Moneta e banche

Stati patrimoniali, leva finanziaria e assorbimento delle perdite

Indichiamo con $A$ il totale delle attività, con $L$ le passività e con $E$ il patrimonio netto, misurati su una base contabile o valutativa coerente. L'identità dello stato patrimoniale e due semplici misure patrimoniali sono:

Se una perdita sulle attività $X$ viene rilevata immediatamente e le passività rimangono invariate, $A\prime =A-X$ e $E\prime =E-X$. La perdita percentuale di patrimonio netto è $X/E$, mentre il nuovo rapporto tra patrimonio netto e attività è $(E-X)/(A-X)$. Utilizzare il denominatore iniziale delle attività produrrebbe una misura diversa. Un istituto privo di ulteriori strumenti di assorbimento delle perdite esaurisce il proprio patrimonio netto quando $X=E$; viene quindi azzerato da una perdita sulle attività pari alla frazione $E/A$. Il coefficiente regolamentare di leva finanziaria utilizza una specifica misura dell'esposizione e il capitale Tier 1, quindi non è semplicemente il reciproco della leva contabile.

Redditività, margini ed efficienza operativa

Indichiamo con $\Pi$ l'utile netto di un periodo e con le barre gli stock medi di bilancio nello stesso periodo. La redditività delle attività e la redditività del patrimonio netto soddisfano:

L'ultima uguaglianza richiede lo stesso utile netto al numeratore e stock medi compatibili. Una leva più elevata accresce la sensibilità dei rendimenti degli azionisti agli utili e alle perdite; di per sé non migliora la redditività delle attività sottostanti.

Dati gli interessi attivi $II$ e gli interessi passivi $IE$, il margine di interesse è $NII=II-IE$. Una definizione convenzionale del margine di interesse percentuale è $NIM=NII/\overline{IEA}$, dove $\overline{IEA}$ indica le attività fruttifere medie. Alcuni insiemi di dati dividono invece per il totale medio delle attività. Il denominatore deve sempre essere dichiarato. Lo spread tra prestiti e depositi, $I{I}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}}/\bar{Q}-I{E}_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{s}}/\bar{D}$, è la differenza tra due rendimenti con denominatori diversi; non coincide automaticamente con il NIM. Qui $\bar{Q}$ rappresenta i prestiti medi e $\bar{D}$ i depositi medi. Il cost-to-income ratio è il rapporto tra costi operativi e ricavi operativi secondo la definizione contabile dichiarata.

Valore attuale, duration e shock dei tassi di interesse

Per flussi di cassa deterministici $C{F}_t$ attualizzati a un rendimento costante per periodo $y$, il prezzo è $P={\sum }_{t=1}^{T}C{F}_t/{(1+y)}^t$. La duration di Macaulay misura la scadenza dei pagamenti ponderata per il loro valore attuale, mentre la duration modificata la converte in una sensibilità del prezzo del primo ordine:

Questa convenzione presuppone un periodo di capitalizzazione per unità di $t$. Utilizzare una misura di duration coerente con il rendimento e con la convenzione di capitalizzazione. Inserire una variazione del rendimento di 150 punti base come $0.015$, non come $1.5$. L'approssimazione trascura la convessità, le variazioni dei flussi di cassa e gli spostamenti non paralleli della curva dei rendimenti. Per shock rilevanti, ricalcolare il prezzo sulla base dei flussi di cassa effettivi o aggiungere un'adeguata correzione per la convessità.

Perdita attesa su crediti e determinazione del prezzo dei prestiti

Per una singola esposizione e un orizzonte specificato, la probabilità di default $PD$, la perdita in caso di default $LGD$ e l'esposizione al default $EAD$ forniscono il calcolo elementare della perdita attesa:

Il tasso di recupero deve utilizzare la stessa base del credito dell'EAD e riflettere le tempistiche e i costi di recupero ipotizzati. Questo semplice prodotto non costituisce un modello contabile completo delle perdite attese su crediti: possono essere rilevanti i deficit attualizzati dei flussi di cassa, le variazioni dell'esposizione e molteplici scenari economici.

