Appendice A — Formulario commentato
Convenzioni
n indica la numerosità del campione; k il numero complessivo dei parametri lineari stimati, compresa l’intercetta; X la matrice n × k dei regressori; y il vettore degli esiti; β il vettore dei coefficienti. RSS indica la somma dei residui al quadrato, TSS la somma totale degli scarti dalla media ed ESS la somma spiegata. Le lettere possono assumere ruoli locali diversi quando dichiarato, per esempio T come lunghezza di una serie. Una formula di stima, una formula di covarianza e un’interpretazione causale richiedono condizioni differenti: vanno controllate separatamente.
A1 — aspettativa, varianza e condizionamento
E(Y) = E[E(Y|X)]. Var(Y) = E[Var(Y|X)] + Var[E(Y|X)]. Cov(X,Y) = E[(X − E(X))(Y − E(Y))]. Per costanti a e b, Var(aX + b) = a2Var(X), mentre Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X,Y). La covarianza non può essere eliminata senza una condizione che la renda nulla. Le formule richiedono l’esistenza dei momenti pertinenti. Una covarianza nulla non implica indipendenza in generale, mentre indipendenza e momenti finiti implicano covarianza nulla.
A2 — media campionaria e limite centrale
Con osservazioni i.i.d. di media μ e varianza σ2 finita, E(X̄) = μ e Var(X̄) = σ2/n. Il limite centrale classico dà √n(X̄ − μ) →d N(0,σ2). Con dipendenza temporale, la varianza limite può essere Ω = ∑h∈Zγ(h), sotto condizioni di convergenza e dipendenza appropriate. La varianza della media è allora approssimativamente Ω/n. Sostituire σ2/n in una serie autocorrelata ignora i termini incrociati. La legge dei grandi numeri giustifica la convergenza della media, ma non fornisce da sola il tasso e la distribuzione del suo errore.
A3 — OLS e geometria
β̂ = (X′X)-1X′y, se X ha rango k. ŷ = PXy con PX = X(X′X)-1X′; û = MXy con MX = I − PX. Le condizioni normali sono X′û = 0. L’ortogonalità è una proprietà campionaria del procedimento e non dimostra E(X′u) = 0 per l’errore strutturale. Nella regressione semplice con intercetta, β̂1 = Sxy/Sxx e β̂0 = ȳ − β̂1x̄. L’inversa non esiste con collinearità perfetta; soluzioni numeriche generalizzate non restituiscono automaticamente parametri strutturali separatamente identificati.
A4 — adattamento e varianza classica
Con intercetta, TSS = ESS + RSS e R2 = 1 − RSS/TSS, quando TSS > 0. La varianza residua classica è s2 = RSS/(n − k). Sotto Var(u|X) = σ2I, Var(β̂|X) = σ2(X′X)-1, stimata con s2(X′X)-1. La normalità non serve per calcolare OLS, ma consente le distribuzioni t e F esatte insieme alle altre ipotesi. R2 misura adattamento alla variazione campionaria dell’esito nella scala utilizzata, non esogeneità, causalità o accuratezza fuori campione.
A5 — covarianze robuste
HC0 è (X′X)-1[∑iûi2xixi′](X′X)-1. HC1 applica una correzione globale, comunemente n/(n − k). HC2 sostituisce ûi2 con ûi2/(1 − hii), HC3 con ûi2/(1 − hii)2. La covarianza cluster di base sostituisce il centro con ∑gXg′ûgûg′Xg. HAC aggiunge prodotti ritardati dei contributi xtût con pesi e banda appropriati. Queste procedure consentono strutture differenti della covarianza: HC non copre automaticamente dipendenza, clustering non è una correzione universale per pochi gruppi e nessuna di esse elimina endogeneità dei coefficienti.
