Econometria.

Un sistema dinamico di variabili

Un vector autoregression, VAR(p), descrive un vettore Y_t di K variabili attraverso i suoi ritardi: Y_t = c + A₁Y_t-1 + … + ApY_t-p + u_t. Ogni equazione contiene ritardi di tutte le variabili, salvo restrizioni. Il sistema può rappresentare interazioni dinamiche senza imporre immediatamente una struttura contemporanea causale. Le innovazioni ridotte u_t possono essere correlate fra equazioni, perché condividono shock o combinazioni di shock strutturali.

Con gli stessi regressori in ogni equazione e condizioni di esogeneità temporale appropriate, OLS equazione per equazione è una procedura naturale per i coefficienti ridotti. La correlazione contemporanea degli errori non richiede automaticamente SUR per modificare le pendenze quando gli spazi dei regressori coincidono. Il problema principale per una lettura causale è distinguere le innovazioni ridotte dagli shock economici di interesse. Il VAR ridotto, da solo, identifica una distribuzione dinamica condizionata, non una struttura causale unica.

Stabilità e rappresentazione companion

La stabilità di un VAR dipende dagli autovalori della matrice companion, che devono essere interni al cerchio unitario per la soluzione stazionaria causale usuale. Equivalentemente, le radici del polinomio det(I − A₁z − … − Apzᵖ) devono essere esterne al cerchio unitario. Le due affermazioni usano oggetti diversi e non sono in contraddizione. Verificare separatamente che ogni coefficiente sia piccolo non basta a garantire stabilità del sistema.

In un VAR stabile, la media è μ = (I − A₁ − … − Ap)^-1c, quando l’inversa esiste. Il sistema ammette una rappresentazione a media mobile infinita Y_t − μ = ∑ₕ₌₀∞Ψₕu_t-ₕ, con Ψ₀ = I e coefficienti ricavati ricorsivamente. Le matrici Ψₕ descrivono come innovazioni ridotte si propagano nel sistema. La loro interpretazione strutturale richiede un’ulteriore mappa fra u_t e shock identificati.

Dimensione e scelta dei ritardi

Ogni equazione di un VAR non ristretto contiene circa Kp coefficienti dinamici, oltre ai termini deterministici. Il numero complessivo cresce rapidamente con K e p. Campioni limitati possono produrre stime instabili e previsioni deboli. Criteri informativi, test di restrizioni e validazione temporale aiutano a scegliere la complessità, ma devono usare campioni comparabili. Aggiungere variabili perché disponibili non garantisce un miglioramento del sistema.

VAR bayesiani, penalizzati o fattoriali possono ridurre la variabilità imponendo struttura o shrinkage. Il vantaggio dipende dalla pertinenza delle restrizioni. La selezione delle variabili dovrebbe partire dall’insieme informativo e dalla domanda economica, non soltanto da una ricerca di risposte impulsive interessanti. Anche termini deterministici, stagionalità e rotture devono essere rappresentati. Un VAR stabile su un periodo può non restare valido dopo un cambiamento del meccanismo.

Causalità di granger

X non causa Y nel senso di Granger, rispetto a un insieme informativo e a un modello specificati, se i ritardi di X non migliorano la previsione di Y oltre le altre informazioni incluse. In un VAR lineare, si può testare congiuntamente che i coefficienti dei ritardi di X nell’equazione di Y siano nulli. Il risultato riguarda prevedibilità temporale. Non dimostra un effetto causale di un intervento su X, perché variabili omesse, anticipazioni e shock comuni possono generare precedenza informativa.

Il significato dipende dall’insieme informativo. Aggiungere una variabile che anticipa entrambe le serie può modificare il test. Frequenza e aggregazione possono alterare quale variabile sembri precedere l’altra. Con variabili integrate o cointegrate, la procedura inferenziale deve essere appropriata alla struttura del sistema; test ordinari non sono automaticamente validi. La parola «causalità» in questo contesto va accompagnata dalla qualificazione predittiva, per evitare una conclusione più forte di quella identificata.

