Econometria.

L’idea dello strumento

Una variabile strumentale Z fornisce una fonte di variazione di X che può essere utilizzata per identificare il coefficiente strutturale quando X è endogena. Nel modello semplice Y = α + βX + u, servono almeno rilevanza, Cov(Z,X) ≠ 0, e una condizione di validità come Cov(Z,u) = 0, con le altre regolarità. La validità incorpora restrizioni economiche: lo strumento non deve influenzare l’esito attraverso canali esclusi dall’equazione né essere associato a determinanti non osservati dell’esito. Una forte correlazione con X dimostra soltanto rilevanza statistica, non validità.

L’esclusione riguarda il ruolo dello strumento nell’equazione strutturale; l’indipendenza o esogeneità riguarda la sua relazione con fattori non osservati. Le due nozioni sono collegate ma non identiche. Una lotteria può essere assegnata casualmente ma influenzare l’esito anche attraverso un canale diverso dal trattamento, violando l’esclusione. Una variabile può non avere un effetto diretto plausibile ma essere correlata con caratteristiche non osservate, violando l’esogeneità. L’argomentazione deve affrontare entrambi gli aspetti nel contesto specifico.

Stimatore IV nel caso semplice

Prendendo la covarianza del modello con Z, si ottiene Cov(Z,Y) = βCov(Z,X) + Cov(Z,u). Se il secondo termine è zero e il denominatore è diverso da zero, β = Cov(Z,Y)/Cov(Z,X). Lo stimatore campionario con intercetta è:

Il numeratore misura la relazione ridotta fra strumento ed esito; il denominatore misura il primo stadio fra strumento e regressore. IV interpreta il rapporto fra queste due variazioni sotto le condizioni di validità. È uno stimatore rapporto e non è, in generale, corretto in campioni finiti. Con denominatore poco informativo può avere una distribuzione molto asimmetrica o con code pesanti. La consistenza convenzionale richiede una rilevanza sufficientemente stabile nel limite e condizioni sui momenti, non soltanto un denominatore campionario diverso da zero.

Forma ridotta e primo stadio

Con controlli W, il primo stadio rappresenta X attraverso Z e W: X = W′πW + Z′πZ + v. La forma ridotta dell’esito rappresenta Y attraverso gli stessi strumenti e controlli. Nel caso esattamente identificato con uno strumento escluso e un regressore endogeno, il rapporto fra il coefficiente dello strumento nella forma ridotta e quello nel primo stadio restituisce il coefficiente IV, dopo aver trattato coerentemente i controlli. Il primo stadio deve includere le variabili esogene presenti nell’equazione strutturale, non soltanto gli strumenti esclusi.

Il coefficiente di primo stadio non va confuso con l’effetto strutturale sull’esito. Uno strumento può modificare molto X e avere una forma ridotta piccola perché l’effetto β è piccolo. Può anche avere una forma ridotta grande attraverso un canale diretto invalido. La valutazione deve quindi considerare insieme rilevanza, esclusione, esogeneità e significato dell’estimando. Una tabella di IV senza primo stadio e senza spiegazione dello strumento lascia incompleta la principale argomentazione identificante.

Minimi quadrati a due stadi

Sia X la matrice dei regressori strutturali, alcuni endogeni, e Z la matrice degli strumenti complessivi, comprendente i regressori esogeni e gli strumenti esclusi. Si definisce PZ = Z(Z′Z)^-1Z′. Il primo stadio proietta ogni colonna endogena di X sullo spazio di Z; le colonne esogene incluse in Z sono riprodotte esattamente. Il secondo stadio regredisce y sui regressori proiettati. Lo stimatore 2SLS è:

La condizione di rango richiede che gli strumenti forniscano variazione sufficiente per distinguere tutti i regressori endogeni. Avere almeno tanti strumenti esclusi quanti regressori endogeni è una condizione d’ordine necessaria, ma non sufficiente. Strumenti numerosi ma ridondanti possono non identificare direzioni rilevanti. Con più regressori endogeni, una buona previsione complessiva di uno di essi non garantisce che ciascuna combinazione necessaria sia sufficientemente identificata. La diagnostica deve essere coerente con la dimensione del problema.

