Econometria.

Più equazioni per uno stesso fenomeno

Un sistema econometrico rappresenta più relazioni contemporaneamente. Può descrivere domanda e offerta, decisioni di consumo di beni diversi, risultati di più reparti oppure variabili macroeconomiche con interazioni reciproche. Le equazioni possono essere collegate perché alcune variabili sono determinate congiuntamente, perché gli errori condividono shock o perché la teoria impone restrizioni comuni ai parametri. Questi collegamenti sono diversi e richiedono metodi diversi. La correlazione fra errori di due equazioni non implica da sola che i regressori siano endogeni.

È utile distinguere tre livelli. La forma strutturale descrive le relazioni economiche che si desidera interpretare. La forma ridotta esprime le variabili endogene in funzione delle variabili esogene e degli shock trasformati. La forma stimata è la specificazione concretamente applicata ai dati, che può coincidere solo in parte con le precedenti. Una buona analisi chiarisce quale livello viene identificato dalle informazioni disponibili e quali restrizioni consentono di passare dalla forma ridotta ai parametri strutturali.

Forma strutturale e forma ridotta

Un sistema lineare può essere scritto By + Γz = u, dove y contiene variabili endogene, z variabili esogene e B rappresenta i collegamenti contemporanei. Se B è invertibile, la forma ridotta è y = −B^-1Γz + B^-1u. I coefficienti ridotti sono combinazioni dei parametri strutturali. La stima di queste combinazioni non identifica automaticamente ciascun elemento di B e Γ: possono esistere strutture diverse che producono la stessa forma ridotta. Servono normalizzazioni e restrizioni economiche aggiuntive.

Una normalizzazione fissa la scala di un’equazione, per esempio ponendo a uno il coefficiente della variabile dipendente. Moltiplicare un’intera equazione per una costante non cambia la relazione che rappresenta, perciò senza normalizzazione alcuni parametri sarebbero ridondanti. Le esclusioni impongono invece che certe variabili non entrino direttamente in una specifica equazione. Sono queste restrizioni, insieme alla variazione osservata, che possono consentire di separare relazioni simultanee. Non vanno confuse con semplici scelte di notazione.

Condizione d’ordine e condizione di rango

In un’equazione con m variabili endogene complessivamente coinvolte, compresa quella a sinistra, occorrono almeno m − 1 variabili esogene escluse dall’equazione e disponibili come strumenti, nel consueto conteggio del modello lineare simultaneo. Questa è una condizione d’ordine necessaria. Non è sufficiente: le esclusioni devono generare spostamenti indipendenti capaci di distinguere le relazioni. La condizione di rango verifica proprio che la matrice pertinente dei coefficienti e delle esclusioni contenga l’informazione lineare necessaria.

Due strumenti formalmente distinti ma perfettamente collineari non forniscono due fonti indipendenti di variazione. Analogamente, una variabile esclusa che non influenza le altre equazioni rilevanti può non contribuire all’identificazione. Contare le colonne è soltanto il primo controllo. Il ragionamento economico deve spiegare quali curve o decisioni vengono spostate e perché tali spostamenti non modificano direttamente l’equazione di interesse. La validità delle esclusioni non è dimostrata dalla sola soddisfazione della condizione di rango campionaria.

Esempio: identificare una domanda

Consideriamo Qd = 20 − 2P + εd e Qs = 2 + P + 3Z + εs, dove Z sposta l’offerta ma, per ipotesi, non entra direttamente nella domanda ed è esogena rispetto ai due shock. In equilibrio, 20 − 2P + εd = 2 + P + 3Z + εs, quindi P = 6 − Z + (εd − εs)/3. Sostituendo nella domanda si ottiene Q = 8 + 2Z + (εd + 2εs)/3. La forma ridotta presenta un coefficiente −1 di Z sul prezzo e un coefficiente 2 sulla quantità.

Il rapporto fra i due coefficienti ridotti è 2/(−1) = −2, la pendenza della domanda. Z permette di osservare movimenti lungo la domanda indotti da spostamenti dell’offerta. Senza un’altra variabile che sposti la domanda ed esclusa dall’offerta, la pendenza dell’offerta non è necessariamente identificata nello stesso modo. L’esempio rende visibile l’asimmetria: un’unica fonte di variazione può identificare una relazione e non l’altra. Se Z influenzasse anche preferenze o domanda, il rapporto perderebbe questa interpretazione strutturale.

Stima equazione per equazione

Quando ciascuna equazione è identificata attraverso strumenti validi, si può applicare 2SLS separatamente. Il vantaggio è una maggiore modularità: la misspecificazione di un’equazione non entra automaticamente nella stima di tutte le altre attraverso un modello congiunto completo. Il costo è che non si sfrutta necessariamente tutta l’informazione contenuta nella correlazione fra errori o nei vincoli condivisi. La scelta fra stima separata e congiunta dipende dalla credibilità dell’intero sistema, non soltanto da un criterio astratto di efficienza.

Nel caso esattamente identificato, alcune stime possono essere ottenute ricostruendo i parametri strutturali dai coefficienti della forma ridotta, procedura detta minimi quadrati indiretti. La trasformazione può essere un rapporto o una funzione più complessa. L’incertezza deve essere propagata usando la covarianza congiunta dei coefficienti ridotti, oppure una procedura equivalente. Trattare i coefficienti di forma ridotta come numeri certi elimina artificialmente una parte dell’incertezza del parametro strutturale.

Seemingly unrelated regressions

Un sistema SUR contiene equazioni con regressori esogeni ma errori contemporaneamente correlati fra equazioni. Per esempio, due categorie di spesa della stessa famiglia possono condividere shock non osservati pur avendo regressori specifici differenti. Stimare ciascuna equazione con OLS può essere corretto, ma una stima GLS congiunta può migliorare l’efficienza sfruttando la correlazione degli errori. L’espressione «apparentemente non correlate» indica che le equazioni sono collegate attraverso la covarianza dei disturbi, anche se non condividono necessariamente variabili dipendenti fra i regressori.