Innovazioni ridotte e shock strutturali

Si può scrivere u_t = Bε_t, con E(ε_tε_t′) = I e Σu = BB′. La matrice di covarianza ridotta non identifica B in modo unico: rotazioni ortogonali possono produrre la stessa Σu. Servono restrizioni aggiuntive. Una decomposizione di Cholesky sceglie B triangolare e incorpora un ordinamento ricorsivo contemporaneo. L’ordinamento stabilisce quali variabili possono reagire immediatamente ad altre e quali no. Non è una scelta neutra di visualizzazione.

Per K shock normalizzati, B contiene K² elementi mentre Σu fornisce K(K + 1)/2 momenti distinti; occorrono restrizioni aggiuntive per separare gli shock nella formulazione standard. Restrizioni di breve periodo, lungo periodo, segno o strumenti esterni offrono strategie diverse. Ciascuna deve essere motivata economicamente e può identificare un punto oppure un insieme di risposte. Una risposta impulsiva strutturale è credibile solo quanto le restrizioni che definiscono lo shock.

Risposte impulsive

La risposta al tempo h a uno shock strutturale unitario j è la colonna j di ΨₕB. È necessario specificare la scala: uno shock di una deviazione standard, di una unità della variabile o normalizzato per produrre un certo impatto iniziale. Risposte in livelli, logaritmi o differenze hanno interpretazioni diverse; per ottenere un effetto cumulato da una variabile differenziata occorre sommare le risposte con una procedura inferenziale coerente. La scala non può essere dedotta dal solo grafico.

Una risposta positiva a h = 2 non significa che la probabilità dell’evento sia aumentata né che l’effetto sia precisamente distinto da zero. Occorrono intervalli e una discussione dell’incertezza di stima e identificazione. Bande puntuali non garantiscono copertura simultanea dell’intera traiettoria. Bootstrap o metodi asintotici devono rispettare stabilità, dipendenza e procedura di identificazione. Se l’identificazione è debole, l’approssimazione convenzionale può essere inadeguata.

Restrizioni di segno e strumenti esterni

Restrizioni di segno impongono che alcune variabili reagiscano in una certa direzione per orizzonti specificati. Possono lasciare un insieme di matrici B compatibili con i dati e le restrizioni. Presentare un’unica curva senza chiarire come è stata scelta può nascondere l’incertezza identificante. Il segno imposto non è un risultato empirico scoperto dal modello: è un’ipotesi usata per selezionare gli shock. Le risposte non vincolate possono invece contenere informazione da valutare.

Uno strumento esterno per uno shock deve essere correlato con quello shock e ortogonale agli altri shock strutturali pertinenti, sotto la strategia specifica. La rilevanza e l’esclusione sono analoghe nella logica a IV, ma riguardano innovazioni del sistema. Una misura narrativa o un indicatore ad alta frequenza non è valido soltanto per il suo nome: occorre verificare quali informazioni contiene e quali canali può rappresentare. Strumenti deboli possono rendere fragili risposte impulsive e intervalli.

Scomposizione della varianza previsiva

La forecast error variance decomposition attribuisce la varianza dell’errore di previsione di una variabile ai diversi shock identificati, a un certo orizzonte. La quota dipende dalle matrici di propagazione e dalla normalizzazione degli shock. Non è una scomposizione causale universale indipendente dall’identificazione. Cambiare ordinamento di Cholesky o restrizioni può modificare le quote. L’orizzonte conta: uno shock può spiegare poco nel breve e molto nel lungo periodo.

Una quota elevata non implica che un intervento osservabile possa controllare quella componente con la stessa facilità. Lo shock è definito nel modello e può rappresentare una combinazione di eventi. La scomposizione descrive la variabilità prevista sotto la struttura stimata, non un’attribuzione storica automatica di responsabilità. Anche le historical decompositions richiedono la stessa identificazione e una gestione delle condizioni iniziali. La lettura economica deve restare proporzionata a ciò che il sistema identifica.

