Le figure riprodotte dalle fonti conservano le etichette originali; le didascalie, le tabelle e le spiegazioni sono tradotte in italiano.
5. La famiglia rappresentativa e l'equilibrio concorrenziale
Introduzione
Nel blocco delle famiglie, un agente rappresentativo sceglie il consumo, l'investimento e il tempo dedicato al lavoro retribuito. Il tempo libero fornisce utilità diretta, ma rinunciare a un'ora di lavoro comporta il sacrificio di un salario che potrebbe finanziare il consumo. Il risparmio fornisce il capitale produttivo di domani, ma richiede di sottrarre risorse al consumo di oggi.
L'ottimizzazione dinamica genera due condizioni di equilibrio economicamente distinte. L'equazione di Eulero bilancia l'utilità marginale del consumo odierno con il beneficio atteso scontato dell'investimento e del consumo futuro. La condizione intratemporale del lavoro confronta l'utilità marginale del tempo libero con il salario misurato in unità di utilità.
L'ottimalità delle imprese, l'ottimalità delle famiglie, l'equilibrio dei mercati e il vincolo delle risorse dell'intera economia sono tutti necessari per l'equilibrio concorrenziale. Una condizione derivata per un solo agente non è sufficiente: tutti gli acquisti e le offerte desiderati dei fattori devono coincidere e la spesa aggregata non può superare la produzione.
Spiegazione teorica integrata
La famiglia rappresentativa parte da uno stock di capitale installato e da una dotazione temporale normalizzata a un'unità in ciascun periodo. Il tempo si divide tra lavoro nₜ e tempo libero ℓₜ, per cui nₜ + ℓₜ = 1. Lavorare più ore genera reddito salariale ma riduce il tempo libero; destinare una quota maggiore del prodotto corrente al consumo riduce le risorse che possono finanziare l'investimento. Le decisioni della famiglia combinano quindi un compromesso intratemporale tra consumo e tempo libero e un compromesso intertemporale tra consumo odierno e consumo futuro.
L'utilità nell'arco della vita assume la forma E₀Σβᵗu(cₜ,ℓₜ), dove β compreso tra zero e uno sconta l'utilità futura ed E₀ rappresenta le aspettative condizionate alle informazioni disponibili alla data iniziale. Una famiglia generale di preferenze tra consumo e tempo libero può essere specializzata nel consumo logaritmico e nell'utilità lineare del tempo libero, u(c,ℓ) = ln c + ϕℓ. In questa specificazione, l'utilità marginale del consumo è pari a 1/c e l'utilità marginale del tempo libero è la costante ϕ. La concavità rispetto al consumo rende preferibile un sentiero di consumo più uniforme rispetto ad ampie fluttuazioni con lo stesso livello medio.
La famiglia affronta un vincolo di bilancio che combina il monte salari, il reddito da remunerazione del capitale installato, i profitti distribuiti e il capitale non deprezzato. Scrivere il capitale produttivo del periodo successivo dal lato degli impieghi, cₜ + kₜ = wₜnₜ + rₜkₜ₋₁ + πₜ + (1 − δ)kₜ₋₁, esprime l'utilizzo di tutte le risorse disponibili quando l'ottimo è interno. Ciò equivale a contabilizzare separatamente l'investimento mediante kₜ = (1 − δ)kₜ₋₁ + iₜ. Il tasso di deprezzamento δ misura la frazione di capitale preesistente fisicamente perduta tra un periodo e l'altro.
L'equazione di Eulero è la condizione del risparmio ottimale. Sacrificare un'unità di consumo nel periodo t comporta la rinuncia all'utilità marginale corrente 1/cₜ, ma aumenta il capitale disponibile nel periodo successivo. Tale capitale produce un reddito da remunerazione rₜ₊₁ e conserva la frazione non deprezzata 1 − δ. Il rendimento futuro atteso deve quindi essere scontato e ponderato per l'utilità marginale a t+1. In un ottimo interno, 1/cₜ = βEₜ[(rₜ₊₁ + 1 − δ)/cₜ₊₁]. Se il rendimento atteso aumenta, le famiglie hanno generalmente un incentivo a risparmiare di più, sebbene la risposta complessiva dipenda anche dalla ricchezza e dalle aspettative sui redditi futuri.
La condizione del primo ordine intratemporale confronta l'utilità perduta per la riduzione del tempo libero con l'utilità ottenuta dal consumo finanziato dal salario. Con la funzione di utilità specificata, ϕ = wₜ/cₜ, o equivalentemente ϕcₜ = wₜ. Combinando questa relazione con la domanda concorrenziale di lavoro si ottiene ϕcₜ = (1 − α)yₜ/nₜ. L'equazione non afferma che le famiglie offrano un numero fisso di ore: rende l'offerta di lavoro congiuntamente dipendente dal consumo, dalla produttività e dal salario di equilibrio. Una variazione della produttività del lavoro modifica il costo opportunità salariale del tempo libero e quindi l'allocazione desiderata del tempo.
