Le figure riprodotte dalle fonti conservano le etichette originali; le didascalie, le tabelle e le spiegazioni sono tradotte in italiano.
Appendice A. Formulario essenziale e definizioni delle variabili
Le equazioni seguenti raccolgono le formule più utilizzate in questo manuale. Le convenzioni possono variare tra contesti: occorre sempre specificare l'orizzonte di rischio, la convenzione di rendimento o di tasso, la direzione dell'esposizione e le definizioni di perdita e recupero.
Introduzione, governance del rischio e rischio del mercato azionario
I pesi wᵢ rappresentano quote di capitale; la covarianza determina se i rischi si amplificano o si compensano reciprocamente.
L è la perdita, definita come l'opposto del profitto e della perdita; può essere negativa in presenza di un utile. Il livello di confidenza α specifica la probabilità cumulata utilizzata per individuare il quantile.
L'ES quantifica la gravità media delle perdite nella coda; per distribuzioni discrete occorre una definizione generalizzata di media di coda.
Una formula di esposizione di primo ordine su un periodo: LGD è una frazione di perdita ed EAD è l'importo dell'esposizione al momento del default.
Il capitale è accantonato per le perdite superiori alla perdita attesa media fino al quantile di coda indicato.
Il rendimento atteso è lineare nei pesi del portafoglio; il rischio non lo è.
Σ è la matrice di covarianza dei rendimenti dei singoli titoli; w è il vettore dei pesi del portafoglio.
Per un portafoglio lineare su un periodo con rendimento distribuito normalmente: V₀ è il valore, μp la media del rendimento, σp la deviazione standard del rendimento e zα il quantile α della normale standard.
Il beta misura la sensibilità del portafoglio a un indice di mercato rappresentativo.
Il segno meno indica la vendita del future sull'indice per compensare il beta di mercato positivo delle posizioni azionarie lunghe.
μ è la deriva proporzionale attesa istantanea; σ è la volatilità; W è un moto browniano standard.
La correzione della deriva −σ²/2 compare quando si simulano rendimenti azionari a capitalizzazione continua.
Rendimento atteso in eccesso rispetto al tasso privo di rischio per unità di volatilità totale del portafoglio.
Rendimento atteso in eccesso per unità di esposizione sistematica al mercato.
Rischio di cambio e coperture aziendali
Verificare la direzione della quotazione del cambio prima della conversione; le quotazioni inverse richiedono una divisione.
L'approssimazione è esatta quando q indica la valuta domestica per unità di valuta estera e l'importo di cassa in valuta estera X rimane fisso.
Con un tasso di cambio quotato come valuta domestica per unità di valuta estera e tassi di finanziamento a capitalizzazione continua , la parità coperta dei tassi d'interesse dà
La formula assume scadenze e convenzioni corrispondenti e un accesso privo di frizioni ai relativi mercati di finanziamento e a termine. Le quotazioni effettive possono riflettere una base tra valute e costi di transazione.
Rischio di prezzo delle materie prime e copertura a varianza minima
Sᵀ è il prezzo a pronti alla scadenza; F₀,T è il prezzo di consegna concordato oggi.
Si applica con capitalizzazione continua, sottostante liberamente negoziabile e assenza di distribuzioni o effetti di stoccaggio.
r è il tasso di finanziamento, u il tasso di costo dello stoccaggio, y il rendimento di convenienza, T il tempo alla consegna.
Minimizza Var(ΔS + NΔF) per una copertura lineare. Qui ΔS è la variazione monetaria dell'intera esposizione e ΔF la variazione monetaria di un contratto futures; utilizzare prezzi per unità richiede invece un adeguamento per la quantità esposta e la dimensione del contratto.
Il coefficiente angolare della regressione delle variazioni del valore esposto sulle variazioni dei futures fornisce la dimensione della copertura con segno opposto.
ρSF è la correlazione tra le variazioni del valore dell'esposizione coperta e dei futures; R² misura la frazione di varianza eliminata.
Rischio di tasso d'interesse, duration ed esposizione del portafoglio bancario
F è il valore nominale, y il rendimento effettivo annuo a scadenza, T gli anni alla scadenza.
Ogni data di pagamento è ponderata per la sua quota del prezzo dell'obbligazione.
Convenzione discreta a capitalizzazione annua; per altre convenzioni di capitalizzazione adeguare di conseguenza il denominatore.
C è la convessità del prezzo, definita con una convenzione di rendimento coerente; Δy è una variazione del rendimento in forma decimale.
Il PVBP, detto anche DV01, è approssimativamente la perdita di prezzo derivante da un aumento del rendimento di un punto base per un'obbligazione con duration positiva.
In un modello con shock normali dei rendimenti e duration di primo ordine, utilizzare σ misurata in punti base.
A e L indicano i valori attuali delle attività e delle passività del portafoglio bancario; i termini D indicano la rispettiva duration effettiva pertinente.
Rischi delle opzioni e greche
Sottrarre il premio dal payoff per calcolare il profitto dell'acquirente; il venditore riceve il payoff opposto più il premio.
Si assume K₁ < K₂; il premio netto è il costo della call con prezzo di esercizio inferiore meno il ricavo della call con prezzo di esercizio superiore.
Una call lunga e una put lunga con lo stesso prezzo di esercizio generano un profilo di profitto finale a V.
