Econometria.

Glossario

Adattamento. Capacità del modello di rappresentare i dati usati per stimarlo. Un buon adattamento non implica automaticamente buona previsione futura né identificazione causale.

AME. Effetto marginale medio, ottenuto calcolando un effetto per ciascun profilo di covariate e facendo la media sulla popolazione di riferimento. Non coincide in generale con l’effetto calcolato alle covariate medie.

Asintotica. Studio del comportamento di uno stimatore o test quando cresce una dimensione informativa, come n, N o T. La dimensione che cresce e quelle mantenute fisse devono essere specificate.

ATE. Effetto medio del trattamento nella popolazione obiettivo, E[Y(1) − Y(0)]. Può differire dall’effetto sui partecipanti e da effetti locali identificati tramite strumenti o soglie.

ATT. Effetto medio del trattamento sui trattati. Richiede il controfattuale senza trattamento per la popolazione che ha effettivamente ricevuto l’intervento.

Autocorrelazione. Correlazione lineare fra valori di una serie separati da un certo ritardo. La sua assenza non implica indipendenza né assenza di prevedibilità della varianza.

Bias. Differenza fra valore atteso di uno stimatore e parametro obiettivo. Una distorsione asintotica non scompare automaticamente aumentando il campione.

Bootstrap. Ricampionamento utilizzato per approssimare una distribuzione campionaria. La procedura deve riprodurre la fonte di variabilità e la dipendenza pertinenti allo stimatore.

Calibrazione. Coerenza fra probabilità o previsioni dichiarate e frequenze o valori osservati nel quadro di valutazione. È distinta dalla sola capacità di ordinare le unità per rischio.

Censura. Osservazione di un limite o intervallo anziché del valore esatto dell’esito, mantenendo l’unità nel campione. Non coincide con l’assenza completa delle unità troncate.

Cluster. Gruppo entro cui gli errori possono essere dipendenti. L’inferenza deve considerare il numero e la struttura dei gruppi indipendenti, non soltanto le righe.

Cointegrazione. Esistenza di una combinazione stazionaria di serie non stazionarie, nel quadro di integrazione specificato. Descrive un vincolo di lungo periodo, non una direzione causale automatica.

Collider. Variabile influenzata da due o più cause nel diagramma causale. Condizionarvi può aprire un’associazione fra cause che non sarebbe presente nel confronto non condizionato.

Compliers. Unità il cui trattamento cambia nella direzione indotta dallo strumento. Sotto le condizioni LATE, l’effetto IV binario riguarda questa popolazione locale.

Confondente. Variabile che crea un percorso non causale fra trattamento ed esito nel modello causale considerato. Il suo ruolo dipende dalla struttura delle relazioni, non soltanto dalla correlazione.

Consistenza. Convergenza in probabilità dello stimatore al parametro obiettivo. In inferenza causale, la stessa parola indica anche il collegamento fra trattamento osservato ed esito potenziale corrispondente: il contesto distingue i significati.

Controfattuale. Esito che si sarebbe verificato sotto una condizione alternativa a quella osservata. La sua ricostruzione richiede un disegno e ipotesi esplicite.

Copertura. Frequenza con cui un procedimento di intervallo include l’oggetto vero nel quadro probabilistico pertinente. Copertura marginale, condizionata e simultanea sono proprietà differenti.

Cross-fitting. Stima delle funzioni ausiliarie su osservazioni diverse da quelle usate per calcolare il relativo momento finale, con rotazione dei fold. Non sostituisce le ipotesi di identificazione.

Cross-validation. Valutazione ripetuta fuori dal campione di stima per scegliere complessità o iperparametri. Le divisioni devono rispettare dipendenza, gruppi e ordine temporale.

Data leakage. Uso diretto o indiretto di informazione che non sarebbe disponibile nella situazione di previsione o valutazione. Può entrare anche attraverso imputazione, standardizzazione e selezione preliminare.

Differenza martingala. Innovazione con media condizionata nulla rispetto all’informazione passata specificata. Può avere varianza condizionata variabile e non essere indipendente.

Doppia robustezza. Proprietà di certe procedure che mantengono consistenza quando una fra due componenti ausiliarie è corretta, sotto le altre condizioni. Non protegge se entrambe sono sbagliate o manca identificazione causale.

Effetto fisso. Componente specifica di unità o periodo assorbita dal modello. Gli effetti individuali lineari eliminano eterogeneità costante, non ogni determinante non osservato variabile nel tempo.

