Teoria e politica dei cicli economici

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7. Soluzione del modello lineare con aspettative razionali

Introduzione

Risolvere un modello lineare orientato al futuro significa trovare aspettative e regole decisionali coerenti con ogni condizione di equilibrio. A differenza di un sistema lineare statico, soluzioni algebriche arbitrarie non sono tutte ugualmente ammissibili: il processo selezionato deve essere stabile e rispettare le variabili di stato predeterminate.

Il metodo dei coefficienti indeterminati ipotizza funzioni decisionali lineari nello stock di capitale di inizio periodo e nella tecnologia osservata. La sostituzione nelle equazioni log-linearizzate di Eulero, del lavoro, della produzione e delle risorse identifica i vincoli sui coefficienti. Si seleziona la radice stabile per ottenere l'equilibrio ricorsivo economicamente rilevante.

Lo stesso sistema lineare con aspettative razionali può essere espresso nel toolkit matriciale di Harald Uhlig e implementato numericamente in Matlab o Dynare. Questi ambienti di calcolo risolvono i coefficienti di risposta, valutano la stabilità dinamica e generano i momenti statistici implicati dal modello.

Spiegazione teorica integrata

Le equazioni di equilibrio log-lineari non costituiscono ancora una soluzione economica completa perché includono aspettative su variabili in date future. Un equilibrio ricorsivo esprime le decisioni correnti come funzioni degli stati noti quando tali decisioni vengono prese. Nel riferimento RBC, gli stati fondamentali sono il capitale installato dal periodo precedente e lo stato corrente della tecnologia. Il capitale installato è predeterminato dall'investimento precedente; la tecnologia è esogena ma osservata nel periodo. Consumo, ore lavorate e scelta del nuovo capitale si adattano a questi stati secondo regole decisionali che devono soddisfare sia le condizioni di equilibrio correnti sia quelle future attese.

Il metodo dei coefficienti indeterminati inizia proponendo funzioni decisionali lineari. Per esempio, si scrive k̂ₜ = λkk k̂ₜ₋₁ + λkz ẑₜ, con espressioni analoghe per consumo, prodotto e lavoro. I coefficienti sono inizialmente ignoti, ma la linearità suggerisce che qualsiasi soluzione stabile del primo ordine possa essere rappresentata in questa forma. Queste equazioni hanno un'interpretazione economica immediata: un coefficiente descrive l'effetto di ereditare un'unità aggiuntiva di capitale rispetto allo stato stazionario; l'altro descrive l'effetto di uno stato di produttività più elevato a capitale ereditato invariato.

Si sostituiscono le regole proposte nella produzione, nella condizione del lavoro, nel vincolo delle risorse e nella condizione di Eulero orientata al futuro. Poiché lo stato tecnologico stesso segue ẑₜ₊₁ = ρẑₜ + uₜ₊₁, le aspettative razionali possono essere calcolate utilizzando la media condizionata degli shock futuri. Si raccolgono tutti i termini contenenti k̂ₜ₋₁ e tutti quelli contenenti ẑₜ. Affinché le identità valgano per ogni possibile combinazione degli stati, ciascun coefficiente corrispondente deve soddisfare un vincolo algebrico separato. Le equazioni non lineari risultanti nei coefficienti λ vengono risolte congiuntamente e si seleziona il ramo stabile economicamente ammissibile.

La stabilità è importante perché il modello contiene un'attività predeterminata e scelte orientate al futuro. Una radice algebrica che faccia esplodere il vettore di stato in presenza di piccole perturbazioni può violare le condizioni di trasversalità del problema della famiglia e non descrivere un equilibrio ragionevole attorno allo stato stazionario. Una soluzione stabile permette all'economia di convergere dopo shock temporanei quando il processo esogeno sottostante è stazionario. Non si tratta semplicemente di preferire grafici dall'andamento regolare: è il requisito di coerenza dinamica che collega il risparmio ottimale, i rendimenti attesi e il sentiero temporale del capitale accumulato.

