dieci se l’assenza è informativa. Il confronto FE-RE-CRE dovrebbe essere effettuato su un campione comune e con definizioni coerenti delle medie. Differenze di risultati dovute a osservazioni escluse non devono essere attribuite esclusivamente allo stimatore.

Previsione per unità osservate e nuove

Per una unità già osservata, si può utilizzare informazione sulla sua componente permanente per prevedere nuovi periodi. In un modello RE, una previsione della componente a_i può essere una media ridotta verso zero, con intensità di shrinkage legata a T e alle varianze. Per una nuova unità senza storia non si dispone della stessa informazione individuale e la previsione deve integrare o porre a media la componente non osservata, secondo l’oggetto. Le due situazioni hanno incertezza diversa e vanno validate separatamente.

Una validazione casuale delle righe può collocare la stessa unità sia nel training sia nel test, misurando soprattutto la previsione di unità conosciute. Per valutare nuove unità occorre una divisione per identificativo. Per prevedere il futuro serve anche rispettare l’ordine temporale. La scelta del disegno di validazione può cambiare la prestazione apparente più della scelta fra FE e RE. Il modello deve essere valutato rispetto al suo uso effettivo, non a una divisione dei dati comoda ma non pertinente.

Modelli non lineari con effetti individuali

L’equivalenza semplice fra dummies e trasformazione within è propria del modello lineare. Nei modelli non lineari, stimare molti effetti individuali con T piccolo può generare il problema dei parametri incidentali, che può distorcere anche le pendenze. Alcuni modelli ammettono verosimiglianze condizionate che eliminano gli effetti, come il logit condizionato in contesti appropriati; altri richiedono correzioni o ipotesi di effetti casuali. Non si può applicare la sottrazione delle medie a un esito binario e dichiarare di aver ottenuto un logit FE equivalente.

Il logit condizionato usa informazione delle unità con variazione dell’esito e non identifica direttamente effetti delle covariate invarianti. Le probabilità individuali assolute e gli effetti marginali possono richiedere ulteriore informazione sugli effetti non osservati. Nei modelli RE non lineari si integra rispetto a una distribuzione della componente individuale, che è un’ipotesi aggiuntiva. La scelta deve distinguere interesse per parametri condizionati, probabilità medie e distribuzione dell’eterogeneità.

Esercizio svolto: leggere mundlak

Si stima y_it = α + 0,4x_it + 0,7x̄_i + errore. Il coefficiente within è 0,4. Riscrivendo x_it = (x_it − x̄_i) + x̄_i, si ottiene y_it = α + 0,4(x_it − x̄_i) + 1,1x̄_i + errore. Il coefficiente between è quindi 1,1, non 0,7. Quest’ultimo rappresenta la differenza fra between e within nella parametrizzazione iniziale. Per verificare la restrizione RE in questo schema si testa il coefficiente 0,7 contro zero, usando la sua incertezza, non si confrontano informalmente i valori 0,4 e 0,7 come se fossero due effetti dello stesso tipo.