Impilando le equazioni per blocchi, la matrice dei regressori è diagonale a blocchi e la covarianza può essere rappresentata come Σ ⊗ I_n nel caso con stesso campione e indipendenza fra unità. Σ contiene varianze e covarianze contemporanee fra errori delle diverse equazioni. Il GLS utilizza l’inversa di questa matrice per ponderare congiuntamente il sistema. In pratica Σ viene stimata dai residui iniziali, ottenendo una procedura fattibile. La validità dipende dall’esogeneità e dalla corretta rappresentazione della struttura rilevante.

Quando SUR coincide con OLS

Se tutte le equazioni hanno esattamente gli stessi regressori sullo stesso campione, il GLS SUR restituisce gli stessi coefficienti delle regressioni OLS separate nel modello standard. La correlazione degli errori non offre una diversa combinazione di informazione sulle pendenze quando gli spazi dei regressori coincidono. Anche quando gli errori delle equazioni sono incorrelati, il collegamento SUR non fornisce il vantaggio previsto dalla covarianza fuori diagonale. Questi casi mostrano che una procedura più complessa non produce automaticamente stime diverse o migliori.

Quando i regressori differiscono e gli errori sono correlati, l’informazione di un’equazione può aiutare a distinguere la componente comune dell’altra. Tuttavia, se un’equazione è misspecificata o ha regressori endogeni, il semplice SUR non risolve il problema. La correlazione dei disturbi è un’opportunità di efficienza soltanto dopo aver affrontato le condizioni sulla media. Usare SUR come sostituto di IV in un sistema simultaneo confonde due problemi distinti: dipendenza fra equazioni ed endogeneità dei regressori.

Minimi quadrati a tre stadi

I minimi quadrati a tre stadi, 3SLS, combinano strumenti per affrontare l’endogeneità e una stima della covarianza fra equazioni per sfruttare informazione congiunta. In una descrizione operativa, si ottengono stime strumentali preliminari, si stimano le covarianze dei residui strutturali e si effettua una stima congiunta ponderata. Sotto corretta specificazione del sistema e validità delle condizioni, la procedura può essere più efficiente di 2SLS separato. L’efficienza deriva però da ipotesi aggiuntive sull’intero sistema.

Una restrizione invalida o una misspecificazione in una parte del sistema può propagarsi alle altre equazioni attraverso la stima congiunta. Questa è una ragione per confrontare 3SLS con risultati equazione per equazione e discutere la credibilità dei collegamenti. Un miglioramento degli errori standard non basta a scegliere il sistema completo. Il compromesso è fra sfruttare più struttura e assumersi il rischio che quella struttura sia sbagliata. La procedura deve essere proporzionata alla qualità dell’informazione e alla domanda economica.

Restrizioni tra equazioni

La teoria può imporre uguaglianze, somme o simmetrie fra coefficienti appartenenti a equazioni diverse. In un sistema di domanda, vincoli di somma, omogeneità e simmetria possono derivare da un modello di comportamento del consumatore. Imporli può ridurre la varianza e rendere il sistema coerente con la teoria, ma può anche introdurre distorsione se la rappresentazione teorica non è adeguata ai dati o alla misurazione. È utile distinguere restrizioni mantenute per identificare e restrizioni verificabili quando esiste informazione aggiuntiva.

Un test di uguaglianza fra coefficienti di equazioni diverse richiede la covarianza congiunta delle stime. Se le equazioni condividono osservazioni e shock, assumere indipendenza può essere sbagliato. Il sistema fornisce una rappresentazione naturale di tali covarianze. Anche l’interpretazione economica del vincolo deve essere esplicita: uguaglianza di coefficienti in unità diverse può non avere senso senza una trasformazione. La notazione compatta non elimina la necessità di controllare scale, popolazioni e definizioni delle variabili.

Funzioni di controllo

Una funzione di controllo rappresenta la dipendenza fra regressore endogeno ed errore attraverso un termine ricavato da un’equazione ausiliaria. In un modello lineare con X = Z′π + v e una relazione appropriata E(u|v,Z) = ρv, includere v nell’equazione dell’esito può rendere il residuo rimanente ortogonale. Poiché v è ignoto, si usa un residuo stimato e si costruisce l’inferenza tenendo conto del procedimento. Nel caso lineare regolare esistono equivalenze con IV, ma la logica della funzione di controllo rende esplicite condizioni aggiuntive sulla dipendenza.

Nei modelli non lineari, sostituire X con la sua previsione di primo stadio e includere un residuo di primo stadio non sono operazioni equivalenti. La validità di una strategia di inclusione dei residui dipende dalla struttura del modello e dalle assunzioni distributive o funzionali. Non è sufficiente trasferire meccanicamente la ricetta delle due regressioni lineari. Il sistema deve chiarire come lo shock che determina la scelta endogena entra nella distribuzione dell’esito e quale informazione permette di separarlo dall’effetto di interesse.

Esercizio svolto: quale metodo è pertinente?

Si osservano due equazioni di costo con regressori esogeni e shock comuni: SUR può essere considerato per l’efficienza. Si osservano invece domanda e offerta con prezzo simultaneamente determinato: serve una strategia strumentale o strutturale, non basta SUR. Se entrambe le equazioni sono identificate da strumenti validi e gli errori sono correlati, 3SLS può sfruttare il sistema congiunto, assumendone la correttezza complessiva. La scelta del metodo deriva dalla natura del collegamento fra equazioni. Il numero di equazioni, da solo, non determina quale stimatore sia appropriato.