Perché non bastano due regressioni OLS manuali

I coefficienti ottenuti usando i valori di primo stadio possono coincidere con 2SLS, ma gli errori standard della seconda regressione OLS ordinaria sono generalmente sbagliati. Il residuo strutturale pertinente è y − Xβ̂2SLS, non y − X̂β̂2SLS. Inoltre, la covarianza deve riflettere la struttura dello stimatore strumentale. Nel caso omoschedastico regolare, una forma è σ²(X′PZX)^-1; con eteroschedasticità o clustering serve una covarianza IV robusta adeguata. È quindi preferibile utilizzare un’implementazione specifica di IV/2SLS anziché trattare il secondo stadio come una regressione ordinaria autonoma.

Se l’equazione contiene X e X² endogeni, occorre strumentare le due colonne secondo le condizioni di momento appropriate. Elevare semplicemente al quadrato la previsione di X non equivale in generale alla proiezione di X² sullo spazio degli strumenti. Analogamente, interazioni con variabili endogene richiedono strumenti e condizioni di esclusione coerenti. Le trasformazioni non possono essere aggiunte al secondo stadio senza verificare come siano identificate. L’algebra delle colonne deve seguire la specificazione strutturale effettiva.

Precisione e forza del primo stadio

Nel caso semplice omoschedastico, la varianza asintotica della pendenza IV è inversamente legata alla parte di variazione di X spiegata dallo strumento. A parità degli altri elementi, uno strumento poco correlato con X produce una stima imprecisa. In una semplificazione con Var(X) = 1, varianza dell’errore pari a uno, n = 100 e correlazione strumento-regressore 0,2, una varianza approssimata è 1/[100 × 1 × 0,2²] = 0,25, con errore standard 0,5. La variazione utilizzabile è soltanto una piccola frazione della variabilità totale del regressore.

Gli strumenti deboli possono rendere inaffidabili le approssimazioni normali convenzionali e i test t di 2SLS, anche quando la stima puntuale sembra plausibile. La regola pratica di una F di primo stadio superiore a dieci non è una garanzia universale: dipende dal numero di strumenti, dalla struttura dell’errore, dal criterio di distorsione e dall’ipotesi inferenziale. Con eteroschedasticità e più regressori endogeni servono diagnostiche adatte, come statistiche di rango o misure di forza robuste. La forza non deve essere valutata con una soglia isolata senza comprenderne le condizioni.

Test di anderson–rubin

Per testare H₀: β = β₀ nel caso con un regressore endogeno, si costruisce Y − β₀X e si verifica se gli strumenti esclusi hanno coefficienti nulli nella regressione su strumenti e controlli esogeni. Sotto H₀ e validità degli strumenti, la parte residua non dovrebbe essere sistematicamente spiegata dagli strumenti. La procedura non richiede di dividere per un primo stadio forte e può fornire inferenza robusta alla debole identificazione, con la versione classica o robusta appropriata alle altre ipotesi.

Invertendo il test per diversi β₀ si ottiene un insieme di confidenza che può essere molto ampio, disconnesso o non limitato. Non è necessariamente un difetto: può rappresentare correttamente la poca informazione disponibile. Forzare un intervallo stretto tramite un’approssimazione normale non crea identificazione. Esistono procedure ulteriori, come test di verosimiglianza condizionata e metodi per sottoinsiemi di parametri, ma la scelta deve essere coerente con numero di regressori endogeni, strumenti e struttura della covarianza.

