Rendite finanziarie

Definizioni e osservazioni introduttive

Consideriamo una particolare operazione finanziaria che consiste nello scambio di un unico importo contro la corresponsione di un insieme di pagamenti esigibili a scadenze prefissate. Chiamiamo rendita questo insieme finito o infinito di pagamenti e rata l’ammontare di ciascun pagamento. Si definisce:

• periodo (o intervallo di pagamento), l’intervallo di tempo, generalmente costante, fra due rate consecutive;
• durata, l’intervallo di tempo fra l’inizio del primo periodo e la fine dell’ultimo periodo.

Classificazione delle rendite

Le rendite si classificano in:

• anticipate se il pagamento avviene all’inizio di ogni periodo;
• posticipate se il pagamento avviene alla fine di ogni periodo;
• continue se l’ampiezza del periodo tende ad annullarsi;
• aleatorie se il pagamento delle rate avviene subordinatamente al verificarsi di eventi aleatori;
• certe se il pagamento delle singole rate avviene con certezza e non dipende dal verificarsi di eventi aleatori;
• costanti se gli importi delle rate non cambiano nel tempo;
• variabili se le rate non sono costanti;
• temporanee se la durata della rendita è finita;
• perpetue se la durata della rendita è infinita;
• immediate se il primo pagamento avviene all’inizio o alla fine del primo periodo, rispettivamente se la rendita è anticipata o posticipata;

• differite se il primo pagamento è successivo al primo periodo.

Valore attuale di una rendita

$$V_{t_0}=\sum_{k=1}^{n}R_k(1+i)^{-(t_k-t_0)}.$$

Indichiamo con 𝑅1,𝑅2,…, 𝑅𝑛 le rate, per il momento supposte in numero finito, e con 𝑡1,𝑡2, …,𝑡𝑛 le corrispondenti scadenze.

Il valore attuale della rendita, calcolato all’ epoca 𝑡0 ≤𝑡1 in regime di interesse composto al tasso di interesse i, è la somma dei valori attuali di tutte le rate

Montante di una rendita

$$M_T=\sum_{k=1}^{n}R_k(1+i)^{T-t_k}.$$

Il montante all’epoca 𝑇≥𝑡𝑛 è dato dalla somma dei montanti finali di tutte le rate

Valore di una rendita a un’epoca generica

Si consideri ora il calcolo del valore della rendita in un’epoca t qualsiasi. Il valore 𝑉𝑡 può essere calcolato direttamente, capitalizzando o attualizzando tutte le rate all’epoca t. All’istante generico t vi è una combinazione di capitalizzazione per le rate già pagate e attualizzazione per le rate che devono ancora essere pagate. Per esempio all’epoca 𝑡1 la rata è già stata pagata, l’istante t > 𝑡1 quindi nella sottrazione t- 𝑡1 avremo segno positivo +, quindi vi sarà capitalizzazione quindi moltiplico. Al contrario all’istante 𝑡𝑛−1 la rata deve ancora essere pagata, l’istante 𝑡𝑛−1 > 𝑡, quindi nella sottrazione 𝑡− 𝑡𝑛−1 avremo segno negativo -, quindi vi sarà attualizzazione quindi divido.

In alternativa 𝑉𝑡 può essere calcolato attualizzando prima tutte le rate all’epoca 𝑡0 e poi capitalizzando la somma dei loro valori attuali fino all’epoca t.

Analogamente se si conosce 𝑉𝑡 si trova

Serie Geometrica: calcolo valore presente di una rendita unitaria:

Serie geometrica: calcolo montante di una rendita unitaria

Il montante per rendite perpetue non può essere definito:

Rendite certe a rate costanti

Consideriamo una rendita di rata costante R e durata n periodi, caratterizzata da n pagamenti esigibili alla fine di ciascun periodo. Si supponga di utilizzare come unità di misura del tempo il periodo di pagamento della rendita (l’anno se la rendita è annua, il mese se si tratta di una rendita mensile e così via).

