Teoria e politica dei cicli economici

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6. Stato stazionario, calibrazione e approssimazione log-lineare

Introduzione

Un modello RBC non lineare è un sistema internamente coerente di equazioni alle differenze orientate al futuro, ma di solito non è agevole studiarlo direttamente a mano. La soluzione segue una sequenza standard: individuare lo stato stazionario deterministico, assegnare valori ai parametri, approssimare le condizioni di equilibrio in deviazioni logaritmiche e risolvere il sistema lineare risultante.

Lo stato stazionario fornisce un punto di riferimento. La calibrazione collega i parametri strutturali ai momenti empirici e alle identità di equilibrio, anziché scegliere valori senza giustificazione. La log-linearizzazione misura poi piccoli scostamenti percentuali da tale punto; la sua qualità va valutata rispetto all'entità degli shock analizzati.

Un'approssimazione del primo ordine conserva gli effetti locali, ma perde le caratteristiche propriamente non lineari degli ampi scostamenti, dei vincoli occasionalmente stringenti e dei comportamenti precauzionali. Le risposte all'impulso del primo ordine del modello sono quindi particolarmente informative per piccole perturbazioni attorno allo stato stazionario calibrato.

Spiegazione teorica integrata

Il sistema RBC di riferimento completo contiene cinque relazioni centrali. La condizione di Eulero collega il consumo odierno al consumo e ai rendimenti del capitale attesi per domani. La condizione del lavoro collega il consumo e le ore lavorate al prodotto marginale del lavoro. Il vincolo delle risorse alloca il prodotto tra consumo e accumulazione di capitale. La funzione di produzione determina i beni disponibili in base a produttività, lavoro e capitale ereditato. Infine, il processo tecnologico autoregressivo descrive come le nuove innovazioni modifichino lo stato esogeno. Risolvere il modello significa trovare sentieri che soddisfino tutte e cinque le equazioni contemporaneamente, non risolverle separatamente.

Uno stato stazionario deterministico è una configurazione costante delle variabili endogene in un ambiente senza ulteriori innovazioni tecnologiche. La produttività è normalizzata a uno. Poiché il capitale non cambia più da un periodo all'altro, l'investimento richiesto si limita a sostituire la quantità deprezzata, per cui ī = δk̄. Il vincolo delle risorse di stato stazionario è ȳ = c̄ + δk̄. L'equazione di Eulero fornisce 1 = β[αȳ/k̄ + 1 − δ], che identifica il prodotto marginale del capitale richiesto nello stato stazionario come αȳ/k̄ = β⁻¹ − 1 + δ. Questi sono vincoli di equilibrio, non ipotesi numeriche indipendenti.

Il rapporto capitale-prodotto discende immediatamente dal rendimento richiesto: k̄/ȳ = α/(β⁻¹ − 1 + δ). Poiché l'investimento si limita a sostituire il deprezzamento, la sua quota di stato stazionario soddisfa ī/ȳ = δ(k̄/ȳ). La quota del consumo sul prodotto è quindi c̄/ȳ = 1 − δ(k̄/ȳ). Date una normalizzazione delle ore lavorate n̄ e la tecnologia Cobb–Douglas, questi rapporti determinano il livello del prodotto di stato stazionario. Il parametro di preferenza per il tempo libero ϕ può essere scelto in modo che la condizione del primo ordine del lavoro valga al livello obiettivo delle ore lavorate di stato stazionario. Seguire questi passaggi nell'ordine evita di tentare di risolvere simultaneamente tutte le incognite senza utilizzare le relazioni di equilibrio che le identificano.

La calibrazione consiste nell'utilizzare la struttura del modello e le grandezze economiche osservate per scegliere valori plausibili dei parametri. La quota del capitale α è associata alla quota osservata del reddito corrisposta al capitale quando i prezzi dei fattori uguagliano i prodotti marginali. Il deprezzamento è informato dalla velocità con cui le attività produttive si usurano; β è collegato al rendimento di equilibrio del capitale; ϕ contribuisce a riprodurre le ore lavorate medie; ρ caratterizza la persistenza della tecnologia e la deviazione standard delle innovazioni controlla l'entità degli shock. Un valore calibrato non diventa una costante economica universale: è una scelta collegata a un insieme di dati, a una frequenza, a una struttura produttiva e a momenti obiettivo.