I coefficienti decisionali calibrati rendono concrete le risposte economiche. Nell'esempio numerico riportato, k̂ₜ ≈ 0.95k̂ₜ₋₁ + 0.15ẑₜ, mentre ĉₜ ≈ 0.53k̂ₜ₋₁ + 0.45ẑₜ e ŷₜ ≈ 0.05k̂ₜ₋₁ + 1.97ẑₜ. Il lavoro risponde approssimativamente secondo n̂ₜ ≈ −0.48k̂ₜ₋₁ + 1.52ẑₜ e l'investimento presenta un coefficiente sulla tecnologia molto maggiore. Queste sono risposte locali basate sulla specifica calibrazione, non coefficienti generali da trasferire a qualsiasi economia.

Il toolkit di Uhlig fornisce una rappresentazione matriciale dello stesso sistema. Le variabili di stato endogene, i controlli che non sono stati e gli shock esogeni vengono separati in vettori. Le equazioni statiche collegano stati contemporanei e ritardati ai controlli, mentre le equazioni con aspettative includono valori futuri. La soluzione del sistema matriciale produce le matrici dei coefficienti P e Q per la transizione degli stati endogeni e R e S per le restanti variabili di controllo. Questo approccio si estende a modelli con più variabili di quante sia agevole risolvere a mano e fornisce diagnostiche numeriche, tra cui radici candidate, informazioni sulla stabilità e momenti del modello.

Il procedimento pratico al computer segue la stessa sequenza concettuale della derivazione manuale: scegliere i valori dei parametri, calcolare lo stato stazionario deterministico, dichiarare l'ordine delle variabili, costruire le matrici delle equazioni, verificarne le dimensioni e richiamare il risolutore. Le matrici risultanti devono essere interpretate in base all'ordine dichiarato delle variabili; scambiare consumo e investimento in un vettore del software può rendere economicamente privi di significato numeri altrimenti corretti. Gli esempi mostrano anche come utilizzare una calibrazione per ottenere autocorrelazioni e deviazioni standard dopo aver filtrato i dati simulati.

Dynare è un ambiente alternativo per specificare e risolvere sistemi dinamici stocastici di equilibrio generale. Anziché trattare un pacchetto software come fonte di ipotesi economiche, il ricercatore fornisce le equazioni, i parametri calibrati o stimati, il processo degli shock e le analisi richieste. La qualità del risultato dipende comunque dalla corretta collocazione temporale delle equazioni e dalla coerenza dello stato stazionario e della struttura di equilibrio. Il software numerico è un'implementazione di un modello matematico, non un sostituto della specificazione del modello o dell'interpretazione dei risultati.

Quadro formale e relazioni essenziali

{\hat{k}}_{t} = λ_{k k} {\hat{k}}_{t - 1} + λ_{k z} {\hat{z}}_{t}

Lo stato endogeno evolve in base al capitale ereditato e allo stato corrente della produttività. I suoi coefficienti di risposta emergono sostituendo le leggi ipotizzate nel sistema di equilibrio.

{\hat{c}}_{t} = λ_{c k} {\hat{k}}_{t - 1} + λ_{c z} {\hat{z}}_{t}, {\hat{y}}_{t} = λ_{y k} {\hat{k}}_{t - 1} + λ_{y z} {\hat{z}}_{t}

Consumo e prodotto sono controlli che si muovono immediatamente in risposta agli stati. Equazioni analoghe caratterizzano lavoro e investimento.

Variabile endogena	Coefficiente su k̂ₜ₋₁	Coefficiente su ẑₜ
Capitale, k̂ₜ	0.95	0.15
Consumo, ĉₜ	0.53	0.45
Prodotto, ŷₜ	0.05	1.97
Ore lavorate, n̂ₜ	−0.48	1.52
Investimento, îₜ	−1.40	6.52

I coefficienti delle funzioni decisionali sono riportati in forma arrotondata per facilitarne la lettura. Un'implementazione matriciale numerica può riportare più cifre decimali, perciò piccole differenze di arrotondamento non indicano un modello diverso.

𝐱_{t} = P 𝐱_{t - 1} + Q 𝐳_{t}, 𝐲_{t} = R 𝐱_{t - 1} + S 𝐳_{t}

La soluzione di Uhlig utilizza una legge matriciale per gli stati x e i controlli y, con tecnologia esogena z. Gli autovalori di transizione e le matrici stimate mostrano se l'equilibrio selezionato sia stabile.