Esatta identificazione e sovraidentificazione

Un modello è esattamente identificato quando il numero di condizioni strumentali indipendenti coincide con il numero dei parametri da identificare; è sovraidentificato quando dispone di condizioni aggiuntive. I test di sovraidentificazione, come Sargan nel caso omoschedastico o Hansen J in una formulazione robusta GMM, verificano la compatibilità congiunta delle restrizioni di momento. Un rifiuto può indicare strumenti invalidi o altre misspecificazioni. Un non rifiuto non dimostra che tutti gli strumenti siano validi, perché il test può avere poca potenza o non distinguere violazioni condivise.

Nel caso esattamente identificato non esistono restrizioni aggiuntive da usare per un test di sovraidentificazione. La validità deve essere sostenuta dall’argomentazione economica e dal disegno. Aggiungere strumenti soltanto per poter eseguire un test non è una buona motivazione. Molti strumenti possono peggiorare il comportamento finito, adattare eccessivamente i regressori endogeni e rendere meno informativi alcuni test. La parsimonia e la qualità delle esclusioni sono spesso più importanti del numero di colonne nella matrice Z.

Test di endogeneità

Una formulazione del test di Durbin–Wu–Hausman include nell’equazione strutturale i residui del primo stadio e verifica se il loro coefficiente è nullo, sotto le condizioni che rendono valida tale procedura. Un’altra confronta stime OLS e IV usando una covarianza appropriata della differenza. L’interpretazione richiede strumenti validi: se IV è inconsistente, la divergenza rispetto a OLS non identifica automaticamente quale stima sia corretta. Anche la debolezza degli strumenti può ridurre la potenza o alterare l’approssimazione.

Il test non sostituisce la scelta dell’estimando. Con effetti eterogenei, OLS e IV possono attribuire pesi diversi a effetti diversi, per cui una differenza non deve essere letta meccanicamente come sola prova di distorsione di OLS rispetto a un unico coefficiente universale. È necessario collegare il confronto al modello strutturale e alle condizioni che giustificano un effetto comune oppure una particolare media ponderata. La teoria dell’identificazione deve precedere la lettura del p-value.

LATE e non adesione al trattamento

Con strumento binario Z, trattamento binario D e non adesione, il rapporto di Wald è [E(Y|Z = 1) − E(Y|Z = 0)]/[E(D|Z = 1) − E(D|Z = 0)]. Sotto indipendenza dello strumento, esclusione, rilevanza, assenza di interferenza pertinente e monotonicità, identifica un effetto medio locale per i compliers: le unità il cui trattamento cambia nella direzione indotta dallo strumento. La monotonicità esclude unità che reagiscano sistematicamente nella direzione opposta. L’effetto non coincide necessariamente con l’ATE dell’intera popolazione.

Se l’offerta casuale di un corso aumenta la partecipazione da 0,50 a 0,80 e aumenta l’esito medio da 64 a 70, l’effetto dell’offerta è 6, il primo stadio è 0,30 e il rapporto di Wald è 20. Sotto le ipotesi indicate, 20 è l’effetto medio del corso per chi partecipa proprio grazie all’offerta. Non è automaticamente l’effetto sui partecipanti che avrebbero seguito il corso comunque né su chi non parteciperebbe in nessun caso. Strumenti diversi possono individuare popolazioni di compliers diverse e quindi effetti locali diversi senza essere necessariamente incompatibili.

Esercizio svolto: violazione dell’esclusione

Supponiamo che il vero modello sia Y = βX + γZ + u, ma si usi Z come strumento escludendolo dall’equazione. Il rapporto di covarianze converge a β + γVar(Z)/Cov(Z,X), se Cov(Z,u) = 0. Anche una piccola influenza diretta γ può produrre una distorsione grande quando Cov(Z,X) è piccola. Lo strumento debole amplifica quindi la sensibilità a violazioni dell’esclusione. Un primo stadio statisticamente significativo non elimina il problema: occorre motivare perché γ dovrebbe essere nullo o valutare esplicitamente come cambiano le conclusioni ammettendo valori plausibili diversi da zero.