Il residuo di Solow è una misura della produttività totale dei fattori ricavata dal prodotto e dagli input misurati. Prendendo i logaritmi della produzione Cobb–Douglas si ottiene ln zₜ = ln yₜ − α ln kₜ₋₁ − (1 − α)ln nₜ. La sua costruzione presuppone che l'elasticità della produzione e le serie degli input siano misurate correttamente. Il residuo può contenere anche variazioni dovute all'utilizzo, alla composizione, a input omessi o a errori di misurazione. Interpretare ogni movimento del residuo misurato come un puro shock tecnologico esogeno è un'ipotesi forte e le implicazioni empiriche dello schema RBC devono essere valutate tenendo presente tale limite.

Linearizzare attorno a uno stato stazionario è utile perché le condizioni di equilibrio originarie contengono prodotti, potenze, rapporti e aspettative non lineari. Per una variabile strettamente positiva, si definisce x̂ₜ = ln(xₜ/x̄). Un piccolo x̂ₜ è approssimativamente uguale alla deviazione proporzionale (xₜ − x̄)/x̄. L'approssimazione sfrutta exp(x̂ₜ) ≈ 1 + x̂ₜ in prossimità dello zero. Nei logaritmi, la produzione Cobb–Douglas ha una rappresentazione lineare esatta, ŷₜ = ẑₜ + (1 − α)n̂ₜ + αk̂ₜ₋₁. Le altre equazioni richiedono uno sviluppo di Taylor del primo ordine perché le espressioni in livelli contengono somme o non linearità più complesse.

L'identità delle risorse del mercato dei beni fornisce un esempio particolarmente importante. Si parte da yₜ = cₜ + kₜ − (1 − δ)kₜ₋₁ e si esprime ogni variabile positiva come il suo livello di stato stazionario moltiplicato per l'esponenziale della sua deviazione logaritmica. Conservando i termini del primo ordine e cancellando l'identità di stato stazionario si ottiene ȳŷₜ = c̄ĉₜ + k̄k̂ₜ − (1 − δ)k̄k̂ₜ₋₁. I pesi sono livelli di stato stazionario; non possono essere omessi semplicemente perché il modello è stato scritto in deviazioni percentuali. Dividendo per ȳ, l'equazione si converte in rapporti interpretabili come quote delle risorse.

Per la condizione del lavoro, ϕcₜ = (1 − α)yₜ/nₜ, si prendono i logaritmi e si sottrae l'equazione di stato stazionario. Tutte le costanti fisse si cancellano, lasciando ĉₜ = ŷₜ − n̂ₜ. La nota condizione secondo cui i salari reali uguagliano il prodotto marginale del lavoro produce la stessa logica percentuale. Per il processo tecnologico, la legge di moto logaritmica è già lineare. L'equazione di Eulero è più delicata perché contiene un'aspettativa condizionata di un prodotto futuro e deve essere sviluppata congiuntamente attorno al consumo e ai rendimenti di stato stazionario. Il sistema risultante è lineare nelle deviazioni delle variabili di stato e di controllo, ma mantiene le aspettative orientate al futuro.

Un'approssimazione del primo ordine è affidabile soltanto localmente. Descrive l'effetto marginale immediato di piccole variazioni attorno al punto di riferimento calibrato, non necessariamente la risposta a crisi molto ampie, vincoli di irreversibilità dell'investimento o cambiamenti di regime non lineari. Il suo principale vantaggio è consentire lo studio di un complesso modello di ottimizzazione dinamica mediante un sistema di equazioni lineari alle differenze con aspettative razionali. Una volta risolto, tale sistema lineare genera funzioni decisionali, risposte all'impulso e statistiche del modello confrontabili sistematicamente con i dati del ciclo economico.