• Per l’omogeneità d’importo possiamo limitarci a calcolare il valore attuale o il montante di una rendita a rata costante unitaria

Rendite posticipate

$$a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},\qquad s_{\overline{n}|i}=\frac{(1+i)^n-1}{i}.$$

Una rendita immediata posticipata annua di durata n è una rendita r. Si indichi con i il tasso di interesse relativo al periodo di pagamento della rendita, supposto costante per tutta la durata dell’operazione. Il valore attuale di tale rendita posticipata all’epoca 𝑡= 0 è la somma dei valori attuali dei pagamenti

La quantità entro parentesi quadra esprime il valore attuale di una rendita annua unitaria, posticipata, immediata e temporanea ed è indicata con il simbolo che si legge “a figurato n al tasso i”, con n pari al numero di tasse che ricevo. Con l’introduzione di tale simbolo la relazione può essere scritta:

Per il calcolo del simbolo “a figurato n al tasso i” (9)

Rendita (immediata) posticipata di durata n ➔ Per calcolare il montante le rate saranno capitalizzate. La prima è capitalizzata per n-1 anni, la seconda per n-2 anni, …, l’ultima è pagata nell’istante scelto per il calcolo del valore del capitale: 𝑆= 𝑅× (1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝑅× (1 + 𝑖)𝑛−2 + ⋯+ 𝑅× (1 + 𝑖) + 𝑅

La lettera S per convenzione indica che si tratta di un montante. Ricordiamo che il fattore di capitalizzazione è 𝑟 = (1 + 𝑖)𝑡. Se consideriamo il montante di una rendita di rata R=1:

Si tratta della somma di n termini in progressione geometrica di ragione (1+i) che ha come primo termine uno:

rappresenta la formula compatta del montante di una rendita unitaria, tale simbolo si legge “s figurato n al tasso i”. Il montante della rendita a rata costante sarà quindi:

Rendite perpetue posticipate

$$a_{\overline{\infty}|i}=\frac{1}{i}.$$

Calcolando nella relazione (9) il limite per 𝑛→∞ ottiene il valore attuale di una rendita unitaria, immediata, posticipata e perpetua

Tale relazione è giustificata dal fatto che il versamento di un importo pari a 1/𝑖 consente di riscuotere alla fine di ogni periodo un interesse di un euro (𝑖 · 1/𝑖).

Rendite anticipate

$$\ddot a_{\overline{n}|i}=(1+i)a_{\overline{n}|i},\qquad \ddot s_{\overline{n}|i}=(1+i)s_{\overline{n}|i}.$$

Consideriamo ora una rendita con n rate costanti di importo R con pagamenti anticipati all’inizio di ciascun periodo: Con le rendite anticipate il pagamento iniziale è al tempo zero e quello finale al tempo 𝑛−1

Valutandola secondo la legge esponenziale al tasso i, il suo valore attuale è la somma dei valori attuali al tempo 𝑡0. La rendita unitaria immediata anticipata è:

Si legge “a anticipato figurato n al tasso i”, il valore attuale della rendita temporanea è:

Il montante di una rendita anticipata è la somma dei montanti di ciascuna rata al tempo 𝑡𝑛. Definiamo ora la formula compatta del montante della rendita unitaria anticipata:

Il montante della rendita temporanea immediata anticipata è:

Rendite differite

$$\,{}_{m|}a_{\overline{n}|i}=v^m a_{\overline{n}|i},\qquad v=(1+i)^{-1}.$$

Può capitare che l’inizio della rendita, inteso come il tempo 𝑡0, in cui viene pagata la prima rata, sia differito di t anni. In tal caso il calcolo del valore attuale secondo una legge di capitalizzazione assegnata è molto semplice: basta scontare secondo un fattore 𝑣𝑡 il valore attuale della rendita immediata corrispondente a quella data. Riepiloghiamo ora le rendite già viste, nell’ipotesi di un differimento di t anni dalla prima rata:

1. Rendita temporanea differita posticipata.

Il suo valore attuale è si legge “a figurato n al tasso i differito t” quest’ultima esprime che una rendita di durata n differita di t anni, equivale ad una rendita immediata di durata 𝑡+ 𝑛 privata dalle prime t rate (che equivalgono ad una rendita immediata di durata t). b) Rendita temporanea differita anticipata

Il valore attuale è:

si legge “a anticipato, figurato n al tasso i differito t”.