Spiegazioni, derivazioni e applicazioni empiriche

Sistema di equazioni lineare

0 = E_{t} [β α \frac{\overline{y}}{\overline{k}} ({\hat{y}}_{t + 1} - {\hat{k}}_{t}) + {\hat{c}}_{t} - {\hat{c}}_{t + 1}]

0 = - {\hat{c}}_{t} + {\hat{y}}_{t} - {\hat{n}}_{t}

0 = - \overline{y} {\hat{y}}_{t} + \overline{c} {\hat{c}}_{t} + \overline{k} {\hat{k}}_{t} - (1 - δ) \overline{k} {\hat{k}}_{t - 1}

0 = - {\hat{y}}_{t} + {\hat{z}}_{t} + (1 - α) {\hat{n}}_{t} + α {\hat{k}}_{t - 1}

{\hat{z}}_{t} = ρ {\hat{z}}_{t - 1} + u_{t}

Metodo dei coefficienti indeterminati

Il capitale installato e la produttività corrente sono le variabili di stato. Si ipotizzano regole decisionali lineari:

{\hat{y}}_{t} = λ_{y k} {\hat{k}}_{t - 1} + λ_{y z} {\hat{z}}_{t}

{\hat{k}}_{t} = λ_{k k} {\hat{k}}_{t - 1} + λ_{k z} {\hat{z}}_{t}

{\hat{c}}_{t} = λ_{c k} {\hat{k}}_{t - 1} + λ_{c z} {\hat{z}}_{t}

{\hat{n}}_{t} = λ_{n k} {\hat{k}}_{t - 1} + λ_{n z} {\hat{z}}_{t}

Si eliminano prodotto e lavoro per ridurre il modello a capitale, consumo e tecnologia:

0 = - {\hat{k}}_{t} + a_{1} {\hat{k}}_{t - 1} - a_{2} {\hat{c}}_{t} + a_{3} {\hat{z}}_{t}

0 = E_{t} [{\hat{c}}_{t} + a_{4} {\hat{k}}_{t} - a_{5} {\hat{c}}_{t + 1} + a_{6} {\hat{z}}_{t + 1}]

{\hat{z}}_{t} = ρ {\hat{z}}_{t - 1} + u_{t}

a_{1} = \frac{\overline{y}}{\overline{k}} + 1 - δ, a_{3} = \frac{\overline{y}}{α \overline{k}}, a_{2} = \frac{\overline{c}}{\overline{k}} + (1 - α) a_{3}

a_{4} = 0, a_{6} = β \frac{\overline{y}}{\overline{k}}, a_{5} = 1 + (1 - α) a_{6}

Si sostituiscono le regole ipotizzate per capitale e consumo e si utilizza l'aspettativa condizionata della produttività:

E_{t} {\hat{z}}_{t + 1} = ρ {\hat{z}}_{t}

0 = (- λ_{k k} + a_{1} - a_{2} λ_{c k}) {\hat{k}}_{t - 1} + (- λ_{k z} - a_{2} λ_{c z} + a_{3}) {\hat{z}}_{t}

0 = (λ_{c k} + a_{4} λ_{k k} - a_{5} λ_{c k} λ_{k k}) {\hat{k}}_{t - 1} + (λ_{c z} + a_{4} λ_{k z} - a_{5} λ_{c k} λ_{k z} - a_{5} λ_{c z} ρ + a_{6} ρ) {\hat{z}}_{t}

Passaggi successivi

La regola del consumo orientata al futuro deve essere valutata utilizzando lo stato endogeno del capitale del periodo successivo:

E_{t} {\hat{c}}_{t + 1} = λ_{c k} {\hat{k}}_{t} + λ_{c z} ρ {\hat{z}}_{t}

0 = {\hat{c}}_{t} + (a_{4} - a_{5} λ_{c k}) {\hat{k}}_{t} + (- a_{5} λ_{c z} + a_{6}) ρ {\hat{z}}_{t}

Si sostituiscono nuovamente le regole del capitale e del consumo, quindi si raccolgono separatamente i coefficienti sul capitale ereditato e sulla tecnologia corrente.