Quadro formale e relazioni essenziali

1 = β [α \frac{\overline{y}}{\overline{k}} + 1 - δ], \overline{y} = \overline{c} + δ \overline{k}

In assenza di crescita e di innovazioni, l'equazione di Eulero uguaglia lo sconto al rendimento lordo del capitale di stato stazionario; l'investimento si limita a sostituire il deprezzamento.

ϕ \overline{c} = (1 - α) \frac{\overline{y}}{\overline{n}}, \overline{y} = {\overline{n}}^{1 - α} {\overline{k}}^{α}

L'equazione del lavoro e la funzione di produzione di stato stazionario determinano congiuntamente ore lavorate, prodotto, consumo e capitale una volta scelti i parametri.

Parametro	Calibrazione illustrativa	Ruolo economico
ρ	0.95	Persistenza del logaritmo della tecnologia
σᵤ	0.007	Deviazione standard delle innovazioni della produttività
α	0.36	Quota del reddito del capitale
ϕ	2.56	Peso dell'utilità marginale del tempo libero
δ	0.0225	Deprezzamento trimestrale del capitale
β	≈ 0.99	Fattore di sconto della famiglia

La calibrazione utilizza σ per la deviazione standard delle innovazioni, mentre σ indica la curvatura dell'utilità nella precedente specificazione CRRA generale. Il significato deve quindi essere desunto dall'equazione o dalla tabella dei parametri in esame.

{\hat{x}}_{t} = ln (\frac{x_{t}}{\overline{x}}), x_{t} = \overline{x} exp ({\hat{x}}_{t}) \approx \overline{x} (1 + {\hat{x}}_{t})

Un accento circonflesso indica una deviazione logaritmica dallo stato stazionario, approssimativamente uguale a una variazione proporzionale per piccoli shock. L'approssimazione exp(h) ≈ 1+h è la formula locale di Taylor del primo ordine.

{\hat{c}}_{t} = {\hat{y}}_{t} - {\hat{n}}_{t}, {\hat{y}}_{t} = {\hat{z}}_{t} + (1 - α) {\hat{n}}_{t} + α {\hat{k}}_{t - 1}

Le equazioni linearizzate del lavoro e della produzione trasformano rapporti e prodotti non lineari in combinazioni di deviazioni con coefficienti economicamente interpretabili.

0 = - \overline{y} {\hat{y}}_{t} + \overline{c} {\hat{c}}_{t} + \overline{k} {\hat{k}}_{t} - (1 - δ) \overline{k} {\hat{k}}_{t - 1}

Il vincolo delle risorse linearizzato è espresso in unità delle quantità di stato stazionario, non come una semplice somma non ponderata di variazioni percentuali.

Spiegazioni, derivazioni e applicazioni empiriche

Approssimare la soluzione

Lo stato stazionario deterministico, la calibrazione strutturale e l'approssimazione sono fasi distinte della soluzione quantitativa. Insieme trasformano un sistema di equilibrio generale non lineare in una descrizione locale trattabile delle risposte dinamiche.

La procedura quantitativa segue un ordine logico fisso: calcolare lo stato stazionario deterministico, scegliere i parametri calibrati o stimati, log-linearizzare le condizioni di equilibrio non lineari, risolvere il sistema lineare con aspettative razionali ed esaminare le risposte all'impulso risultanti. Iniziare dallo stato stazionario è necessario perché tutti i coefficienti del primo ordine sono valutati in corrispondenza di tale allocazione di riferimento.

Sistema di equazioni non lineare

Le condizioni di equilibrio da calibrare e approssimare sono:

1 = β E_{t} [\frac{c_{t}}{c_{t + 1}} (α \frac{y_{t + 1}}{k_{t}} + 1 - δ)]

ϕ c_{t} = w_{t} = (1 - α) \frac{y_{t}}{n_{t}}

y_{t} = c_{t} + k_{t} - (1 - δ) k_{t - 1}

y_{t} = z_{t} n_{t}^{1 - α} k_{t - 1}^{α}

log z_{t} = ρ log z_{t - 1} + u_{t}, E (u_{t}) = 0, Var (u_{t}) = σ_{u}^{2}, | ρ | < 1