La stabilizzazione del consumo e l'aggiustamento del lavoro interagiscono dopo uno shock tecnologico. Una produttività corrente più elevata fornisce più beni e aumenta il rendimento potenziale del capitale. Le famiglie lungimiranti non devono necessariamente consumare subito tutta la produzione aggiuntiva: risparmiarne una parte sostiene il consumo nei periodi successivi, quando lo shock tecnologico si sarà attenuato. Allo stesso tempo, salari reali più elevati modificano l'attrattiva relativa del tempo libero e del lavoro. Un equilibrio coerente determina entrambi i margini congiuntamente; non si può dedurre la risposta del lavoro dalla sola equazione del prodotto marginale dell'impresa né quella del consumo dalla sola identità di bilancio.
Un equilibrio concorrenziale è una sequenza di allocazioni, prezzi dei fattori e aspettative per la quale le famiglie massimizzano l'utilità sotto i propri vincoli, le imprese massimizzano i profitti, i mercati sono in equilibrio, il capitale segue la propria legge di accumulazione e la produttività segue il proprio processo esogeno. Nel riferimento di economia chiusa, il mercato dei beni richiede yₜ = cₜ + iₜ. I mercati dei servizi del capitale e del lavoro uguagliano l'offerta delle famiglie alla domanda delle imprese. Sostituendo le equazioni dei prezzi concorrenziali dei fattori nelle condizioni di ottimalità delle famiglie, il modello si riduce a un insieme compatto di equazioni dinamiche per y, c, n, k e z, punto di partenza per la calibrazione e la soluzione.
Quadro formale e relazioni essenziali
L'utilità della famiglia è specializzata nel consumo logaritmico e nel tempo libero lineare. Il fattore di sconto β determina il peso dell'utilità futura; ϕ governa l'utilità marginale del tempo libero. Ogni dotazione temporale è normalizzata a uno.
Il consumo più l'investimento nel capitale produttivo del periodo successivo sono finanziati dai salari, dai redditi da remunerazione del capitale, dai profitti e dal capitale preesistente non deprezzato.
Equazione di Eulero/Lucas per la determinazione del prezzo delle attività. Investire un'unità di risorse sacrifica oggi 1/cₜ unità di utilità marginale e genera domani un rendimento lordo aleatorio. L'uguaglianza caratterizza un ottimo interno.
Nell'ottimo intratemporale, la disutilità marginale del tempo di lavoro aggiuntivo bilancia il salario reale valutato all'utilità marginale del consumo; la seconda uguaglianza assicura l'equilibrio del mercato del lavoro.
Nell'economia chiusa di riferimento, priva di spesa pubblica e di scambi con l'estero, tutto il prodotto è destinato al consumo o all'investimento lordo. Combinando questa identità con l'accumulazione di capitale si ottiene il vincolo aggregato delle risorse.
Spiegazioni, derivazioni e applicazioni empiriche
Dotazioni
L'ottimizzazione delle famiglie alloca le risorse tra consumo, risparmio e tempo libero. L'equazione di Eulero e la condizione tra lavoro e tempo libero sono vincoli necessari che devono valere simultaneamente con l'equilibrio dei mercati e un'allocazione fattibile delle risorse.
Le famiglie entrano nel primo periodo con capitale produttivo installato e ricevono un'unità di tempo in ciascun periodo. Dividono il tempo tra ore lavorate e tempo libero, imponendo 1 = nₜ + ℓₜ. Il lavoro produce reddito salariale, mentre il tempo libero genera soddisfazione diretta ma nessuna produzione. Lo stock di capitale ereditato genera redditi da remunerazione e fornisce una variabile di stato che collega le scelte passate di investimento alle opportunità correnti di consumo.
Preferenze
La funzione delle preferenze deve rendere desiderabili il consumo e il tempo libero e soddisfare vincoli di concavità. Per la forma non logaritmica, i vincoli su v e sulle sue derivate dipendono da σ; le sole condizioni sul segno marginale non dimostrano la concavità congiunta. Il modello di riferimento si specializza in:
Perché questa funzione di utilità?
Le preferenze compatibili con la crescita bilanciata impongono vincoli al modo in cui il consumo e il tempo libero entrano nell'utilità. Il consumo logaritmico con tempo libero separabile è un caso particolare utile: consente al consumo e ai salari reali di crescere mentre le ore lavorate rimangono stazionarie, in presenza di adeguate condizioni tecnologiche e di equilibrio. Appartiene a una famiglia più ampia di preferenze e non è l'unica funzione di utilità possibile.