Efficienza. Precisione relativa di uno stimatore entro una classe e sotto determinate ipotesi. Uno stimatore efficiente sotto un modello può essere distorto quando quel modello è errato.

Elasticità. Derivata percentuale locale, ∂ln(Y)/∂ln(X), per la funzione considerata. L’approssimazione percentuale locale non coincide sempre con una variazione finita esatta.

Endogeneità. Violazione delle condizioni di ortogonalità fra un regressore e l’errore rispetto al parametro obiettivo. È relativa all’equazione e alla domanda, non un’etichetta immutabile della variabile.

Errore standard. Stima della deviazione standard campionaria di uno stimatore. Non coincide con la deviazione standard dell’esito né incorpora automaticamente misspecificazione e incertezza causale.

Esogeneità stretta. Condizione che rende l’errore ortogonale all’intera storia dei regressori nella formulazione pertinente. È più forte dell’ortogonalità contemporanea e può escludere retroazioni verso regressori futuri.

Estimando. Quantità di popolazione o del disegno che si desidera conoscere. Va distinta dallo stimatore, che è la regola applicata ai dati, e dalla stima, che è il risultato numerico.

Eteroschedasticità. Varianza condizionata dell’errore non costante. Può alterare precisione e inferenza senza necessariamente invalidare una media lineare corretta ed esogena.

FDR. False discovery rate, quota attesa di falsi rifiuti fra le scoperte con la convenzione appropriata in assenza di rifiuti. È un criterio diverso dalla probabilità di almeno un falso rifiuto.

FWER. Family-wise error rate, probabilità di almeno un falso rifiuto nella famiglia di test. Bonferroni e Holm mirano a controllarla nelle rispettive condizioni.

GMM. Metodo generalizzato dei momenti, che stima parametri rendendo piccole restrizioni campionarie di aspettativa mediante una ponderazione. Validità e forza dei momenti sono essenziali.

Hazard. Intensità istantanea di evento condizionata alla permanenza a rischio. È un tasso per unità di tempo, non una probabilità cumulativa.

Identificazione. Possibilità di distinguere il parametro desiderato attraverso distribuzione osservata e ipotesi mantenute. Non coincide con precisione campionaria o convergenza numerica.

Ignorabilità. Condizione di indipendenza del trattamento dagli esiti potenziali dato un insieme di covariate, nella formulazione causale pertinente. Non è dimostrata da un modello predittivo ben adattato.

Interferenza. Dipendenza dell’esito di una unità dal trattamento di altre unità. Richiede di ridefinire esposizioni, esiti potenziali e confronti quando incompatibile con il modello semplice.

Intervallo credibile. Insieme che contiene una quota specificata della probabilità a posteriori. L’interpretazione è condizionata a dati, verosimiglianza e prior.

ITT. Intention to treat, effetto dell’assegnazione o offerta di trattamento. Non coincide necessariamente con l’effetto del trattamento ricevuto in presenza di non adesione.

Leverage. Posizione di un’osservazione nello spazio dei regressori, misurata in OLS dalla diagonale della matrice di proiezione. Un leverage alto non implica necessariamente un residuo grande.

Likelihood. Verosimiglianza, funzione del parametro costruita dalla probabilità o densità dei dati osservati. Non è, da sola, una distribuzione di probabilità del parametro.

MAE. Media degli errori assoluti di previsione. Attribuisce una penalità lineare alla grandezza degli scarti e può ordinare modelli diversamente da RMSE.

Mediatore. Variabile situata lungo un percorso attraverso cui il trattamento influenza l’esito. Controllarla può cambiare l’oggetto da effetto totale a un confronto diverso, che richiede ulteriori ipotesi.

Multicollinearità. Forte dipendenza lineare fra regressori. La collinearità perfetta impedisce l’identificazione separata; quella elevata può rendere imprecisi singoli coefficienti senza invalidare automaticamente la previsione.

Offset. Termine con coefficiente fissato, spesso il logaritmo dell’esposizione nei modelli per conteggi. Non è un regressore ordinario il cui coefficiente viene stimato liberamente.

Odds. Rapporto p/(1 − p). Un odds ratio moltiplica questo rapporto, non direttamente la probabilità p.

Ortogonalità di Neyman. Insensibilità di primo ordine dell’aspettativa di un momento a perturbazioni delle funzioni ausiliarie nel punto vero. Facilita inferenza con stime flessibili sotto condizioni sui loro errori.

Overfitting. Adattamento a caratteristiche casuali del campione che non si generalizzano. Un basso errore di training non dimostra un basso rischio predittivo futuro.