Confronto dei coefficienti

0 = - λ_{k k} + a_{1} - a_{2} λ_{c k}, 0 = λ_{c k} + a_{4} λ_{k k} - a_{5} λ_{c k} λ_{k k}

0 = λ_{k k}^{2} - (a_{1} - \frac{a_{2} a_{4}}{a_{5}} + \frac{1}{a_{5}}) λ_{k k} + \frac{a_{1}}{a_{5}}

λ_{k k} = \frac{1}{2} [B \pm \sqrt{B^{2} - 4 a_{1} / a_{5}}], B = a_{1} - \frac{a_{2} a_{4}}{a_{5}} + \frac{1}{a_{5}}

λ_{c k} = \frac{a_{1} - λ_{k k}}{a_{2}}

Si sceglie la radice stabile economicamente ammissibile. Se il valore assoluto del prodotto delle due radici supera uno, al massimo una può trovarsi strettamente all'interno del cerchio unitario.

0 = - λ_{k z} - a_{2} λ_{c z} + a_{3}

0 = λ_{c z} + a_{4} λ_{k z} - a_{5} λ_{c k} λ_{k z} - a_{5} λ_{c z} ρ + a_{6} ρ

λ_{c z} = \frac{(a_{4} - a_{5} λ_{c k}) a_{3} + a_{6} ρ}{a_{4} a_{2} - a_{5} λ_{c k} a_{2} + a_{5} ρ - 1}

λ_{k z} = a_{3} - a_{2} λ_{c z}

Questi vincoli derivano dall'uguaglianza dei coefficienti sulla produttività corrente, indipendentemente dal coefficiente sul capitale ritardato.

Funzioni decisionali calibrate

Variabile	Coefficiente sul capitale ereditato	Coefficiente sulla produttività
Capitale	0.95	0.15
Consumo	0.53	0.45
Produzione	0.05	1.97
Ore lavorate	−0.48	1.52
Investimenti	−1.40	6.52

I coefficienti illustrativi arrotondati descrivono risposte locali in deviazioni logaritmiche.

Il toolkit di Uhlig

La rappresentazione matriciale distingue le equazioni che valgono all'interno di un periodo da quelle che contengono aspettative di decisioni future. Questa separazione consente una soluzione numerica generale con vettori di stato e di controllo.

0 = A x_{t} + B x_{t - 1} + C y_{t} + D z_{t}

0 = E_{t} [F x_{t + 1} + G x_{t} + H x_{t - 1} + J y_{t + 1} + K y_{t} + L z_{t + 1} + M z_{t}]

z_{t + 1} = N z_{t} + u_{t + 1}

I vettori distinguono gli stati endogeni x, le altre variabili endogene y e gli stati esogeni z. Le dimensioni delle matrici e le condizioni sul rango devono essere compatibili con il numero di equazioni e variabili; la soluzione selezionata deve rispettare gli stati predeterminati e i requisiti di stabilità.

Soluzione

Una rappresentazione ricorsiva stabile associa il capitale predeterminato e la produttività corrente alle decisioni ottimali sui controlli. I suoi coefficienti e le radici matriciali devono soddisfare le equazioni di equilibrio dinamico e la tempistica degli stati endogeni.

La soluzione matriciale ha la forma ricorsiva xₜ = Pxₜ₋₁ + Qzₜ per gli stati endogeni e yₜ = Rxₜ₋₁ + Szₜ per le altre variabili endogene. Le matrici sintetizzano il modo in cui gli stati predeterminati e le perturbazioni esogene determinano le allocazioni correnti. Una volta note, le risposte all'impulso e le simulazioni stocastiche derivano dall'applicazione ripetuta di queste leggi di transizione.

Sistema di equazioni log-linearizzato

0 = E_{t} [β α \frac{\overline{y}}{\overline{k}} ({\hat{y}}_{t + 1} - {\hat{k}}_{t}) + {\hat{c}}_{t} - {\hat{c}}_{t + 1}]

0 = - {\hat{c}}_{t} + {\hat{y}}_{t} - {\hat{n}}_{t}

0 = - \overline{y} {\hat{y}}_{t} + \overline{c} {\hat{c}}_{t} + \overline{k} {\hat{k}}_{t} - (1 - δ) \overline{k} {\hat{k}}_{t - 1}

0 = - {\hat{y}}_{t} + {\hat{z}}_{t} + (1 - α) {\hat{n}}_{t} + α {\hat{k}}_{t - 1}

{\hat{z}}_{t} = ρ {\hat{z}}_{t - 1} + u_{t}

0 = \overline{k} {\hat{k}}_{t} - \overline{i} {\hat{i}}_{t} - (1 - δ) \overline{k} {\hat{k}}_{t - 1}