Valore attuale, duration e montante

Rendite frazionate

Una rendita si dice frazionata quando nell’arco di un periodo unitario (anno) sono esigibili k rate. Limitiamo le nostre considerazioni al caso di 𝑛𝑘 rate equintervallate, posticipate e di importo costante 1/k. Se è assegnato il tasso di interesse 𝑖𝑘 relativo a 1/k-simo di anno, cioè proprio alla frazione d’anno considerata, il valore attuale di tale rendita è:

Da tale relazione discende che:

Il rapporto 𝑖

𝑗𝑘 è noto come fattore di correzione. Poiché i ≥𝑗𝑘 si ha

In maniera del tutto analoga si può calcolare il montante finale. Il valore attuale, considerando la nuova scala temporale, è:

Si può anche esprimere il valore attuale della rendita frazionata mediante l’uso dei valori della corrispondente rendita annua:

Il valore attuale di una rendita frazionata di rata annua unitaria è:

Analogamente possiamo pervenire al calcolo del montante:

La formula del montante di una rendita unitaria frazionata in m-esimi di anno (esprimendo il tempo in anni) è:

Il montante di una rendita a rata costante è:

Problemi tipici sulle rendite

Tutte le formule ricavate precedentemente sono state impostate in modo da fornire montante o valore attuale di una rendita caratterizzata secondo la legge esponenziale, il tasso d’interesse, la durata e la rata. Queste formule possono essere utilizzate in senso generale; note tre delle quattro grandezze in questione, si può ricavare la quarta. Se per esempio prendiamo in considerazione

Questa formula ci fornisce il valore attuale della rendita A noti R, n ed i. ma se noi conoscessimo A, n ed i potremo ricavare il valore della rata R

Ricerca della durata Il calcolo di n in funzione di A, i e R non presenta grosse difficoltà:

Abbiamo moltiplicato primo e secondo membro per i, si nota subito che la nostra incognita si trova all’esponente. È necessario ricorrere ai logaritmi per esplicitare n, il passaggio successivo sarà perciò:

Ricerca del numero massimo di prelievi Un altro problema di natura pratica connesso con l’operazione di rendita è quello di ricercare il numero massimo di prelievi di uguale importo P che si possono effettuare prima di esaurire un deposito iniziale S, investito all’inizio del primo periodo al tasso di interesse i. ➥ Quindi si ha

Il numero massimo di prelievi 𝑛∗ che è possibile effettuare è pertanto:

dove ⌊𝑥⌋ indica la parte intera del numero reale x, cioè il più grande intero minore o uguale di x. Si osservi che, salvo casi particolari, dopo aver effettuato l’ultimo prelievo rimarrà a disposizione una certa somma di denaro che rappresenta la differenza fra il montante della somma depositata e il montante dei prelievi. Si osservi, inoltre, che se 𝑷≤𝑺𝒊 il deposito non si esaurirà mai; in tal caso, infatti, il prelievo è non superiore all’interesse maturato e pertanto l’ammontare del deposito non scende mai al di sotto del capitale inizialmente versato. Andamento nel tempo del montante di un deposito di importo S con prelievo periodico di ammontare 𝑆𝑖

Ricerca del numero minimo di versamenti A volte sorge il problema di ricercare il numero minimo di versamenti di importo costante R da effettuare per costituire un prefissato montante finale M; ➥ si pensi ad esempio al problema di costituire un capitale necessario per l’acquisto di un’abitazione. Indichiamo con i il tasso di interesse periodale corrisposto sul deposito in cui i versamenti vengono fatti confluire e con n il numero di versamenti. Supponiamo inoltre che i versamenti siano posticipati. La condizione da soddisfare è: con alcuni passaggi si trova:

Il numero minimo di versamenti 𝑛∗ che consente di accumulare un importo non inferiore a M è quindi:

dove ⌈𝑥⌉ indica in più piccolo intero maggiore o uguale di x.