Economia industriale.

Teoria dei giochi ed equilibrio di Nash

In un oligopolio le imprese non prendono soltanto decisioni sul mercato: prendono decisioni tenendo conto delle decisioni altrui. Un gioco specifica i giocatori, le azioni disponibili, l’ordine delle mosse, le informazioni e i risultati economici, chiamati payoff. La strategia descrive cosa fare; in un gioco sequenziale deve indicare anche la risposta alle situazioni che potrebbero verificarsi.

Un equilibrio di Nash è un insieme di strategie tali che nessun giocatore possa migliorare il proprio risultato modificando unilateralmente la propria scelta, ferme quelle degli altri. Non richiede che i giocatori siano soddisfatti del risultato, né che il profitto congiunto sia massimo. Può esistere un esito migliore per entrambi che nessuno abbia incentivo a rispettare unilateralmente.

La funzione di reazione associa a ogni scelta dei concorrenti la risposta che massimizza il proprio profitto. In un modello simultaneo, l’equilibrio si ottiene rendendo queste risposte reciprocamente coerenti. In un gioco sequenziale si usa l’induzione a ritroso: si risolve prima l’ultima decisione e poi la scelta iniziale che la anticipa. L’equilibrio perfetto nei sottogiochi richiede ottimalità anche nelle continuazioni che non vengono effettivamente raggiunte.

Cournot: competizione simultanea sulle quantità

Nel modello di Cournot ogni impresa sceglie la quantità considerando come date le quantità altrui. Il prezzo viene determinato dalla domanda complessiva. Con $P = a - bQ$, $Q = q_{i} + Q_{- i}$ e costo marginale $c_{i}$, il profitto è $\pi_{i} = \lbrack a - b\left( q_{i} + Q_{- i} \right) - c_{i}\rbrack q_{i} - F_{i}$. La derivata rispetto a $q_{i}$ è $a - c_{i} - 2bq_{i} - bQ_{- i}$, da cui:

$$BR_{i}\left( Q_{- i} \right) = max(0,\frac{a - c_{i} - bQ_{- i}}{2b}).$$

La pendenza negativa indica che le quantità sono sostituti strategici: se gli altri producono di più, la risposta ottima dell’impresa è produrre meno. Questa relazione riguarda la risposta ottima, non semplicemente il segno dell’effetto di una quantità sul profitto.

Con $n$ imprese simmetriche, costo marginale $c$ e tutte attive, la simmetria impone $q_{i} = q$ e $Q_{- i} = (n - 1)q$. Si ottiene:

$$q_{i}^{C} = \frac{a - c}{b(n + 1)},\quad\quad Q^{C} = \frac{n(a - c)}{b(n + 1)},\quad\quad P^{C} = \frac{a + nc}{n + 1}.$$

Il profitto operativo individuale è $(a - c)^{2}/\lbrack b(n + 1)^{2}\rbrack$. Aumentando $n$, la quantità totale cresce e il prezzo si avvicina al costo marginale. Il risultato non significa che il numero delle imprese possa aumentare senza limiti: con costi fissi, l’entrata dipende dalla copertura di tali costi e dalle aspettative sul profitto successivo.

Cournot, concentrazione e margini

Per una domanda inversa generica, la condizione di Cournot è $P(Q) + q_{i}P'(Q) = MC_{i}$. Poiché l’elasticità assoluta della domanda di mercato è $\varepsilon = - P/\lbrack QP'(Q)\rbrack$, si ricava:

$$L_{i} = \frac{P - MC_{i}}{P} = \frac{s_{i}}{\varepsilon}.$$

Ponderando i margini per le quote di produzione si ottiene $\overline{L} = \sum_{i}^{}s_{i}L_{i} = H/\varepsilon$. Questa relazione collega concentrazione e margine medio ponderato, non direttamente concentrazione e rendimento contabile del capitale. Vale sotto le ipotesi di Cournot: non è un’identità applicabile a qualsiasi settore.

Esempio guidato: tre imprese con costi differenti

La domanda è $P = 140 - Q$. I costi marginali sono $20 - x$, 20 e $20 + x$, con $x \geq 0$. Per mantenere tutti i costi non negativi consideriamo $0 \leq x \leq 20$. Le condizioni del primo ordine formano il sistema:

$$\begin{matrix} 2q_{1} + q_{2} + q_{3} = 120 + x, \\ q_{1} + 2q_{2} + q_{3} = 120, \\ q_{1} + q_{2} + 2q_{3} = 120 - x. \end{matrix}$$

Sommando, $4Q = 360$: dunque $Q = 90$ e $P = 50$. Sottraendo la quantità totale dalle singole equazioni si trovano $q_{1} = 30 + x$, $q_{2} = 30$ e $q_{3} = 30 - x$. I profitti sono $(30 + x)^{2}$, 900 e $(30 - x)^{2}$.