Il toolkit di Uhlig

0 = A x_{t} + B x_{t - 1} + C y_{t} + D z_{t}

0 = E_{t} [F x_{t + 1} + G x_{t} + H x_{t - 1} + J y_{t + 1} + K y_{t} + L z_{t + 1} + M z_{t}]

z_{t + 1} = N z_{t} + u_{t + 1}

x_{t} = {\hat{k}}_{t}, z_{t} = {\hat{z}}_{t}, y_{t} = {[\begin{matrix} {\hat{c}}_{t} & {\hat{y}}_{t} & {\hat{n}}_{t} & {\hat{i}}_{t} \end{matrix}]}^{⊤}

Il primo blocco contiene le equazioni del lavoro, delle risorse, della produzione e dell'accumulazione; il secondo contiene l'equazione di Eulero; l'ultimo blocco è la transizione esogena.

Applicazione del toolkit

Per la rappresentazione con quattro controlli, le matrici delle aspettative nel blocco di Eulero sono:

G = - β α \frac{\overline{y}}{\overline{k}}, J = [\begin{matrix} - 1 & β α \overline{y} / \overline{k} & 0 & 0 \end{matrix}], K = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

F = H = L = M = 0

A = [\begin{matrix} 0 \\ \overline{k} \\ 0 \\ \overline{k} \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 0 \\ - (1 - δ) \overline{k} \\ α \\ - (1 - δ) \overline{k} \end{matrix}]

C = [\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 & 0 \\ \overline{c} & - \overline{y} & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 - α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \overline{i} \end{matrix}], D = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]

Le righe corrispondono rispettivamente all'equilibrio del lavoro, alle risorse, alla produzione e all'accumulazione di capitale; i controlli sono ordinati come consumo, prodotto, lavoro e investimento.

Implementazione numerica

Questa implementazione aggiunge il rendimento lordo del capitale al vettore dei controlli, perciò le sue matrici hanno dimensioni diverse dalla rappresentazione con quattro controlli riportata sopra. Questo ordine deve essere mantenuto coerente nell'interpretazione dei risultati numerici. La variabile denominata “interest” è il rendimento lordo r + 1 − δ.

% Quarterly RBC calibration
alpha = 0.36;
delta = 0.0225;
betta = 0.99;
rho_z = 0.95;
sigma_eps = 0.007;
N_bar = 1/3;
Z_bar = 1;

% Deterministic steady state
R_bar = 1/betta;  % Gross return, rental return plus 1-delta
YK_bar = (R_bar + delta - 1)/alpha;
K_bar = (YK_bar/Z_bar)^(1/(alpha-1))*N_bar;
I_bar = delta*K_bar;
Y_bar = YK_bar*K_bar;
C_bar = Y_bar-I_bar;
phi = (1-alpha)*Y_bar/(N_bar*C_bar);

% State: capital. Controls: consumption, output, labor,
% gross return, investment. Exogenous state: technology.
VARNAMES = char('capital','consumption','output','labor', ...
                'interest','investment','technology');
AA = [0; -K_bar; 0; 0; 0];
BB = [0; (1-delta)*K_bar; alpha; 0; -alpha*YK_bar];
CC = [-C_bar, Y_bar, 0, 0, -I_bar;
       0, 0, 0, 0, I_bar;
       0, -1, 1-alpha, 0, 0;
      -1, 1, -1, 0, 0;
       0, alpha*YK_bar, 0, -R_bar, 0];
DD = [0; 0; 1; 0; 0];
FF = 0; GG = 0; HH = 0;
JJ = [-1, 0, 0, 1, 0];
KK = [1, 0, 0, 0, 0];
LL = 0; MM = 0;
NN = rho_z;
Sigma = sigma_eps^2;
[l_equ,m_states] = size(AA);
[~,n_endog] = size(CC);
[~,k_exog] = size(DD);

% Analysis options for the toolkit
PERIOD = 4;
GNP_INDEX = 3;
IMP_SELECT = 1:7;
DO_SIMUL = 0;
DO_MOMENTS = 1;
HP_SELECT = 1:(m_states+n_endog+k_exog);
% With the toolkit on the MATLAB path, invoke its driver:
% do_it;

Le matrici dei coefficienti vengono ricostruite dalle equazioni di equilibrio. Il fattore di sconto arrotondato è fissato a 0.99, perciò i rapporti calcolati dal codice possono differire leggermente dagli obiettivi di calibrazione espressi con meno cifre decimali.