Aspettative razionali
Le aspettative razionali significano che le decisioni si basano sulla distribuzione di probabilità condizionata implicata dal modello e su tutte le informazioni disponibili alla data della decisione. Non implicano che gli agenti conoscano le innovazioni future. Le aspettative sono invece matematicamente coerenti con il processo tecnologico, i prezzi di equilibrio e le regole decisionali specificati per l'economia. Questo requisito è indispensabile per interpretare l'equazione di Eulero in un ambiente stocastico.
Il problema di ottimizzazione della famiglia
La famiglia prende come dato il capitale iniziale. La fattibilità, la non negatività e un'appropriata condizione di trasversalità completano le condizioni del primo ordine per un ottimo interno.
Condizione del primo ordine per il capitale
Il capitale scelto a t compare come costo a t e genera un reddito da remunerazione più una quota residua non deprezzata a t+1. Derivando entrambe le occorrenze si ottiene:
Quando viene valutato il rendimento futuro, sono disponibili soltanto le informazioni correnti.
Offerta ottimale di capitale
La scelta del capitale del periodo successivo uguaglia il costo in termini di utilità del sacrificio del consumo odierno al valore atteso scontato, in termini di utilità, del rendimento lordo di domani. Tale rendimento comprende la remunerazione del capitale e la parte non deprezzata dell'attività. Con utilità logaritmica del consumo, l'equazione di Eulero risultante può essere espressa come 1/cₜ = βEₜ[(rₜ₊₁ + 1 − δ)/cₜ₊₁].
Ottimizzazione della famiglia: intuizione
Il costo in utilità marginale del minore consumo corrente è uguale al beneficio atteso scontato, in termini di utilità, dei rendimenti futuri del capitale. La remunerazione futura dipende dalla realizzazione futura della tecnologia e dall'allocazione:
Se il beneficio atteso scontato del risparmio in termini di utilità marginale supera il suo costo corrente in utilità, la famiglia può aumentare l'utilità investendo di più. Se la disuguaglianza è invertita, può aumentare l'utilità consumando di più oggi. Un ottimo interno uguaglia i due membri della condizione di Eulero.
Astraendo per un momento dalle aspettative, possiamo ricavare un'ulteriore intuizione.
In un ambiente deterministico, l'ottimalità intertemporale uguaglia la disponibilità a scambiare consumo corrente con consumo futuro al rendimento lordo realizzabile:
Il membro di sinistra è il saggio marginale di sostituzione intertemporale; quello di destra è il saggio marginale di trasformazione. In condizioni di incertezza, l'equazione di Eulero utilizza il rendimento atteso condizionato ponderato per l'utilità.
Stabilizzazione del consumo: intuizione
La stabilizzazione deriva dall'utilità concava, non da una regola secondo cui il consumo debba rimanere letteralmente costante. Incrementi attesi delle risorse nell'arco della vita possono aumentare immediatamente il consumo, mentre lo stock di capitale assorbe gran parte della variazione del risparmio nel breve periodo.
La concavità genera una preferenza per un consumo più uniforme, condizionatamente alle risorse nell'arco della vita, ai prezzi relativi, all'incertezza e alle possibilità di indebitamento. Non richiede che il consumo sia costante.
Una realizzazione favorevole della produttività, con zₜ superiore al livello di riferimento pari a uno, aumenta il prodotto a parità di input. Se il lavoro non diminuisce abbastanza da compensare tale effetto, il prodotto aggiuntivo deve essere assorbito dal consumo, dall'investimento o da entrambi.
Poiché desiderano stabilizzare il consumo, gli agenti vogliono distribuire l'aumento del prodotto su più periodi. In altri termini, non vogliono consumare l'intero incremento ∆ct < ∆yt; pertanto desiderano investire una parte del prodotto aggiuntivo ∆it > 0, poiché l'investimento rinvia il consumo al futuro.
Stabilizzazione del consumo: propagazione
Una risposta all'impulso è un esperimento mentale controllato, non una previsione storica. L'unico nuovo shock si manifesta all'inizio; le risposte successive riflettono la propagazione interna del modello. Il capitale è predeterminato all'inizio del periodo, mentre occupazione e consumo possono aggiustarsi contemporaneamente. La simulazione ripete questo meccanismo per molti shock casuali, generando i momenti statistici implicati dal modello.
1 Uno shock tecnologico positivo aumenta il prodotto ∆yt; 2 a causa del desiderio di stabilizzare il consumo, l'investimento aumenta ∆it > 0; 3 ciò aumenta lo stock di capitale di domani ∆kt = ∆it; 4 e quindi aumenta il prodotto futuro; 5 si ritorna al punto 1).