Parametro pseudo-vero. Valore che ottimizza il criterio medio nella distribuzione effettiva quando il modello è misspecificato. Può essere un’approssimazione utile ma non l’oggetto strutturale desiderato.

Positività. Disponibilità di probabilità non nulle delle condizioni confrontate nel supporto rilevante. Probabilità molto estreme possono rendere instabili le stime anche senza una violazione esatta.

Potenza. Probabilità di rifiutare una nulla falsa sotto un’alternativa specificata. Dipende da grandezza dell’effetto, variabilità, disegno e numerosità.

Propensity score. Probabilità di trattamento condizionata alle covariate. Il suo uso causale richiede ignorabilità, supporto e stima coerente con la procedura di confronto.

P-value. Probabilità, sotto la nulla e il modello di riferimento, di una statistica almeno altrettanto incompatibile con la nulla secondo il criterio scelto. Non è la probabilità che la nulla sia vera.

Radice unitaria. Radice del polinomio autoregressivo sul cerchio unitario, nel caso usuale associata a una componente stocastica non stazionaria. Le distribuzioni inferenziali convenzionali possono non valere.

Regolarizzazione. Restrizione o penalizzazione della complessità per gestire variabilità e previsione. Introduce un compromesso con la distorsione e non elimina automaticamente endogeneità.

Rilevanza strumentale. Capacità degli strumenti di fornire variazione identificante dei regressori endogeni. Non implica esclusione né esogeneità degli strumenti.

RMSE. Radice dell’errore quadratico medio di previsione. È nella stessa unità dell’esito e penalizza maggiormente gli errori grandi rispetto a MAE.

Sovraidentificazione. Presenza di più restrizioni di momento indipendenti che parametri. Consente test di compatibilità congiunta sotto regolarità, non una certificazione della validità di ogni singolo strumento.

Stazionarietà. Stabilità temporale di distribuzioni o momenti secondo la nozione adottata. Non equivale a una realizzazione piatta né garantisce, da sola, ergodicità.

Supporto comune. Regione delle covariate nella quale esistono confronti fra condizioni. Extrapolare oltre tale regione richiede ipotesi aggiuntive e può cambiare la credibilità dell’estimando.

Troncamento. Assenza dal campione di unità oltre un limite o fuori da una regione. La distribuzione osservata è condizionata alla regola di inclusione.

Domande da esame con risposta ragionata

1 — perché una regressione significativa può non dimostrare causalità?

La significatività riguarda incompatibilità dei dati con una restrizione sul parametro nel modello statistico. La causalità richiede che quel parametro rappresenti un confronto fra esiti potenziali o un effetto strutturale identificato. Variabili omesse, simultaneità, selezione e misurazione possono generare un coefficiente preciso ma non causale. Occorre definire l’estimando, spiegare la fonte di variazione e sostenere le condizioni che eliminano percorsi alternativi. Un p-value piccolo non verifica queste condizioni.

2 — quali ipotesi servono per gauss–markov e quali per i test esatti?

Nel quadro lineare a regressori condizionati, rango pieno, esogeneità della media e covarianza sferica σ²I sostengono la proprietà BLUE di OLS fra stimatori lineari corretti. La normalità non è necessaria per questa proprietà. Aggiungere normalità condizionata permette le distribuzioni t e F esatte nel modello classico. Con eteroschedasticità, OLS può rimanere corretto ma perde in generale la stessa efficienza e la covarianza classica non è valida. L’inferenza robusta è normalmente asintotica.

3 — perché i residui OLS ortogonali non provano esogeneità?

OLS sceglie i coefficienti proprio in modo che X′û = 0, quando il problema è a rango pieno. Questa identità vale anche se il regressore è correlato con l’errore strutturale non osservato. Il residuo stimato è costruito dopo aver adattato la regressione, mentre l’errore strutturale dipende dall’equazione economica e dal parametro desiderato. Confondere i due trasformerebbe una proprietà dell’algoritmo in una prova dell’ipotesi che dovrebbe giustificarne l’interpretazione.

4 — in che senso aggiungere controlli può peggiorare un’analisi causale?

Un confondente antecedente può rendere il confronto più credibile; un mediatore può eliminare una parte dell’effetto totale; un collider può aprire un percorso non causale. Aggiungere variabili può anche ridurre supporto, precisione e campione per dati mancanti. Il criterio non è il numero di controlli, ma il loro ruolo nel processo. La specificazione deve seguire cronologia e struttura causale, non una ricerca del modello con più variabili o con il coefficiente più significativo.

5 — perché gli errori standard robusti non risolvono l’endogeneità?