A6 — test e combinazioni lineari
Per H0: βj = b, t = (β̂j − b)/SE(β̂j). Per θ = a′β, θ̂ = a′β̂ e Var stimata è a′V̂a. Per H0: Rβ = r con q restrizioni indipendenti, W = (Rβ̂ − r)′(RV̂R′)-1(Rβ̂ − r), con riferimento asintotico chi-quadrato q sotto le condizioni pertinenti. Nel modello classico normale, la F parziale è [(RSSR − RSSU)/q]/[RSSU/(n − kU)]. Il riferimento esatto F e quello asintotico robusto non sono intercambiabili senza considerare ipotesi e correzioni.
A7 — variabile omessa e frisch–waugh–lovell
Nel modello Y = α + βX + γZ + u, la pendenza corta è β + γδ, dove δ è la pendenza della proiezione di Z su X e costante, sotto le condizioni del modello completo. Con regressori divisi in X1 e X2, β̂2 = (X2′M1X2)-1X2′M1y, dove M1 elimina la proiezione su X1. FWL mostra che il coefficiente parziale utilizza soltanto la variazione residua rispetto agli altri regressori. Non stabilisce quali covariate sia causalmente corretto controllare: confondenti, mediatori e collider hanno ruoli differenti.
A8 — logaritmi, polinomi e interazioni
In ln(Y) = α + βX + u, un incremento Δx cambia la componente esponenziale del fattore exp(βΔx). In un log-log, il rapporto è (Xnuovo/Xvecchio)β. In Y = α + β1X + β2X2 + u, l’effetto marginale è β1 + 2β2X e il punto stazionario è −β1/(2β2), se β2 ≠ 0. Con D e DX, la differenza fra gruppi è βD + βDX X. Ritrasformazione della media, supporto del punto stazionario e covarianze degli effetti derivati devono essere controllati. I coefficienti isolati non rappresentano sempre l’effetto sostanziale richiesto.
A9 — minimi quadrati ponderati
Se Var(ui|X) = σ2hi con hi > 0 noto, WLS usa wi = 1/hi e β̂WLS = (X′WX)-1X′Wy. La trasformazione moltiplica ogni riga di y e X, compresa la costante, per √wi. Il peso nel criterio è wi, non la trasformazione stessa. Se i pesi sono stimati o il modello della varianza è errato, occorrono condizioni e covarianze appropriate. Quando la media lineare è una proiezione approssimata, cambiare pesi può cambiare anche l’estimando, non soltanto l’efficienza.
A10 — variabili strumentali
Nel caso semplice, βIV = Cov(Z,Y)/Cov(Z,X), con denominatore non nullo ed esogeneità dello strumento rispetto all’errore strutturale. Nel caso generale, β̂2SLS = (X′PZX)-1X′PZy. I residui strutturali sono y − Xβ̂2SLS. Con strumento e trattamento binari, il rapporto di Wald divide l’effetto dello strumento sull’esito per quello sul trattamento. L’interpretazione LATE richiede indipendenza, esclusione, monotonicità, rilevanza e le altre condizioni del disegno. Strumenti deboli possono invalidare l’approssimazione normale convenzionale anche quando la formula è calcolabile.
A11 — GMM e massima verosimiglianza
GMM minimizza ḡ(θ)′Wḡ(θ). Con D = E[∂g/∂θ′] e S covarianza limite di √nḡ, la covarianza asintotica è (D′WD)-1D′WSWD(D′WD)-1/n. Con W = S-1 si semplifica in (D′S-1D)-1/n. ML massimizza ∑ln f(yi|xi;θ); in un modello regolare corretto la covarianza è l’inversa dell’informazione totale. Sotto misspecificazione, la sandwich separa curvatura del criterio e variabilità dello score. Parametri sulla frontiera, identificazione debole e dipendenza richiedono adattamenti ulteriori.
A12 — risposte binarie
Nel logit p = Λ(X′β) e, per una covariata lineare continua, ∂p/∂xj = p(1 − p)βj. Nel probit p = Φ(X′β) e ∂p/∂xj = φ(X′β)βj. Una dummy richiede normalmente una differenza discreta fra due probabilità. Nel logit exp(βj) è un odds ratio nella specificazione semplice, non un rapporto di probabilità. L’AME media effetti individualmente calcolati; l’effetto alla media valuta un unico profilo. Interazioni e trasformazioni richiedono di derivare l’intero indice e l’intera funzione di risposta.