Una semplice scomposizione del prezzo somma il costo del funding, i costi operativi, la perdita attesa e un margine obiettivo. Il tasso cedolare esatto di pareggio per un solo periodo richiede ipotesi esplicite sui pagamenti. Se un prestito di capitale $Q$ paga $(1+r)Q$ in caso di regolare adempimento e recupera $\rho Q$ in caso di default, con probabilità di default $p$, tasso di funding $f$ e costi di fine periodo $cQ$, allora:

Il denominatore $1-p$ è rilevante perché in caso di default la cedola non viene incassata. Non utilizzare questa formula in un esercizio che ipotizza una diversa base di recupero o definisce semplicemente una convenzione additiva di determinazione del prezzo. Inoltre, l'utile atteso, gli accantonamenti contabili e il capitale per le perdite inattese misurano aspetti diversi.

Partecipazione dei debitori e selezione avversa

In un semplice modello a responsabilità limitata, un debitore riceve il capitale $Q$ e il suo progetto produce $Y$ con probabilità $q$, altrimenti zero. Se il rimborso in caso di successo del progetto è $(1+r)Q$, il risultato atteso del debitore è:

Con un'opzione alternativa pari a zero e una condizione di partecipazione strettamente positiva, $r<Y/Q-1$. In caso di uguaglianza il debitore è indifferente; occorre specificare se partecipa. Se le tipologie che rimangono sul mercato cambiano quando il tasso supera una soglia, il rimborso atteso è definito a tratti. Un tasso di interesse promesso più elevato può allora ridurre i ricavi attesi della banca, facendo uscire dal gruppo i debitori più sicuri.

Cartolarizzazione e perdite delle tranche

La perdita complessiva del portafoglio $x$, il punto di attacco della tranche $a$ e il punto di distacco $d$ siano espressi nelle stesse unità, con $0\le a<d$. L'importo della perdita attribuita alla tranche e la frazione del suo capitale perduta sono:

Per una tranche che copre perdite del portafoglio dal 5% al 15%, una perdita del portafoglio del 9% consuma quattro punti percentuali del capitale del portafoglio, pari al 40% della tranche. Non è una perdita del 4% della tranche stessa. Questa cascata statica di allocazione trascura la tempistica di interessi e capitale, le commissioni, le clausole di attivazione e i recuperi; un modello dell'operazione deve seguire le sue effettive regole contrattuali.

Assicurazione della liquidità e utilità attesa

Supponiamo che una frazione $\lambda$ dei risparmiatori abbia bisogno di consumo anticipato $c_1$ e che la frazione restante consumi $c_2$ successivamente. Se un'unità mantenuta fino alla data successiva rende $R$ e la liquidazione anticipata rende uno, il vincolo fondamentale delle risorse per risparmiatore iniziale è:

dove $W$ è la ricchezza iniziale. Quando $u_1\left(c\right)=\sqrt{c}$ e $u_2\left(c\right)=\alpha \sqrt{c}$, l'ottimo interno soddisfa $\sqrt{c_2}=\alpha R\sqrt{c_1}$, oppure $c_2={\alpha }^2{R}^2{c}_1$, insieme al vincolo delle risorse soddisfatto con uguaglianza. Devono essere verificati anche i vincoli di frontiera e di incentivo. Un'allocazione può migliorare l'autarchia senza coincidere con l'ottimo esatto.

Per un pagamento rischioso da prelievo $X$, l'utilità attesa è $E\left[u\left(X\right)\right]={\sum }_s{p}_{s}u\left(X_s\right)$. Con utilità concava, generalmente differisce da $u\left(E\left[X\right]\right)$. In particolare, l'utilità del consumatore tardivo derivante dalla lotteria di una corsa agli sportelli è $\alpha {\sum }_s{p}_s\sqrt{X_s}$, non $\alpha \sqrt{{\sum }_s{p}_s{X}_s}$. Questa distinzione è essenziale quando si confrontano il prelievo e l'attesa.

Capacità di rimborso durante una corsa agli sportelli, assicurazione e liquidazione

Se le risorse liquide totali sono $H$ e a ciascun richiedente anticipato viene promesso $c_1$, il numero di soggetti pagati integralmente è $\lfloor H/c_1\rfloor$, con risorse residue $H-c_1\lfloor H/c_1\rfloor$. Il pagamento al richiedente che riceve il residuo deve essere incluso nel calcolo dell'utilità attesa con una coda casuale. Una garanzia del capitale $W$ non elimina necessariamente l'incentivo al prelievo quando il pagamento contrattuale immediato è maggiore di $W$.

