Econometria.

Il tempo fino a un evento

L’analisi di durata studia il tempo che intercorre fra un’origine definita e un evento: uscita dalla disoccupazione, chiusura di un’impresa, rimborso anticipato di un contratto o acquisto successivo. Occorre precisare origine del tempo, evento, unità di misura e popolazione a rischio. Una persona già occupata non appartiene allo stesso insieme a rischio di uscita dalla disoccupazione. Un’impresa osservata dal quinto anno di vita non è equivalente a un’impresa seguita dalla nascita. Queste definizioni determinano quali confronti siano validi.

Il tempo T è non negativo e può essere osservato esattamente, censurato o noto soltanto entro un intervallo. La distribuzione delle durate è spesso asimmetrica e l’informazione incompleta è parte ordinaria del problema. Eliminare le unità che non hanno ancora sperimentato l’evento seleziona durate brevi e altera la distribuzione. Trattare la durata osservata fino alla fine dell’indagine come se l’evento fosse avvenuto in quel momento produce un altro errore. L’analisi di sopravvivenza utilizza esplicitamente l’informazione che l’evento non si è verificato fino a una certa data.

Sopravvivenza, densità e rischio istantaneo

La funzione di sopravvivenza è S(t) = P(T > t) = 1 − F(t). Nel caso continuo, la densità è f(t) = −S′(t). Il rischio istantaneo, o hazard, è h(t) = limΔ→0 P(t ≤ T < t + Δ|T ≥ t)/Δ = f(t)/S(t). È un tasso condizionato all’essere ancora a rischio, non una probabilità. Può superare uno quando è espresso in una certa unità temporale, perché una densità di eventi per unità di tempo non è limitata nello stesso modo di una probabilità.

Il rischio cumulato è H(t) = ∫₀^th(s)ds = −ln S(t), quindi S(t) = exp[−H(t)]. La probabilità di un evento entro t è 1 − exp[−H(t)]. Per un intervallo breve, h(t)Δ approssima la probabilità condizionata di evento nell’intervallo, ma non è un’uguaglianza generale per intervalli lunghi. Questa distinzione evita di interpretare un hazard ratio come un aumento percentuale diretto della probabilità cumulativa. La stessa intensità può produrre probabilità diverse a seconda dell’orizzonte e del rischio iniziale.

Censura a destra e verosimiglianza

Si osservano Y = min(T,C) e δ = 1(T ≤ C), dove C è il tempo di censura. Sotto indipendenza condizionata del meccanismo di censura e le condizioni pertinenti, il contributo informativo sul modello di T è f(Y|x)ᵟS(Y|x)^1-ᵟ. Un evento osservato contribuisce con la densità; una censura contribuisce con la probabilità di sopravvivere almeno fino al tempo osservato. La formula conserva informazione dalle unità senza evento invece di eliminarle o attribuire loro un evento fittizio.

L’indipendenza della censura non è automatica. Se persone con migliori prospettive smettono di rispondere prima di trovare lavoro, l’abbandono può essere collegato alla durata non osservata. Condizionare su covariate può rendere più plausibile l’indipendenza, ma non la dimostra. Analisi di sensibilità, modelli della censura o ponderazione possono essere necessari. La fine amministrativa comune dello studio è spesso più semplice da trattare di un abbandono individuale informativo, purché l’origine e il periodo di osservazione siano definiti correttamente.

Entrata ritardata e censura per intervallo

Con entrata ritardata al tempo a, una unità viene osservata soltanto se T > a. Il suo contributo deve essere condizionato alla sopravvivenza fino all’ingresso, dividendo per S(a|x), secondo il processo di osservazione. I risk set devono includere l’unità soltanto dopo l’ingresso. Ignorare questo aspetto può sovrarappresentare soggetti con durate lunghe, perché chi ha avuto l’evento prima dell’osservazione non può entrare nel campione. L’entrata ritardata è una forma di troncamento a sinistra, distinta dalla censura a sinistra.

Se l’evento è noto soltanto fra due visite, con T nell’intervallo (a,b], il contributo è S(a|x) − S(b|x). Sostituire il tempo con il punto medio può essere una comoda approssimazione, ma non rappresenta tutta l’informazione e può distorcere la dinamica. La frequenza delle rilevazioni influisce quindi sul modello appropriato. Durate misurate in mesi o settimane possono richiedere una formulazione discreta anziché una densità continua trattata come se il tempo fosse osservato esattamente.