Le quote forniscono $H = \lbrack(30 + x)^{2} + 30^{2} + (30 - x)^{2}\rbrack/90^{2} = 1/3 + x^{2}/4.050$. La concentrazione aumenta con l’asimmetria, sebbene il numero delle imprese resti invariato. L’elasticità di mercato è $50/90 = 5/9$; i Lerner sono $(30 + x)/50$, $3/5$ e $(30 - x)/50$, coerenti con $L_{i} = s_{i}/\varepsilon$.

Per $x = 10$, le quantità sono 40, 30 e 20, i profitti 1.600, 900 e 400 e l’HHI è circa 0,358. L’impresa più efficiente produce di più e ha un margine maggiore. Ciò non dimostra una condotta anticoncorrenziale: la differenza nasce dai costi. La soluzione algebrica con tre produzioni non negative arriverebbe fino a $x = 30$, ma oltre 20 il primo costo marginale diventerebbe negativo; oltre 30 anche la soluzione interna delle quantità cesserebbe di essere ammissibile.

Bertrand: competizione simultanea sui prezzi

Nel modello di Bertrand con bene omogeneo, consumatori informati, costi marginali identici e capacità sufficiente a servire l’intero mercato, il venditore meno caro riceve tutta la domanda. Se i prezzi coincidono, una regola di ripartizione assegna la domanda tra le imprese. Un’impresa che osserva idealmente un prezzo rivale sopra costo ha incentivo a praticare un prezzo appena inferiore e a conquistare i clienti.

L’equilibrio è $p_{1} = p_{2} = c$. Nessuna impresa guadagna abbassando il prezzo sotto costo; alzandolo perde le vendite senza ottenere profitto positivo. Il paradosso di Bertrand consiste nel raggiungere il risultato concorrenziale anche con due sole imprese. I profitti sono nulli se non vi sono costi fissi; con costi fissi già sostenuti è nullo il margine operativo, non necessariamente il profitto netto.

Con prezzi continui, l’espressione “un prezzo appena più basso” non identifica sempre una migliore risposta esatta. Se il rivale pratica un prezzo compreso tra costo e prezzo monopolistico, si può migliorare il profitto scegliendo un prezzo sempre più vicino al suo, da sotto. Il limite non deve essere confuso con un prezzo ottimo effettivamente raggiunto. Questo dettaglio non cambia l’equilibrio simmetrico al costo marginale.

Esempio guidato: bene omogeneo e capacità illimitata

Con $P = 220 - 2Q$ e costo marginale 4, il prezzo di Bertrand è 4. La domanda totale è $(220 - 4)/2 = 108$; con ripartizione simmetrica ciascuna impresa vende 54 e ottiene profitto zero. Il monopolista, per confronto, sceglierebbe $Q = 54$ e prezzo 112. Le differenti previsioni di Cournot e Bertrand dipendono dalla variabile strategica e dai vincoli, non da un errore di calcolo.

Vincoli di capacità e razionamento

Se l’impresa più economica non può soddisfare tutta la domanda, alzare il prezzo non significa necessariamente perdere ogni cliente. Una parte dei consumatori non serviti si rivolge all’altra impresa. Per calcolare questa domanda residua occorre una regola di razionamento.

Con razionamento efficiente, i clienti con disponibilità a pagare più alta vengono serviti per primi dal venditore meno caro. Se quest’ultimo esaurisce una capacità $K_{j}$, il concorrente più caro fronteggia una domanda residua $max(0,D\left( p_{i} \right) - K_{j})$. Altre regole possono produrre risultati diversi; in alcuni intervalli di capacità non esiste un equilibrio in prezzi puri e occorrono strategie miste.

Nell’esempio $P = 220 - 2Q$, con costo marginale operativo 4 e capacità $K_{1} = K_{2} = 36$, il prezzo che assorbe le 72 unità è 76. Entrambe vendono 36 e guadagnano $(76 - 4)36 = 2.592$. Tagliare il prezzo non permette di vendere di più, perché la capacità è già esaurita. Aumentandolo, l’impresa affronta la domanda residua $\left( 148 - p_{i} \right)/2$ e il profitto $\left( p_{i} - 4 \right)\left( 148 - p_{i} \right)/2$, il cui massimo è proprio 76. Il candidato supera quindi il controllo delle deviazioni unilaterali.