La covarianza robusta modifica la stima della variabilità dello stimatore sotto una classe più ampia di strutture dell’errore. Non modifica la correlazione di popolazione fra regressori ed errore strutturale né, in generale, il limite del coefficiente. Uno stimatore può essere precisamente distribuito attorno a un parametro diverso da quello desiderato. L’endogeneità richiede una strategia identificante, come randomizzazione, strumenti validi o un disegno causale appropriato, non soltanto una diversa formula dell’errore standard.

6 — come si interpreta un coefficiente logaritmico senza commettere errori?

Bisogna sapere quale variabile è trasformata, quale variazione viene considerata e quale media interessa. In un log-livello, β è una variazione locale del logaritmo per unità di X; una variazione finita usa exp(βΔx) − 1. In un log-log, β è un’elasticità locale e il rapporto finito usa il rapporto di X elevato a β. Per trasferire il risultato alla media aritmetica di Y occorre considerare il fattore di ritrasformazione dell’errore, che può dipendere da X.

7 — che cosa distingue rilevanza ed esclusione di uno strumento?

La rilevanza riguarda la relazione dello strumento con il regressore endogeno dopo i controlli. L’esclusione richiede che lo strumento non influenzi l’esito attraverso canali incompatibili con l’equazione strutturale. Occorre anche esogeneità rispetto ai determinanti non osservati. Un primo stadio forte non dimostra le altre condizioni. Uno strumento debole rende l’inferenza convenzionale fragile e può amplificare gli effetti di piccole violazioni. Il test di sovraidentificazione non sostituisce l’argomentazione economica.

8 — perché l’effetto IV può differire dall’ATE anche con uno strumento valido?

Con effetti eterogenei, uno strumento può modificare il trattamento soltanto per alcune unità. Nel quadro binario con monotonicità ed esclusione, il rapporto identifica LATE per i compliers. Queste unità possono avere benefici diversi dalla media della popolazione. Strumenti differenti possono muovere margini di partecipazione differenti e identificare effetti locali diversi. Per confrontare stime bisogna quindi verificare popolazione, trattamento e pesi impliciti, non presumere un unico coefficiente causale universale.

9 — quale problema risolvono gli effetti fissi e quale lasciano aperto?

Eliminano componenti individuali costanti nel tempo attraverso confronti della stessa unità con sé stessa. Consentono che tali componenti siano correlate con i regressori. Non eliminano shock non osservati variabili nel tempo, simultaneità o errori di misura. Inoltre, l’esogeneità stretta del modello statico può fallire quando decisioni future reagiscono agli shock correnti. Le variabili invarianti vengono assorbite e non sono separatamente identificate. Nel panel dinamico con T piccolo emerge un’ulteriore distorsione dovuta all’esito ritardato.

10 — perché non basta un pre-trend non significativo per validare una DID?

Il parallelismo riguarda il cambiamento controfattuale dopo il trattamento, non osservabile per i trattati. Un test precedente può avere poca potenza e non esclude deviazioni economicamente rilevanti. Anche un andamento precedente simile può essere seguito da uno shock concomitante differenziale. Occorrono cronologia, assenza di anticipazione, composizione coerente e un gruppo di confronto plausibile. Con molte date e adozione scaglionata, bisogna anche assicurare che gli stimatori e i coefficienti dinamici rappresentino confronti causali appropriati.

11 — perché un disegno RD è locale?

L’identificazione sfrutta continuità dei controfattuali e discontinuità dell’assegnazione proprio alla soglia. Unità lontane possono avere caratteristiche e risposte differenti. Per estendere l’effetto servono ulteriori ipotesi sull’eterogeneità o nuove fonti di variazione. Una banda più ampia non amplia automaticamente la popolazione per cui l’effetto è causalmente identificato: introduce un’approssimazione locale su più dati. La lettura deve specificare soglia, supporto, eventuale non adesione e popolazione locale interessata.

12 — che cosa significa doppia robustezza e che cosa non significa?

Significa che, sotto identificazione e regolarità, certe procedure rimangono consistenti quando è corretta una delle due componenti previste, come propensity score oppure entrambe le funzioni dell’esito. Non significa che qualunque errore sia tollerato né che l’inferenza sia automaticamente valida con qualsiasi algoritmo. Se entrambe le componenti sono sbagliate, può esserci distorsione. Confondimento non osservato e mancanza di supporto rimangono problemi. Cross-fitting e momenti ortogonali aiutano la stima, non creano causalità.

13 — perché odds ratio e hazard ratio non sono rapporti di probabilità?