Questa è un'approssimazione locale di Taylor. Qui theta misura la sensibilità al tempo di calendario trascorso, volatilità e tassi sono espressi in forma decimale e le esposizioni monetarie richiedono le quantità delle posizioni. Gli effetti di ordine superiore e incrociati possono essere rilevanti per shock ampi.
Delta fornisce l'esposizione locale al prezzo del sottostante; gamma è la variazione di tale esposizione al variare del prezzo del sottostante.
Le definizioni di sensibilità dipendono dal modello di valutazione e dalle unità esatte di tempo e tasso.
Modelli di Value at Risk e misurazione del rischio di mercato
Il livello di confidenza α e il periodo di detenzione h specificano la distribuzione delle perdite che viene quantificata.
Con la perdita positiva definita come l'opposto del P&L, occorre verificare la convenzione di segno della media.
Ogni Li è la perdita dopo la rivalutazione delle posizioni correnti secondo uno scenario storico dei fattori di rischio.
Generare M traiettorie o shock dei fattori di rischio e rivalutare il portafoglio corrente in ogni scenario.
a contiene le sensibilità del P&L del portafoglio agli shock dei fattori di rischio; Σ è la loro matrice di covarianza. Questa forma assume una media nulla del P&L; altrimenti sottrarre il P&L atteso.
Una statistica complementare del rischio di coda, particolarmente rilevante quando gli esiti estremamente negativi sono molto oltre la soglia del VaR.
La forma integrale dell'Expected Shortfall include esattamente la frazione peggiore degli esiti e rimane valida per distribuzioni con masse di probabilità:
Qui varia sui livelli di confidenza e il denominatore è la probabilità di coda. Una semplice media condizionata oltre il VaR può omettere parte della massa di probabilità sul confine in una distribuzione discreta.
Per una variabile normale di profitto e perdita con media e deviazione standard , le misure normali di perdita sono
è il quantile della normale standard e la sua densità. L'ipotesi di coda normale è sostanziale: nessuna delle due espressioni dimostra che le perdite realizzate saranno distribuite normalmente.
La previsione EWMA univariata e una specificazione GARCH(1,1) sono rispettivamente
è l'innovazione del rendimento. Per l'EWMA, controlla la memoria; in un modello GARCH stazionario convenzionale, , e . Questi descrivono varianze condizionate, non garantiscono shock distribuiti normalmente.
Rischio di credito, rating, capitale regolamentare e modelli di portafoglio
Distinguere la probabilità di default dalla gravità della perdita e dall'importo esposto al momento del default.
Il fattore 12.5 è l'inverso di un coefficiente minimo di capitale totale dell'8%; i calcoli IRB effettivi includono correlazioni regolamentari, aggiustamenti per la scadenza e altre rettifiche.
Le probabilità di default neutrali al rischio sono dedotte dai prezzi di mercato, dalle ipotesi di recupero e dai fattori di attualizzazione.
Una probabilità di default neutrale al rischio implicita nei prezzi non coincide generalmente con la probabilità storica o fisica di default.
xᵢ sono variabili misurabili della qualità creditizia; βᵢ sono pesi stimati o scelti da chi costruisce il modello creditizio.
La funzione di collegamento logistica trasforma un punteggio lineare in una probabilità compresa tra zero e uno.
Per una curva receiver operating characteristic (ROC) con il default come classe positiva, l'AUC è l'area sotto tale curva. Questa espressione del Gini non deve essere applicata all'area non normalizzata sotto un cumulative accuracy profile (CAP).
Un'istituzione necessita di scenari di portafoglio creditizio per modellizzare la dipendenza e i default simultanei estremi.
Una probabilità annua condizionata di default deriva dalle probabilità cumulate di default :
Il denominatore è la probabilità di sopravvivere fino all'inizio dell'anno . Le probabilità cumulate e condizionate non dovrebbero essere sommate o confrontate come se rappresentassero lo stesso orizzonte e la stessa popolazione.
Credit Default Swap e titoli garantiti da attività
Uno spread di 90 bps equivale allo 0.90% annuo; la tempistica e la maturazione effettive dipendono dal contratto.
Regolamento monetario semplificato sull'intero nozionale N, trascurando gli importi maturati e le specificità contrattuali.
A è il punto di attacco, D il punto di distacco e Lpool la perdita totale del portafoglio espressa in unità coerenti.
Earnings at Risk e Cash Flow at Risk
C è la cedola monetaria annua costante e r il rendimento di attualizzazione. Una variazione di r modifica il prezzo anche quando C rimane costante.
L'espressione fornisce il tasso cedolare. Moltiplicare per il nozionale e per la frazione del periodo di maturazione per ottenere la cedola monetaria. Revisioni frequenti riducono l'esposizione del prezzo ai tassi ma rendono variabili i flussi cedolari futuri.
Rischio di liquidità e requisiti di liquidità di Basilea
Una misura standardizzata di stress di liquidità a breve termine; il minimo regolamentare generale è il 100%.
Misura quanto i fabbisogni di finanziamento delle attività e delle esposizioni fuori bilancio siano sostenuti da fonti sufficientemente stabili; minimo generale del 100%.
Per un calcolo dell'LCR con il limite standard agli afflussi del 75%, i deflussi ammissibili sotto stress e gli afflussi danno
è il deflusso di cassa netto regolamentare a 30 giorni. Regole di ammissibilità, scarti, limiti ed eccezioni consentite determinano quali importi entrano nel calcolo; questa identità non sostituisce tali regole. Sia la riserva di liquidità sia gli importi dei flussi di cassa sono misurati nella stessa valuta.