Kreps-Scheinkman: capacità prima, prezzi dopo

La capacità può essere scelta prima della competizione sui prezzi. Nel modello di Kreps-Scheinkman, sotto specifiche ipotesi su domanda, costi, razionamento e struttura del gioco, la scelta iniziale di capacità seguita dalla competizione di prezzo produce un esito di tipo Cournot. Il punto economico è che la quantità può essere determinata indirettamente da una decisione irreversibile precedente.

Una versione coerente dell’esempio considera un costo di installazione pari a 4 per unità di capacità e un costo operativo successivo nullo. Nella regione in cui il prezzo del secondo stadio assorbe le capacità, la funzione di profitto iniziale è $\pi_{i} = \lbrack 220 - 2\left( K_{i} + K_{j} \right) - 4\rbrack K_{i}$. La condizione marginale è $216 - 4K_{i} - 2K_{j} = 0$, quindi $K_{i} = 54 - K_{j}/2$. La soluzione simmetrica è $K_{i} = 36$, con prezzo 76 e profitto netto 2.592.

Questa costruzione distingue il costo anticipato della capacità dal costo operativo dell’esempio precedente. Il fatto che i numeri coincidano non rende i due problemi identici. Inoltre sostituire $p = P\left( K_{1} + K_{2} \right)$ per qualunque coppia di capacità non costituisce una dimostrazione generale: alcuni sottogiochi richiedono analisi differenti. L’equivalenza di Kreps-Scheinkman dipende dall’intero gioco, comprese le deviazioni fuori dalla regione dell’equilibrio.

Stackelberg: leadership di quantità

Nel modello di Stackelberg il leader sceglie una quantità osservabile e vincolante; il follower risponde successivamente. Con domanda $P = a - b\left( q_{L} + q_{F} \right)$ e costo comune $c$, la risposta del follower è $q_{F} = \left( a - c - bq_{L} \right)/(2b)$ quando positiva. Il leader sostituisce questa funzione nel proprio profitto prima di massimizzarlo.

Si ottengono $q_{L} = (a - c)/(2b)$ e $q_{F} = (a - c)/(4b)$. Il leader produce il doppio del follower e ottiene un profitto maggiore. Il vantaggio della prima mossa nasce dalla possibilità di influenzare la quantità successiva, non dal semplice annuncio di un’intenzione. Se il leader potesse modificare liberamente la produzione dopo la risposta del follower, il gioco sarebbe diverso.

Esempio guidato: confronto fra strutture

Con $P = 56 - 2Q$ e costo marginale 8, il follower risponde $q_{F} = 12 - q_{L}/2$. Il profitto del leader è $\left( 24 - q_{L} \right)q_{L}$, massimo in $q_{L} = 12$. Ne seguono $q_{F} = 6$, prezzo 20 e profitti 144 e 72.

Il leader migliora rispetto a Cournot, ma il profitto complessivo delle imprese scende da 256 a 216. La quantità aumenta e i consumatori beneficiano del prezzo minore. Il vantaggio di una singola impresa e il vantaggio dell’intera industria possono muoversi in direzioni opposte.

Hotelling: differenziazione e concorrenza di prezzo

Consideriamo $N$ consumatori uniformemente distribuiti su una strada di lunghezza $\mathcal{l}$, con imprese agli estremi, costo marginale $c$ e costo di distanza $t$ per unità. Un cliente in $x$ confronta i costi generalizzati $p_{1} + tx$ e $p_{2} + t\left( \mathcal{l -}x \right)$. Se tutti acquistano e il consumatore indifferente è interno:

$$x^{\text{*}} = \frac{\mathcal{l}}{2} + \frac{p_{2} - p_{1}}{2t},\quad\quad q_{1} = N\frac{x^{\text{*}}}{\mathcal{l}},\quad\quad q_{2} = N - q_{1}.$$

La differenziazione rende la domanda individuale continua: una piccola variazione di prezzo sposta alcuni clienti, non necessariamente tutti. Le funzioni di reazione simmetriche sono $p_{i} = \left( p_{j} + c + t\mathcal{l} \right)/2$. I prezzi sono complementi strategici, perché un rialzo del prezzo rivale rende ottimale aumentare il proprio. In equilibrio $p_{1} = p_{2} = c + t\mathcal{l}$.

Le domande interne devono essere troncate se $x^{\text{*}}$ esce dalla strada. La copertura completa richiede inoltre che il valore del bene superi prezzo e disutilità di distanza anche per il cliente meno favorito. Se queste condizioni non valgono, il modello va risolto con i tratti di domanda appropriati.

