Teoria e politica dei cicli economici

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Le figure riprodotte dalle fonti conservano le etichette originali; le didascalie, le tabelle e le spiegazioni sono tradotte in italiano.

Appendice A. Notazione e riferimenti matematici

Questa tabella raccoglie la notazione utilizzata nello schema RBC. I pedici temporali si riferiscono al periodo; una barra indica lo stato stazionario deterministico e un accento circonflesso indica la deviazione logaritmica associata.

Simbolo	Significato
Y, y	Prodotto interno lordo / prodotto reale aggregato
C, c	Consumo
I, i	Investimento lordo
G	Spesa pubblica (nel modello contabile introduttivo)
X, IM, Z	X indica le esportazioni; IM o Z indica le importazioni nei confronti di contabilità nazionale. Nei diagrammi della croce keynesiana, Z indica invece la spesa aggregata programmata; la definizione locale identifica il significato inteso.
kₜ₋₁	Capitale produttivo predeterminato disponibile nel periodo t
nₜ, lₜ	Ore lavorate e tempo libero (nₜ + lₜ = 1)
zₜ	Produttività stocastica / produttività totale dei fattori nel modello RBC
wₜ, rₜ	Salario reale e tasso concorrenziale di remunerazione del capitale
πₜ	Profitti dell'impresa distribuiti alla famiglia
α, θ	Elasticità del capitale / quota del reddito del fattore capitale nella produzione Cobb–Douglas
β	Fattore di sconto della famiglia, 0 < β < 1
δ	Tasso di deprezzamento del capitale
ϕ	Peso della preferenza per il tempo libero nella funzione di utilità specializzata
ρ	Persistenza del processo del logaritmo della produttività
uₜ	Innovazione tecnologica di un periodo
Eₜ	Aspettativa condizionata alle informazioni disponibili alla data t
σ, σᵤ	Deviazione standard delle innovazioni tecnologiche nella calibrazione; in precedenza σ è utilizzato anche per la curvatura dell'utilità
x̄	Livello di stato stazionario
x̂ₜ	Deviazione logaritmica ln(xₜ/x̄)

Principali equazioni di equilibrio

Produzione

y_{t} = z_{t} n_{t}^{1 - α} k_{t - 1}^{α}

Un valore più elevato di z aumenta il prodotto a parità di input; le elasticità degli input sommano a uno.

Dinamica della produttività

ln z_{t} = ρ ln z_{t - 1} + u_{t}

ρ sintetizza la propagazione attraverso il processo tecnologico esogeno.

Accumulazione di capitale

k_{t} = (1 - δ) k_{t - 1} + i_{t}

L'investimento installato oggi rende disponibile capitale nel periodo produttivo successivo.

Relazione salariale

w_{t} = (1 - α) \frac{y_{t}}{n_{t}}

Il prodotto marginale del lavoro è uguale al salario reale.

Relazione della remunerazione del capitale

r_{t} = α \frac{y_{t}}{k_{t - 1}}

Il prodotto marginale del capitale predeterminato è uguale al suo prezzo di noleggio.

Dotazione temporale

1 = n_{t} + l_{t}

Più lavoro riduce il tempo libero, a dotazione invariata.

Equazione di Eulero

1 = β 𝔼_{t} [{(\frac{c_{t + 1}}{c_{t}})}^{- 1} (r_{t + 1} + 1 - δ)]

Il rendimento stocastico entra nell'opportunità di consumo di domani ponderata per l'utilità.

Ottimalità del lavoro

ϕ c_{t} = w_{t}

Con consumo logaritmico e tempo libero lineare, il lavoro viene scelto uguagliando il suo costo opportunità in utilità al beneficio salariale.

Vincolo delle risorse

y_{t} = c_{t} + k_{t} - (1 - δ) k_{t - 1}

Il prodotto dell'economia chiusa è ripartito tra consumo e investimento lordo.

Rendimento del capitale di stato stazionario

α \frac{\overline{y}}{\overline{k}} = \frac{1}{β} - 1 + δ

La condizione di Eulero di stato stazionario determina il tasso di remunerazione del capitale. Il rendimento lordo del risparmio aggiunge il capitale non deprezzato: r̄ + 1 − δ = 1/β.

Investimento di stato stazionario

\overline{i} = δ \overline{k}

L'investimento di sostituzione compensa esattamente il deprezzamento.

Deviazione logaritmica

{\hat{x}}_{t} = ln x_{t} - ln \overline{x}

Una deviazione logaritmica, quando è piccola, è approssimativamente una differenza proporzionale; moltiplicandola per 100 la si esprime in percentuale.

Produzione linearizzata

{\hat{y}}_{t} = {\hat{z}}_{t} + (1 - α) {\hat{n}}_{t} + α {\hat{k}}_{t - 1}

Un'identità Cobb–Douglas log-lineare è esattamente additiva nelle variabili logaritmiche.

Equazione del lavoro linearizzata

{\hat{c}}_{t} = {\hat{y}}_{t} - {\hat{n}}_{t}

La condizione di equilibrio linearizzata dopo la cancellazione dei livelli di stato stazionario.

Condizione delle risorse linearizzata

\overline{y} {\hat{y}}_{t} = \overline{c} {\hat{c}}_{t} + \overline{k} {\hat{k}}_{t} - (1 - δ) \overline{k} {\hat{k}}_{t - 1}

I pesi di stato stazionario sono necessari quando si sommano deviazioni di quantità diverse.

Soluzione ricorsiva

{\hat{k}}_{t} = λ_{k k} {\hat{k}}_{t - 1} + λ_{k z} {\hat{z}}_{t}

La regola decisionale separa le risposte ai due stati di inizio periodo.

Controlli di coerenza delle equazioni

L'equazione di Eulero della famiglia utilizza il rendimento lordo rₜ₊₁ + 1 − δ, non il solo tasso di remunerazione del capitale rₜ₊₁.
Nel periodo t, la produzione utilizza kₜ₋₁ e non kₜ. Il capitale kₜ viene scelto mediante le decisioni di investimento a t e utilizzato nella produzione a t+1.
Il coefficiente del lavoro è 1−α nella funzione di produzione Cobb–Douglas senza crescita. Le quote dei fattori sommano a uno in presenza di concorrenza perfetta e rendimenti di scala costanti.
La log-linearizzazione del primo ordine è un'approssimazione percentuale locale. Non si devono mai combinare equazioni in livelli logaritmici con pesi delle risorse in livelli senza eseguire esplicitamente l'approssimazione.
I momenti empirici del ciclo economico sono stime associate a uno specifico campione e a una specifica trasformazione dei dati, non costanti universali che debbano valere per ogni paese o periodo.

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