Stato stazionario di crescita

Uno stato stazionario deterministico elimina le innovazioni e mantiene costanti le variabili endogene stazionarie:

c_{t} = \overline{c}, y_{t} = \overline{y}, k_{t} = \overline{k}, n_{t} = \overline{n}, log z_{t} = 0, \overline{z} = 1

1 = β E_{t} [\frac{c_{t}}{c_{t + 1}} (α \frac{y_{t + 1}}{k_{t}} + 1 - δ)]

1 = β (α \frac{\overline{y}}{\overline{k}} + 1 - δ)

Il consumo costante elimina il rapporto intertemporale del consumo; il rendimento di stato stazionario compensa lo sconto.

ϕ c_{t} = w_{t} = (1 - α) \frac{y_{t}}{n_{t}}

ϕ \overline{c} = (1 - α) \frac{\overline{y}}{\overline{n}}

Investimento e prodotto

y_{t} = c_{t} + k_{t} - (1 - δ) k_{t - 1}

\overline{y} = \overline{c} + δ \overline{k}, \overline{i} = δ \overline{k}

Con capitale costante, l'investimento sostituisce il deprezzamento.

Quote dei fattori nello stato stazionario

\overline{w} = (1 - α) \frac{\overline{y}}{\overline{n}}, \frac{\overline{w} \overline{n}}{\overline{y}} = 1 - α

\overline{r} = α \frac{\overline{y}}{\overline{k}}, \frac{\overline{r} \overline{k}}{\overline{y}} = α

Calibrare il modello

Nel modello vi sono 6 parametri da fissare: β, δ, α, ϕ, ρ, σ; ora calibreremo il modello per riprodurre diversi fatti stilizzati. Occorre un obiettivo di calibrazione per ogni parametro, ricavato direttamente dai dati oppure dalle equazioni di stato stazionario.

Calibrare direttamente dai dati

Alcuni parametri possono essere fissati direttamente dai dati.

Il logaritmo della componente ciclica della produttività può essere adattato a un processo AR(1). La calibrazione trimestrale illustrativa utilizza persistenza ρ = 0.95 e deviazione standard delle innovazioni σᵤ = 0.007; questi valori sono scelte di calibrazione, non stime valide per ogni economia.

Che cosa sono i residui di Solow?

La calibrazione assegna valori ai parametri utilizzando misure direttamente osservabili di persistenza ed entità degli shock, quote dei fattori e identità contabili di stato stazionario. Per esempio, la produzione Cobb–Douglas concorrenziale rende l'esponente del capitale uguale alla quota del reddito del capitale. I residui di Solow attribuiscono alla produttività totale dei fattori la parte del prodotto non spiegata dalle quantità misurate degli input; essa può includere anche errori di misurazione o fattori omessi.

Con produzione Cobb–Douglas, il livello della produttività misurata è il residuo dopo aver tenuto conto di capitale e lavoro:

log X_{t} = log y_{t} - (1 - α) log n_{t} - α log k_{t - 1}

Consentire alla quota misurata del capitale di variare nel tempo sostituisce α con αₜ. Interpretare questo residuo come tecnologia richiede ipotesi sulla misurazione degli input, sul loro utilizzo e sulla struttura produttiva.

Residui di Solow e shock di produttività

I fatti stilizzati di Kaldor sono vincoli di lungo periodo che aiutano a stabilire se un modello di produzione aggregata sia plausibile. La crescita bilanciata collega l'aumento della produttività del lavoro e dell'intensità di capitale a proporzioni dei fattori, rendimenti del capitale e quote di reddito relativamente stabili. Non implicano un livello del prodotto costante né l'irrilevanza delle fluttuazioni di breve periodo.

Un processo stocastico della produttività può essere approssimato adattando un modello autoregressivo al residuo di produttività misurato. La persistenza stimata determina per quanto tempo un'innovazione tipica influenza la produttività, mentre la dispersione delle innovazioni residue determina l'entità degli shock. Interpretare il residuo statistico come pura tecnologia esogena rimane un'ipotesi identificativa del modello RBC di riferimento.