Richiamare il toolkit

In un'implementazione al computer, il ricercatore deve rendere il file del modello e il risolutore accessibili all'ambiente numerico, fornire le matrici di equilibrio ed eseguire la procedura. Il contenuto economico risiede nelle equazioni del modello e nelle scelte dei parametri, non nel percorso delle cartelle del computer. I risultati devono essere verificati per accertare la coerenza con l'ordine dichiarato delle variabili e la presenza di radici stabili.

Risultati del toolkit

Lo stato endogeno è il capitale; lo stato esogeno è la tecnologia. Le radici candidate della transizione e la radice stabile selezionata sono:

Radice	Valore assoluto	Selezione
0.94574	0.94574	Radice stabile
1.0681	1.0681	Radice instabile esclusa

{\hat{k}}_{t} = 0.94574 {\hat{k}}_{t - 1} + 0.14719 {\hat{z}}_{t}

Controllo	Coefficiente sul capitale ereditato (R)	Coefficiente sulla produttività (S)
Consumo	0.53404	0.45562
Produzione	0.050594	1.9678
Lavoro	−0.48345	1.5122
Rendimento lordo	−0.030642	0.063510
Investimenti	−1.4117	6.5418

Questi coefficienti corrispondono alla rappresentazione numerica con cinque controlli e all'ordine dichiarato delle variabili.

Correlazioni incrociate delle serie del modello filtrate con HP rispetto al prodotto. La colonna j riporta corr(vₜ₊ⱼ, Yₜ). Un j negativo confronta v passato con il prodotto corrente; un j positivo confronta v futuro con il prodotto corrente.

Variabile	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
Capitale	-0.48	-0.42	-0.32	-0.16	0.05	0.34	0.53	0.63	0.67	0.66	0.62
Consumo	-0.26	-0.14	0.02	0.24	0.52	0.87	0.77	0.66	0.54	0.42	0.31
Produzione	-0.02	0.11	0.27	0.47	0.71	1.00	0.71	0.47	0.27	0.11	-0.02
Lavoro	0.07	0.19	0.34	0.52	0.74	0.98	0.65	0.38	0.16	-0.01	-0.14
Rendimento lordo	0.11	0.23	0.37	0.54	0.74	0.97	0.61	0.33	0.10	-0.07	-0.19
Investimenti	0.04	0.17	0.32	0.51	0.73	0.99	0.67	0.41	0.19	0.02	-0.10
Tecnologia	-0.01	0.11	0.28	0.48	0.72	1.00	0.71	0.46	0.26	0.10	-0.03

Variabile	Deviazione standard delle deviazioni logaritmiche filtrate con HP
Capitale	0.0046439
Consumo	0.0049190
Produzione	0.017925
Lavoro	0.013857
Rendimento lordo	0.00058974
Investimenti	0.059646
Tecnologia	0.0091035

I valori sono espressi in unità di deviazione logaritmica. La moltiplicazione per 100 ne esprime la scala approssimativa in punti percentuali.

Dynare

Dynare è un ambiente di calcolo per specificare, approssimare e simulare modelli dinamici stocastici di equilibrio generale. Automatizza parti della soluzione numerica, ma richiede comunque equazioni di equilibrio con tempistica corretta, uno stato stazionario valido, valori adeguati dei parametri e un processo esplicito degli shock. I suoi risultati vanno interpretati come la soluzione del modello economico fornito dal ricercatore.

Sintesi

Le soluzioni stabili con aspettative razionali generano regole decisionali utilizzabili ricorsivamente, implementabili mediante confronto manuale dei coefficienti o toolkit di calcolo.

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7. Soluzione del modello lineare con aspettative razionali

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Quadro formale e relazioni essenziali

Spiegazioni, derivazioni e applicazioni empiriche

Sistema di equazioni lineare

Metodo dei coefficienti indeterminati

Passaggi successivi

Confronto dei coefficienti

Funzioni decisionali calibrate

Il toolkit di Uhlig

Soluzione

Sistema di equazioni log-linearizzato

Il toolkit di Uhlig

Applicazione del toolkit

Implementazione numerica

Richiamare il toolkit

Risultati del toolkit

Dynare

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