Ma non abbiamo dimostrato che il lavoro nt reagisca in modo tale da far effettivamente aumentare il prodotto in risposta a uno shock tecnologico positivo, anche se di solito accade.
Offerta ottimale di lavoro
La condizione tra consumo e tempo libero traduce un compromesso tra preferenze in un'equazione di mercato. Con consumo logaritmico e tempo libero lineare, essa diventa ϕcₜ = wₜ, che deve essere risolta congiuntamente al prodotto marginale del lavoro dell'impresa.
Lavorare un'unità di tempo aggiuntiva riduce il tempo libero di un'unità e aumenta il consumo disponibile della famiglia di un importo pari al salario reale. Con utilità ln c + ϕℓ, la perdita di utilità marginale dovuta al minore tempo libero è ϕ e il guadagno di consumo ha valore in utilità w/c. L'ottimo intratemporale soddisfa quindi ϕcₜ = wₜ. L'equilibrio del mercato sostituisce poi wₜ con il prodotto marginale del lavoro.
Ottimizzazione della famiglia: intuizione
Lavorare un'unità di tempo aggiuntiva comporta uno scambio tra tempo libero perduto e consumo finanziato dal salario. In un ottimo interno:
Se ul (ct, lt) < uc (ct, lt) · wt, il guadagno di utilità derivante dal consumo aggiuntivo finanziato lavorando di più è maggiore della perdita di utilità del tempo libero sacrificato. Pertanto, la famiglia può aumentare il proprio livello di utilità lavorando di più e consumando il reddito aggiuntivo.
Se invece ul (ct, lt) > uc (ct, lt) · wt, il guadagno di utilità del tempo libero aggiuntivo è maggiore della perdita di utilità del consumo sacrificato che sarebbe stato finanziato lavorando di più. Pertanto, la famiglia può aumentare il proprio livello di utilità lavorando meno e godendo di più tempo libero. Finché l'uguaglianza non vale, la famiglia può quindi aumentare il proprio benessere modificando la scelta tra lavoro e tempo libero.
Il saggio marginale di sostituzione tra tempo libero e consumo è uguale al salario reale, ossia al saggio marginale di trasformazione di mercato tra i due.
Offerta di lavoro: propagazione
Un salario più elevato produce effetti contrapposti sull'offerta di lavoro. L'effetto di sostituzione rende il tempo libero più costoso e incoraggia il lavoro; l'effetto di reddito rende la famiglia più ricca e può aumentare il tempo libero desiderato. Il loro bilanciamento dipende dalle preferenze, dalla persistenza e dai prezzi di equilibrio. Nella calibrazione di riferimento, le ore lavorate aumentano dopo un'innovazione tecnologica positiva.
Se le famiglie rispondono a wt ↑ con più lavoro nt ↑, l'effetto degli shock tecnologici aumenta: il prodotto cresce più di quanto farebbe per il solo shock tecnologico (amplificazione). Questo aumento del prodotto viene consumato solo parzialmente: l'investimento aumenta e così via, secondo il meccanismo derivante dal desiderio di stabilizzare il consumo.
Equilibrio dei mercati
I mercati dei beni, del lavoro e del capitale devono essere simultaneamente in equilibrio. La produzione totale è assorbita dal consumo e dall'investimento, il lavoro offerto è uguale al lavoro impiegato e lo stock di capitale preso a noleggio dalle imprese coincide con quello posseduto dalle famiglie. Quando i profitti delle imprese vengono distribuiti ai proprietari, i bilanci delle famiglie sono coerenti con l'identità aggregata delle risorse. Questi vincoli trasformano le decisioni ottimali individuali in un equilibrio concorrenziale.
Equilibrio
Un equilibrio è una situazione in cui (A) le famiglie massimizzano, (B) le imprese massimizzano, (C) i mercati sono in equilibrio, (D) le famiglie formano aspettative razionali.
Equilibrio dei mercati I: mercato del lavoro
Equilibrio dei mercati II: mercato del capitale
Vincolo delle risorse
Con rendimenti costanti e prezzi concorrenziali, i profitti sono nulli e le remunerazioni dei fattori esauriscono la produzione. Le preferenze monotone fanno sì che il vincolo delle risorse della famiglia sia soddisfatto con uguaglianza nell'equilibrio.
Sintesi
Il sistema di equilibrio non lineare comprende la condizione di Eulero, la condizione del mercato del lavoro, il vincolo delle risorse, la funzione di produzione e il processo tecnologico:
Sintesi
Le decisioni di consumo, risparmio e lavoro derivano dall'ottimalità delle famiglie. L'equilibrio richiede che siano soddisfatte congiuntamente la condizione di Eulero, la condizione del lavoro, quella di produzione e quella delle risorse.