Calibrazione

α = \frac{\overline{r} \overline{k}}{\overline{y}} = 0.36

L'elasticità del capitale è calibrata sulla quota osservata del reddito del capitale sotto le ipotesi della Cobb–Douglas concorrenziale.

\overline{n} = \frac{1}{3}, \frac{\overline{i}}{\overline{y}} = \frac{1}{4}, \frac{\overline{c}}{\overline{y}} = \frac{3}{4}, \frac{\overline{y}}{\overline{k}} = 0.09

ϕ = \frac{1 - α}{\overline{n} (\overline{c} / \overline{y})} = \frac{0.64}{(1 / 3) \times 0.75} = 2.56

\overline{n} = \frac{1}{3}, \frac{\overline{i}}{\overline{y}} = \frac{1}{4}, \frac{\overline{c}}{\overline{y}} = \frac{3}{4}, \frac{\overline{y}}{\overline{k}} = 0.09

δ = \frac{\overline{i}}{\overline{y}} \frac{\overline{y}}{\overline{k}} = 0.25 \times 0.09 = 0.0225

\overline{n} = \frac{1}{3}, \frac{\overline{i}}{\overline{y}} = \frac{1}{4}, \frac{\overline{c}}{\overline{y}} = \frac{3}{4}, \frac{\overline{y}}{\overline{k}} = 0.09

β = \frac{1}{α (\overline{y} / \overline{k}) + 1 - δ} = \frac{1}{0.36 \times 0.09 + 1 - 0.0225} \approx 0.990197

Calibrazione: sintesi

Parametro	Valore illustrativo	Base della calibrazione
ρ	0.95	Persistenza del logaritmo della produttività
σᵤ	0.007	Deviazione standard delle innovazioni
α	0.36	Quota del reddito del capitale
ϕ	2.56	Ore lavorate e quota del consumo
δ	0.0225	Quota dell'investimento e rapporto prodotto-capitale
β	≈0.99	Condizione di Eulero di stato stazionario

Deviazioni logaritmiche

Una deviazione logaritmica è ln(xₜ/x̄), approssimativamente la differenza percentuale rispetto al livello di stato stazionario quando la deviazione è piccola. Lo sviluppo di Taylor del primo ordine trasforma prodotti e potenze in somme ponderate di deviazioni logaritmiche, semplificando notevolmente il sistema di equilibrio. È un metodo locale: quando gli scostamenti diventano ampi, gli errori di approssimazione possono avere rilevanza economica.

x_{t} = \overline{x} e^{{\hat{x}}_{t}}, {\hat{x}}_{t} = log x_{t} - log \overline{x} = log (\frac{x_{t}}{\overline{x}})

Per piccole variazioni, la deviazione logaritmica approssima una deviazione proporzionale. Moltiplicando per 100 si ottengono unità percentuali.

Esempio: deviazioni logaritmiche

\overline{c} = 5.43, c_{t} = 5.55, {\hat{c}}_{t} = log (5.55 / 5.43) \approx 0.02186

Il consumo è approssimativamente del 2.2% superiore al livello di riferimento. Con cₜ = 5.35, la deviazione logaritmica è approssimativamente −0.01484, ossia −1.48%.

Log-linearizzazione attorno allo stato stazionario

e^{{\hat{x}}_{t}} \approx 1 + {\hat{x}}_{t}, x_{t} = \overline{x} e^{{\hat{x}}_{t}} \approx \overline{x} (1 + {\hat{x}}_{t})

Si tratta di un'approssimazione locale del primo ordine attorno a una deviazione logaritmica nulla.

Esempio: log-linearizzazione

f (x_{t}) = x_{t}^{2} = {\overline{x}}^{2} e^{2 {\hat{x}}_{t}} \approx {\overline{x}}^{2} (1 + 2 {\hat{x}}_{t})

Quanto è accurata l'approssimazione?

\overline{x} = 2, x_{t} = 2.05, {\hat{x}}_{t} = log (2.05 / 2) \approx 0.0246926

f (2.05) = 4.2025, f (2.05) \approx 4 [1 + 2 log (2.05 / 2)] \approx 4.19754

L'errore di approssimazione è circa 0.00496, piccolo rispetto alla variazione della funzione.