Stimatore di kaplan–meier

Lo stimatore Kaplan–Meier costruisce la sopravvivenza moltiplicando probabilità condizionate di non evento ai tempi osservati. Se t_j è un tempo di evento, d_j il numero di eventi in quel momento e n_j il numero a rischio immediatamente prima, allora Ŝ(t) = ∏t_j≤t(1 − d_j/n_j). Le unità censurate escono dal risk set dopo la censura ma non vengono contate come eventi. La curva è a gradini e diminuisce soltanto in corrispondenza di eventi osservati.

Un campione iniziale contiene dieci unità. Al primo tempo si verificano due eventi, quindi la sopravvivenza stimata diventa 0,8. Prima del secondo evento una delle otto unità rimaste viene censurata, lasciando sette unità a rischio. Se si verifica un evento, la sopravvivenza diventa 0,8 × 6/7 ≈ 0,6857. La censura non produce una discesa diretta, ma modifica il denominatore degli eventi successivi. Questo è il modo in cui l’informazione incompleta entra nella stima.

Incertezza e confronti tra curve

La formula di Greenwood stima la varianza di Ŝ(t) come Ŝ(t)²∑t_j≤t d_j/[n_j(n_j − d_j)], nelle condizioni usuali e quando i termini sono definiti. Trasformazioni, per esempio log-log, possono produrre intervalli che rispettano meglio i limiti [0,1]. La coda della curva può essere molto imprecisa quando rimangono poche unità a rischio. Riportare il numero a rischio in tempi selezionati aiuta a evitare interpretazioni eccessive di differenze basate su pochissime osservazioni.

Il test log-rank confronta eventi osservati e attesi nei diversi gruppi lungo i risk set, sotto una nulla di uguali funzioni di rischio e le condizioni pertinenti. È particolarmente naturale rispetto ad alternative con rischi proporzionali. Curve che si incrociano possono richiedere confronti diversi o una descrizione più articolata. Un test non significativo non dimostra equivalenza delle durate. Anche il confronto descrittivo fra gruppi non è automaticamente causale: selezione e confondimento possono spiegare differenze nelle curve.

Modello di cox a rischi proporzionali

Il modello di Cox specifica h(t|x) = h₀(t)exp(x′β), lasciando non parametrica la funzione di rischio di base h₀(t). Per due profili che differiscono di una unità in x_j, il rapporto dei rischi è exp(β_j), mantenendo fisse le altre covariate. Il rapporto è costante nel tempo nella specificazione proporzionale. Non è un rapporto di durate medie né un rapporto di probabilità cumulative. Il modello collega le covariate all’intensità istantanea condizionata alla permanenza nel risk set.

Con un solo evento a ciascun tempo, il contributo alla verosimiglianza parziale dell’unità i che ha l’evento in t_i è exp(x_i′β)/∑_j∈R(t_i)exp(x_j′β). La funzione di base si cancella nel confronto interno al risk set. Eventi simultanei richiedono metodi per i ties, come approssimazioni di Breslow o Efron oppure un trattamento esatto in contesti appropriati. L’idea del modello e della verosimiglianza parziale deriva dal contributo di Cox, indicato nel riferimento R17; la stima di probabilità assolute richiede anche una stima della funzione di base.

Interpretare un hazard ratio

Se β_j = ln(1,5), il rischio istantaneo è moltiplicato per 1,5, a parità delle altre covariate e del tempo. Se l’evento è un’uscita favorevole da uno stato, il significato economico è diverso rispetto a un evento avverso. Il segno non può essere interpretato senza conoscere la definizione dell’evento. Inoltre, un hazard ratio di 1,5 non implica che la probabilità di evento entro un anno aumenti del 50%. Tale probabilità dipende da H₀(t) e dal profilo completo delle covariate.