Esempio guidato: due negozi lungo una strada

Mille clienti vivono uniformemente lungo 10 km; il costo complessivo di spostamento è rappresentato da $t = 1$ per km di distanza. I negozi sono ai km 0 e 10. Le domande sono $q_{1} = 500 + 50\left( p_{2} - p_{1} \right)$ e $q_{2} = 500 + 50\left( p_{1} - p_{2} \right)$ negli intervalli interni. A prezzi uguali a 1, ciascuno serve 500 clienti; con $p_{1} = 1$ e $p_{2} = 1,40$, il primo ne serve 520 e il secondo 480.

Se $p_{1} = 3$, la domanda del negozio 2 è $q_{2} = 50\left( 13 - p_{2} \right)$. Per vendere 250 unità occorre prezzo 8; per venderne 500, prezzo 3. La formula raggiunge 1.000 unità al prezzo −7: è una soglia matematica, non una politica profittevole per un venditore con costi positivi.

Con costi $C_{i} = 250 + q_{i}$, il costo marginale è 1. La reazione è $p_{i} = \left( p_{j} + 11 \right)/2$, quindi il prezzo simmetrico è 11. Le quantità sono 500 ciascuna e i profitti $(11 - 1)500 - 250 = 4.750$. Si assume un valore di riserva almeno pari a 16 per assicurare copertura completa al prezzo di equilibrio.

Entrata di un terzo negozio

Un terzo negozio si colloca al km 5 con gli stessi costi. Mantenendo provvisoriamente i prezzi esterni a 11, la sua domanda è $q_{3} = 1.600 - 100p_{3}$. La massimizzazione di $\left( p_{3} - 1 \right)\left( 1.600 - 100p_{3} \right) - 250$ dà $p_{3} = 8,5$, quantità 750 e profitto 5.375. Questo è però una migliore risposta a prezzi fissi, non il nuovo equilibrio dell’industria.

Lasciando reagire tutti, le condizioni sono $p_{1} = p_{2} = \left( p_{3} + 6 \right)/2$ e $p_{3} = \left( p_{1} + p_{2} + 12 \right)/4$. La soluzione è $p_{1} = p_{2} = p_{3} = 6$. I negozi esterni vendono 250 ciascuno e quello centrale 500; i profitti diventano 1.000 per ciascun esterno e 2.250 per il centrale. L’entrata riduce il potere di mercato locale e induce una risposta di prezzo degli operatori già presenti.

Differenziazione di prodotto e costi asimmetrici

Lo spazio di Hotelling può rappresentare una caratteristica anziché una distanza fisica. Consideriamo 100 clienti su $\lbrack 0,1\rbrack$, valore del bene 30, disutilità $t = 5$ e imprese agli estremi. Con costi marginali 10, le domande sono $q_{1} = 50 + 10\left( p_{2} - p_{1} \right)$ e $q_{2} = 50 + 10\left( p_{1} - p_{2} \right)$. Il prezzo simmetrico è 15, ciascuna vende 50 e guadagna 250. La copertura completa richiede valore almeno $15 + 5/2 = 17,5$, condizione soddisfatta da 30.

Se il costo della seconda impresa sale a 20, le reazioni diventano $p_{1} = \left( p_{2} + 15 \right)/2$ e $p_{2} = \left( p_{1} + 25 \right)/2$. I prezzi sono $55/3$ e $65/3$, le quantità $250/3$ e $50/3$, i profitti $6.250/9$ e $250/9$. Anche l’impresa che non subisce lo shock alza il prezzo: la complementarità strategica trasmette parte dello shock all’intero mercato. L’impresa efficiente guadagna quota e aumenta il profitto, mentre quella più costosa perde clienti.

Prezzi sequenziali e vantaggio della seconda mossa

Riprendiamo il caso simmetrico con costo 10 e $t = 5$, ma supponiamo che l’impresa 1 fissi irrevocabilmente il prezzo per prima. La seconda risponde $p_{2} = \left( p_{1} + 15 \right)/2$. Sostituendo nella domanda della prima, $q_{1} = 125 - 5p_{1}$. Il leader massimizza $\left( p_{1} - 10 \right)\left( 125 - 5p_{1} \right)$, ottenendo $p_{1} = 17,5$; il follower sceglie $p_{2} = 16,25$.

Le quantità sono 37,5 e 62,5; i profitti 281,25 e 390,625. Il follower può posizionarsi sotto il prezzo del leader conservando un margine significativo. In questo modello emerge un vantaggio della seconda mossa. Entrambi ottengono più dei 250 del gioco simultaneo, ma chi muove dopo ottiene il risultato maggiore.

Non esiste una regola per cui muovere prima sia sempre vantaggioso o sempre svantaggioso. Contano la variabile strategica, la pendenza delle reazioni, la reversibilità della scelta e l’informazione. Cournot, Bertrand, Stackelberg e Hotelling sono strumenti per identificare questi meccanismi, non etichette intercambiabili.