A13 — conteggi e censura
Con media esponenziale μ = t exp(X′β), ln(t) è l’offset di esposizione e exp(βj) un rapporto di medie o tassi nel confronto pertinente. PPML può identificare una media corretta senza distribuzione Poisson completa, sotto regolarità. Nel Tobit Y = max(0,μ + u), con u normale omoschedastico e z = μ/σ, E(Y|X) = μΦ(z) + σφ(z) e la derivata è βjΦ(z). Un modello a due parti usa invece P(Y > 0|X)E(Y|Y > 0,X), consentendo due meccanismi distinti. Un valore zero autentico non è necessariamente una censura.
A14 — durate
S(t) = P(T > t), h(t) = f(t)/S(t), H(t) = ∫0th(s)ds e S(t) = exp[−H(t)]. Con censura indipendente pertinente, un contributo è f(t)ᵟS(t)1-ᵟ. Nel modello Cox h(t|X) = h0(t)exp(X′β): exp(βj) è un hazard ratio, non un rapporto di probabilità cumulative. In un AFT ln(T) = X′β + σε, exp(βj) moltiplica la scala temporale dei quantili. Rischi competitivi richiedono l’incidenza cumulativa ∫S(s)λk(s)ds, non una trasformazione isolata dell’hazard specifico che ignori gli altri eventi.
A15 — panel
Il within sottrae medie individuali: ỹit = yit − ȳi e x̃it = xit − x̄i. Elimina componenti costanti nel tempo e richiede rango nella variazione interna. Nel RE elementare, θ = 1 − √[σu2/(σu2 + Tσa2)] determina il quasi-demeaning. Mundlak aggiunge le medie individuali dei regressori per rappresentare una forma di correlazione dell’eterogeneità permanente. Con esito ritardato e T fisso, il within dinamico presenta distorsione in generale. Strumenti interni e GMM richiedono condizioni temporali e iniziali esplicite, non soltanto la presenza di molti ritardi.
A16 — effetti causali e ponderazione
ATE = E[Y(1) − Y(0)], ATT = E[Y(1) − Y(0)|D = 1]. Sotto ignorabilità e positività, ATE = E[m1(X) − m0(X)] = E[DY/e(X) − (1 − D)Y/(1 − e(X))]. Per ATT, i controlli possono essere ponderati con e(X)/(1 − e(X)), mentre i trattati ricevono peso uno, con normalizzazione coerente. Cambiare la popolazione di mediazione o tagliare regioni di supporto cambia il target. L’equilibrio delle covariate osservate non dimostra assenza di confondenti non osservati.
A17 — differenze nelle differenze e RD
La DiD elementare è (ȳT,post − ȳT,pre) − (ȳC,post − ȳC,pre), causale sotto parallelismo controfattuale e le altre condizioni. Con adozione scaglionata ed effetti eterogenei occorrono confronti e aggregazioni appropriati. Lo sharp RD identifica il salto dei limiti della media alla soglia sotto continuità degli esiti potenziali; il fuzzy RD divide il salto dell’esito per quello del trattamento. Le ipotesi riguardano tempi, supporto, anticipazione e canali della regola. Un buon adattamento locale o un pre-trend non significativo non sostituiscono tali condizioni.
A18 — processi temporali
Per AR(1), Yt = c + ρYt-1 + εt, con |ρ| < 1, μ = c/(1 − ρ), Var(Y) = σε2/(1 − ρ2) e ACF(h) = ρ|h|. Per MA(1), Yt − μ = εt + θεt-1, Var(Y) = σε2(1 + θ2) e ACF(1) = θ/(1 + θ2). La stazionarietà causale AR richiede radici del polinomio autoregressivo esterne al cerchio unitario; l’invertibilità richiede la condizione analoga per il polinomio MA nella convenzione dei segni dichiarata. Stazionarietà e invertibilità sono proprietà differenti.