Supponiamo che il rischio cumulato di base a un certo orizzonte sia 0,2. Per il profilo base, la probabilità di evento è 1 − exp(−0,2) ≈ 0,1813. Con moltiplicatore del rischio pari a due, diventa 1 − exp(−0,4) ≈ 0,3297. Il rischio istantaneo raddoppia, ma la probabilità cumulativa non passa a 0,3626. Il calcolo esplicito evita di confondere intensità, probabilità e variazione percentuale della probabilità.

Verificare proporzionalità e variabili nel tempo

La proporzionalità può essere esplorata con residui di Schoenfeld e interazioni con il tempo, insieme a grafici e conoscenza del processo. Un effetto che cambia nel tempo richiede una specificazione adeguata, stratificazione o un modello alternativo. Stratificare permette funzioni di base diverse fra gruppi, ma non stima un coefficiente comune di livello per la variabile usata come strato. La scelta deve corrispondere alla domanda e non essere guidata soltanto da un test preliminare.

Covariate che cambiano nel tempo devono essere assegnate agli intervalli in cui erano effettivamente note. Classificare una persona come trattata fin dall’inizio perché riceverà il trattamento in futuro può creare immortal time bias: per entrare nel gruppo trattato deve sopravvivere senza evento fino al trattamento. Il tempo precedente non può essere attribuito come esposizione già trattata. L’ordine temporale e la costruzione dei risk set sono quindi parti essenziali dell’identificazione, non semplici dettagli di formattazione dei dati.

Modelli a tempo accelerato e weibull

Un modello accelerated failure time, AFT, può scrivere ln(T) = x′β + σε. Una unità aggiuntiva di x_j moltiplica i quantili della durata per exp(β_j), sotto la struttura del modello. Il coefficiente ha quindi un’interpretazione di accelerazione o allungamento del tempo, diversa dall’hazard ratio. La distribuzione di ε determina una famiglia, come lognormale, loglogistica o Weibull. Non tutte le famiglie AFT hanno rischi proporzionali e non tutti i modelli PH hanno una rappresentazione AFT semplice.

La Weibull è un caso importante che ammette entrambe le rappresentazioni. Con S(t) = exp[−(t/λ)ᵖ], λ è una scala temporale e p una forma. Il rischio è (p/λ)(t/λ)ᵖ^-1: cresce se p > 1, è costante se p = 1 e diminuisce se p < 1. Se ln(λ) = x′βAFT, il coefficiente corrispondente nella componente proporzionale del rischio è −pβAFT. Non si possono confrontare i segni dei coefficienti PH e AFT senza considerare questa diversa parametrizzazione.

Rischi competitivi ed eterogeneità

Con rischi competitivi, un’unità può uscire dallo stato attraverso eventi diversi che si escludono come primo evento, per esempio trovare lavoro o abbandonare la forza lavoro. L’hazard specifico per causa k è λk(t), mentre la sopravvivenza complessiva dipende dalla somma degli hazard. L’incidenza cumulativa della causa k è Fk(t) = ∫₀^tS(s)λk(s)ds. Non coincide in generale con 1 − exp[−∫₀^tλk(s)ds], perché gli altri eventi sottraggono unità dal rischio di sperimentare la causa k.

Trattare gli altri eventi come censurati può essere parte della stima di un hazard specifico per causa, ma usare poi una Kaplan–Meier ordinaria per interpretare la probabilità cumulativa della causa può essere fuorviante. Modelli di subdistribution hazard, come Fine–Gray, rispondono a un oggetto diverso dal rischio istantaneo fra unità ancora senza alcun evento. Eterogeneità non osservata, o frailty, può inoltre generare selezione dinamica dei sopravviventi e modificare il rischio aggregato. La scelta del modello deve specificare quale probabilità o intensità si vuole descrivere.

Esercizio svolto: hazard costante

Una durata esponenziale ha tasso λ = 0,25 per mese. La durata media è 1/λ = quattro mesi, la sopravvivenza a tre mesi è exp(−0,75) ≈ 0,4724 e la probabilità di evento entro tre mesi è circa 0,5276. Il rischio istantaneo 0,25 non significa una probabilità esatta del 25% in ogni mese: la probabilità condizionata di evento nel mese successivo è 1 − exp(−0,25) ≈ 0,2212. L’approssimazione λΔ sarebbe buona per intervalli molto brevi, ma va distinta dal calcolo esatto per un mese intero.