Se un rimborso richiede liquidità $C$, le attività liquide immediatamente disponibili sono $H$ e i titoli vengono venduti con un haircut $h$ rispetto al valore contabile, il valore contabile da vendere è:

Queste espressioni presuppongono l'esistenza di attività vendibili sufficienti e un haircut costante. La perdita è maggiore del semplice prodotto tra l'importo di liquidità mancante e $h$, perché la vendita deve procurare l'intero importo mancante dopo lo sconto.

Regolamentazione patrimoniale e della liquidità

In un calcolo standardizzato semplificato del rischio di credito, le attività ponderate per il rischio sono $RWA={\sum }_i{w}_{i}EA{D}_i$, dove $w_i$ è il fattore di ponderazione applicabile. Un coefficiente patrimoniale è il rapporto tra il capitale ammissibile specificato e le RWA, ad esempio $CET1/RWA$. Le RWA regolamentari effettive possono includere anche il rischio di mercato, il rischio operativo e rettifiche. Il coefficiente di leva non ponderato divide il capitale Tier 1 ammissibile per la misura regolamentare dell'esposizione, che può comprendere poste fuori bilancio.

Due misure complementari della liquidità sono:

I criteri di ammissibilità, gli haircut valutativi, i limiti agli afflussi e le ponderazioni del funding fanno parte delle definizioni. I coefficienti non vanno calcolati inserendo categorie arbitrarie dello stato patrimoniale. Il capitale assorbe le perdite; le risorse liquide consentono di effettuare i pagamenti. Rispettare un coefficiente non dimostra che tutti i rischi di solvibilità, funding o concentrazione siano sotto controllo. Il capitolo sulla regolamentazione spiega gli standard applicabili e gli esempi storici.

Stock monetari, pagamenti e moltiplicatore monetario

In un sistema stilizzato, indichiamo con $C$ il circolante detenuto dal pubblico, con $D$ i depositi e con $R$ le riserve bancarie. La moneta in senso ampio in questa definizione semplificata è $M=C+D$; la base monetaria è $B=C+R$. Ponendo $c=C/D$ e $r=R/D$ si ottiene la relazione contabile:

Questa identità non è una regola causale meccanica in base alla quale le riserve di banca centrale determinano i prestiti bancari. Sono tutti rilevanti le preferenze per il circolante, le riserve detenute, la domanda di prestiti, i costi del funding e le modalità di attuazione della politica monetaria. Inoltre, questo $M$ stilizzato non riproduce ogni aggregato monetario ufficiale. L'erogazione di un prestito crea un'attività creditizia e una corrispondente passività da deposito; il rimborso del capitale distrugge queste due posizioni creditorie. Un pagamento verso un'altra banca modifica la distribuzione di depositi e riserve tra le banche, senza necessariamente modificarne i totali dell'intero sistema.

Copertura delle stablecoin ed economia dei servizi di pagamento

Un semplice rapporto di copertura delle stablecoin è il valore di mercato delle attività di riserva diviso per le passività da token rimborsabili, misurati alla stessa data e sulla stessa base valutativa. Un rapporto almeno pari a uno non garantisce di per sé il rimborso immediato: custodia, priorità giuridica, regolamento, liquidità e modalità operative rimangono essenziali. Lo sconto rispetto all'unità di riferimento è $(P-P^{*})/P^{*}$, dove $P$ è il prezzo osservato del token e $P^{*}$ il valore di riferimento promesso.

Per un'impresa di pagamenti che gestisce $N$ transazioni, ottiene un ricavo medio $v$ e sostiene un costo variabile $c$ per transazione, il margine di contribuzione prima dei costi fissi è $N(v-c)$. Con costi fissi $F$ e margine unitario positivo, il volume di pareggio operativo è $N^{*}=F/(v-c)$. Il numero di transazioni, il valore dei pagamenti e le commissioni espresse in percentuale del valore sono unità distinte; un modello che le mescola non risulterà coerente. Anche i saldi dei clienti detenuti in un sistema a circuito chiuso non sono automaticamente ricavi o utili contabili.