A19 — previsione e moltiplicatori
Nel modello AR(1) a parametri noti, Ŷt+ₕ|t = μ + ρh(Yt − μ) e Var dell’errore = σε2∑j=0h-1ρ2ʲ. In un ARDL stabile, il moltiplicatore di lungo periodo è ∑βl/(1 − ∑φj). Intervalli di questi rapporti devono incorporare tutte le covarianze dei parametri. Una previsione con covariate future osservate ex post non è una previsione operativa ex ante. RMSE = √mean(e2) e MAE = mean(|e|) rappresentano perdite diverse. La validazione deve rispettare la disponibilità temporale di ogni trasformazione e informazione.
A20 — cointegrazione e sistemi
Serie I(1) sono cointegrate quando una combinazione non banale dei livelli è I(0). Nel VECM, ΔYt = c + ΠYt-1 + ∑ΓjΔYt-j + ut, con Π = αβ′ di rango ridotto. β descrive lo spazio cointegrante e α l’aggiustamento nella normalizzazione adottata. In un VAR strutturale ut = Bεt e Σu = BB′, la covarianza ridotta non identifica B senza restrizioni aggiuntive. Le risposte impulsive sono ΨₕB. Prevedibilità di Granger, cointegrazione e identificazione di shock causali sono nozioni distinte.
A21 — GARCH
Nel GARCH(1,1), σt2 = ω + αεt-12 + βσt-12. Con condizioni di positività e secondo momento, α + β < 1 dà σ̄2 = ω/(1 − α − β). La previsione a h passi è σ̄2 + (α + β)h-1(σt+12 − σ̄2). La varianza condizionata può cambiare pur esistendo una varianza incondizionata costante. Il quarto momento richiede condizioni ulteriori; con innovazioni normali, una condizione pertinente è 3α2 + 2αβ + β2 < 1. La radice quadrata della varianza è la volatilità nella stessa unità dell’innovazione.
A22 — quantili e regolarizzazione
La regressione quantilica minimizza ∑ρτ(yi − xi′βτ), con ρτ(u) = u[τ − 1(u < 0)]. Ridge minimizza RSS/(2n) + λ∑βj2/2 e produce (X′X + nλI)-1X′y per coefficienti penalizzati nella parametrizzazione centrata. Lasso sostituisce la penalità quadratica con λ∑|βj| e può produrre zeri esatti. Selezione predittiva non equivale a verifica causale di irrilevanza. L’inferenza dopo selezione deve considerare l’intero procedimento, non soltanto la regressione finale scelta dai dati.
A23 — posterior bayesiana
p(θ|y) è proporzionale a p(y|θ)p(θ). Con prior Beta(a,b) e s successi su n prove Bernoulli, la posterior è Beta(a + s,b + n − s). Con media normale e varianza nota, sn2 = (1/s02 + n/σ2)-1 e mn = sn2(m0/s02 + nȳ/σ2). La varianza predittiva di una nuova osservazione è σ2 + sn2. Un intervallo credibile rappresenta probabilità a posteriori condizionata a modello e prior; non è automaticamente un intervallo frequentista con la stessa copertura in ogni popolazione.
A24 — distinguere tre incertezze
L’incertezza campionaria descrive variazione dello stimatore nel disegno probabilistico adottato. L’incertezza del modello riguarda specificazione, distribuzione, stabilità e scelte analitiche. L’incertezza identificante riguarda ipotesi che collegano quantità osservate ed estimando, come esclusione o assenza di confondimento non osservato. Non esiste una formula di errore standard che incorpori automaticamente tutte e tre. Un intervallo convenzionale può essere stretto anche quando la principale minaccia è una violazione dell’identificazione. L’interpretazione finale deve dichiarare quale incertezza viene effettivamente quantificata.