VECM e cointegrazione

Un VAR in livelli può essere riscritto come ΔY_t = c + ΠY_t-1 + ∑_j=1p−1Γ_jΔY_t-j + u_t. Se le variabili sono I(1) e il rango di Π è r con 0 < r < K, si può fattorizzare Π = αβ′. Le colonne di β definiscono relazioni cointegranti; α contiene coefficienti di aggiustamento. Il modello è un vector error correction model, VECM. Se r = 0 non vi è termine di correzione del livello; un rango pieno corrisponde a una struttura diversa da un sistema interamente I(1) con trend comuni.

Le matrici α e β non sono uniche senza normalizzazione: trasformazioni invertibili nello spazio cointegrante possono lasciare invariato Π. L’interpretazione di singole equazioni richiede quindi vincoli e convenzioni. Un elemento di α vicino a zero può suggerire che una variabile non aggiusti a una relazione, ma test e interpretazione di debole esogeneità richiedono il quadro completo. Non basta guardare un coefficiente isolato per assegnare una direzione causale al sistema.

Proiezioni locali

Le local projections stimano per ciascun orizzonte h una regressione dell’esito futuro sulla misura dello shock e sui controlli appropriati, per esempio Y_t+ₕ = aₕ + bₕShock_t + controlli temporali + errore_t+ₕ. bₕ descrive direttamente la risposta all’orizzonte h sotto le condizioni di identificazione dello shock. Il metodo evita di imporre che tutta la traiettoria derivi dall’iterazione di un unico VAR parametrico. Il contributo originario di Jordà è indicato nel riferimento R24.

La flessibilità può aumentare la varianza e produrre traiettorie meno lisce. Gli errori delle regressioni a più passi possono essere serialmente correlati, richiedendo inferenza coerente con sovrapposizione e disegno. Aggiungere molti ritardi può ridurre bias ma consumare informazione. Local projections non rendono automaticamente esogeno uno shock osservato: strumenti, controlli o un disegno credibile rimangono necessari. Una LP-IV combina proiezioni locali e identificazione strumentale, ereditandone anche i problemi di forza ed esclusione.

VAR e proiezioni locali a confronto

Un VAR correttamente specificato può sfruttare restrizioni dinamiche per ottenere maggiore precisione; una proiezione locale può essere più flessibile rispetto a certe misspecificazioni della dinamica. Il confronto non si risolve dichiarando un metodo sempre superiore. Contano lunghezza del campione, orizzonte, numero di variabili e credibilità delle restrizioni. Entrambi richiedono la stessa chiarezza sulla definizione dello shock quando si desidera un’interpretazione causale.

È utile confrontare traiettorie, intervalli e sensibilità a ritardi e campioni comuni. Differenze possono derivare da parametrizzazione, trattamento dei trend, normalizzazione dello shock o osservazioni disponibili ai diversi orizzonti. Prima di attribuirle a una contraddizione economica, occorre uniformare questi elementi. La comunicazione dovrebbe separare identificazione dello shock, stima della propagazione e inferenza, che sono tre passaggi distinti.

Esercizio svolto: propagazione in un VAR(1)

Un VAR(1) centrato ha A = [[0,5; 0,2], [0; 0,4]] e si considera un’innovazione ridotta iniziale (0,1)′. L’impatto è (0,1)′; dopo un periodo la risposta è A(0,1)′ = (0,2; 0,4)′; dopo due è A(0,2; 0,4)′ = (0,18; 0,16)′. La prima variabile reagisce attraverso il collegamento dalla seconda. Questo calcolo riguarda una specifica innovazione ridotta. Per chiamarla uno shock strutturale identificato occorre spiegare perché tale innovazione rappresenti il meccanismo economico di interesse e come siano trattate le correlazioni contemporanee.