Le odds sono p/(1 − p), mentre l’hazard è un tasso istantaneo condizionato alla permanenza a rischio. Moltiplicare queste quantità non moltiplica direttamente la probabilità dell’evento. Nel logit occorre riconvertire le odds; nella sopravvivenza occorre integrare il rischio e usare la funzione di sopravvivenza. La variazione assoluta dipende dal livello iniziale e, nelle durate, dall’orizzonte. Presentare un rapporto pari a due come raddoppio universale della probabilità è quindi scorretto.

14 — perché un modello poisson può essere utile anche senza equidispersione?

Il criterio Poisson produce condizioni di score basate sulla differenza fra esito e media esponenziale. Se la media è corretta e valgono le regolarità, i coefficienti possono essere consistenti anche con varianza diversa dalla media, usando inferenza appropriata. Questa proprietà riguarda la media, non l’intera distribuzione. Probabilità di zero, code e intervalli distributivi Poisson non sono automaticamente validi. Endogeneità e forma sbagliata della media non vengono eliminate dalla covarianza sandwich.

15 — qual è la differenza fra trend deterministico e radice unitaria?

Nel primo caso una componente prevedibile del tempo può essere rimossa lasciando scarti stazionari. Nel secondo gli shock alimentano una componente stocastica persistente e la varianza del livello può crescere nel tempo. Detrending e differenziazione non sono operazioni equivalenti. La distinzione modifica previsioni e distribuzioni dei test. Un grafico crescente non basta a decidere: servono ragionamento sul processo, specificazione dei termini deterministici e verifiche con limiti di potenza e possibili rotture.

16 — perché la cointegrazione non autorizza test t ordinari senza controlli?

La regressione di lungo periodo può avere proprietà di convergenza particolari, anche molto rapide, ma la distribuzione delle stime dipende da non stazionarietà, endogeneità di lungo periodo e correlazione seriale. I test sui residui cointegranti usano valori critici specifici perché i residui sono stimati. Superconsistenza del coefficiente non equivale a validità della covarianza OLS ordinaria. Occorrono un modello dinamico e un’inferenza coerenti, eventualmente tramite DOLS, FMOLS o un sistema VECM appropriato.

17 — che cosa manca a un VAR ridotto per identificare uno shock economico?

Le innovazioni ridotte possono essere combinazioni correlate di shock diversi. La matrice di covarianza identifica BB′ ma non una matrice B unica. Servono restrizioni contemporanee, di lungo periodo, di segno o strumenti esterni, con giustificazione economica. L’ordinamento di Cholesky è già una restrizione, non una scelta neutrale. Le risposte impulsive ereditano queste ipotesi. La causalità di Granger riguarda invece prevedibilità condizionata all’informazione inclusa e non risolve l’identificazione strutturale contemporanea.

18 — come può una serie avere media poco prevedibile e volatilità prevedibile?

Una differenza martingala può avere media condizionata zero e varianza che dipende dal passato. Gli scarti positivi e negativi possono compensarsi nella media mentre la loro grandezza presenta persistenza. ARCH e GARCH modellano proprio questa componente. Residui non autocorrelati nei livelli possono avere quadrati autocorrelati. È necessario verificare separatamente media, varianza e distribuzione delle innovazioni. Una buona previsione della volatilità non implica capacità di prevedere il segno del prossimo movimento.

19 — perché il modello con errore di training minore può prevedere peggio?

La stima utilizza gli stessi dati per scegliere parametri e misurare adattamento, favorendo i modelli flessibili. Questi possono rappresentare rumore non ripetibile invece di relazioni stabili. La prestazione deve essere valutata fuori campione con una divisione coerente e senza contaminazione da scelta di variabili, tuning o trasformazioni. Anche il test perde indipendenza se viene consultato ripetutamente per modificare il modello. La regolarizzazione accetta una possibile distorsione per ridurre la variabilità e migliorare la generalizzazione.

20 — qual è la distinzione fondamentale fra inferenza frequentista e bayesiana?

Nell’inferenza frequentista il parametro è fisso e l’incertezza delle procedure viene studiata attraverso campioni ripetuti o il disegno di assegnazione. Nell’inferenza bayesiana si aggiorna una distribuzione sui parametri attraverso prior e verosimiglianza. Un intervallo credibile e uno di confidenza possono coincidere numericamente in alcuni casi, ma hanno interpretazioni diverse. Entrambi dipendono da ipotesi sul modello e sull’identificazione. Nessun approccio rende automaticamente causale una regressione endogena o trasforma dati poco informativi in certezza.