\overline{x} = 2, x_{t} = 2.5, {\hat{x}}_{t} = log (2.5 / 2) \approx 0.223144

f (2.5) = 6.25, f (2.5) \approx 4 [1 + 2 log (2.5 / 2)] \approx 5.78515

L'errore aumenta a circa 0.46485. Scostamenti più ampi rendono meno accurata l'approssimazione locale.

Log-linearizzare

ϕ \overline{c} e^{{\hat{c}}_{t}} = (1 - α) \frac{\overline{y}}{\overline{n}} e^{{\hat{y}}_{t} - {\hat{n}}_{t}}

ϕ \overline{c} = (1 - α) \frac{\overline{y}}{\overline{n}} \Rightarrow {\hat{c}}_{t} = {\hat{y}}_{t} - {\hat{n}}_{t}

La condizione del lavoro è esattamente lineare nelle deviazioni logaritmiche.

\overline{y} e^{{\hat{y}}_{t}} = \overline{z} {\overline{n}}^{1 - α} {\overline{k}}^{α} e^{{\hat{z}}_{t} + (1 - α) {\hat{n}}_{t} + α {\hat{k}}_{t - 1}}

{\hat{y}}_{t} = {\hat{z}}_{t} + (1 - α) {\hat{n}}_{t} + α {\hat{k}}_{t - 1}

Cancellando l'identità di produzione di stato stazionario e prendendo i logaritmi si ottiene una relazione logaritmica esatta.

\overline{y} e^{{\hat{y}}_{t}} = \overline{c} e^{{\hat{c}}_{t}} + \overline{k} e^{{\hat{k}}_{t}} - (1 - δ) \overline{k} e^{{\hat{k}}_{t - 1}}

Si sviluppa ogni esponenziale al primo ordine e si sottrae l'identità delle risorse di stato stazionario:

\overline{y} {\hat{y}}_{t} = \overline{c} {\hat{c}}_{t} + \overline{k} {\hat{k}}_{t} - (1 - δ) \overline{k} {\hat{k}}_{t - 1}

A differenza dell'equazione Cobb–Douglas, questa relazione è un'approssimazione.

1 = β E_{t} [\frac{c_{t}}{c_{t + 1}} (α \frac{y_{t + 1}}{k_{t}} + 1 - δ)]

1 = E_{t} [β α \frac{\overline{y}}{\overline{k}} e^{{\hat{c}}_{t} - {\hat{c}}_{t + 1} + {\hat{y}}_{t + 1} - {\hat{k}}_{t}} + β (1 - δ) e^{{\hat{c}}_{t} - {\hat{c}}_{t + 1}}]

Si sviluppano entrambi gli esponenziali e si utilizza la condizione di Eulero di stato stazionario:

0 = E_{t} [β α \frac{\overline{y}}{\overline{k}} ({\hat{y}}_{t + 1} - {\hat{k}}_{t}) + {\hat{c}}_{t} - {\hat{c}}_{t + 1}]

Sistema di equazioni lineare

0 = E_{t} [β α \frac{\overline{y}}{\overline{k}} ({\hat{y}}_{t + 1} - {\hat{k}}_{t}) + {\hat{c}}_{t} - {\hat{c}}_{t + 1}]

0 = - {\hat{c}}_{t} + {\hat{y}}_{t} - {\hat{n}}_{t}

0 = - \overline{y} {\hat{y}}_{t} + \overline{c} {\hat{c}}_{t} + \overline{k} {\hat{k}}_{t} - (1 - δ) \overline{k} {\hat{k}}_{t - 1}

0 = - {\hat{y}}_{t} + {\hat{z}}_{t} + (1 - α) {\hat{n}}_{t} + α {\hat{k}}_{t - 1}

{\hat{z}}_{t} = ρ {\hat{z}}_{t - 1} + u_{t}

Sintesi

La calibrazione fissa parametri economicamente interpretabili; l'approssimazione del primo ordine traduce la dinamica non lineare in un sistema locale trattabile.

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