Economia industriale.

Perché discriminare il prezzo

Con un prezzo uniforme il monopolista incontra due limiti. Un prezzo elevato esclude i clienti con minore disponibilità a pagare; un prezzo basso lascia un surplus ai clienti che avrebbero accettato di pagare di più. La discriminazione di prezzo utilizza informazioni sui clienti oppure differenze nei contratti per separare queste disponibilità. Le differenze di prezzo non devono essere confuse con differenze spiegate interamente dai costi di fornitura.

La discriminazione richiede potere di mercato e la possibilità di limitare l’arbitraggio: se chi acquista a prezzo basso può rivendere liberamente a chi dovrebbe pagare di più, la separazione tende a indebolirsi. Le tre categorie fondamentali sono il primo grado, basato sulla conoscenza individuale delle preferenze; il secondo grado, basato sull’autoselezione; e il terzo grado, basato su gruppi osservabili. La forma del contratto non determina da sola il grado di discriminazione. Una tariffa a due parti può estrarre tutto il surplus con informazione completa oppure lasciare rendite informative quando i clienti non sono distinguibili.

Primo grado: prezzi personalizzati e quantità efficiente

Con discriminazione perfetta il venditore conosce la disponibilità a pagare di ogni cliente e può formulare un’offerta individuale non trasferibile. Se l’utilità lorda del cliente $i$ è $U_{i}(q)$ e la sua alternativa esterna vale zero, il pagamento massimo accettabile per una quantità $q_{i}$ è $T_{i} = U_{i}\left( q_{i} \right)$. Il profitto relativo al cliente diventa $U_{i}\left( q_{i} \right) - cq_{i}$; l’impresa sceglie quindi $U_{i}'\left( q_{i} \right) = c$.

La quantità è efficiente perché l’ultima unità vale esattamente il costo necessario a produrla. Il surplus netto del cliente è nullo, mentre tutto il surplus creato viene incassato dall’impresa. Questo risultato separa nettamente efficienza allocativa e distribuzione: scompare la perdita secca da restrizione della quantità, ma non è garantito alcun vantaggio per i consumatori rispetto al prezzo uniforme.

Una tariffa a due parti applica un pagamento $T_{i}(q) = F_{i} + p_{i}q$, composto da una quota di accesso e da un prezzo unitario. Se il tipo del cliente è noto, si può fissare $p_{i} = c$ per indurre la quantità efficiente e $F_{i} = U_{i}\left( q_{i} \right) - cq_{i}$ per assorbire il surplus. Se invece tutti possono scegliere la stessa tariffa destinata a un altro gruppo, questa costruzione non è generalmente realizzabile.

Esempio guidato: clienti con due intensità di domanda

Consideriamo due tipi, H e L, presenti in numero uguale $N$. Le domande inverse individuali sono $P_{H}(q) = 40 - q$ e $P_{L}(q) = 24 - q$; il costo marginale è 2. Le quantità efficienti sono $q_{H} = 38$ e $q_{L} = 22$. I surplus lordi del pagamento fisso, quando il prezzo unitario è 2, sono rispettivamente $38^{2}/2 = 722$ e $22^{2}/2 = 242$.

Se i tipi sono osservabili e non possono scambiarsi le tariffe, il venditore può applicare $\left( F_{H},p_{H} \right) = (722,2)$ e $\left( F_{L},p_{L} \right) = (242,2)$. Il profitto è $964N$ e il surplus netto dei clienti è zero. Il benchmark serve a misurare quanto l’asimmetria informativa impedisca di estrarre: non è un menu attuabile automaticamente con clienti anonimi, perché H preferirebbe pagare la quota fissa di L.

Secondo grado: pacchetti, autoselezione e rendita informativa

Quando il venditore non osserva il tipo, può offrire un menu di coppie quantità-pagamento $\left( q_{i},T_{i} \right)$. Un cliente deve poter rifiutare il menu e deve trovare conveniente l’opzione progettata per lui. I vincoli di partecipazione, indicati con IR, impongono un’utilità almeno pari all’alternativa esterna; i vincoli di compatibilità degli incentivi, indicati con IC, impediscono che un tipo preferisca l’offerta destinata all’altro.

Con due tipi e alternativa esterna nulla, i quattro vincoli sono:

$$\begin{matrix} U_{H}\left( q_{H} \right) - T_{H} \geq 0, \\ U_{L}\left( q_{L} \right) - T_{L} \geq 0, \\ U_{H}\left( q_{H} \right) - T_{H} \geq U_{H}\left( q_{L} \right) - T_{L}, \\ U_{L}\left( q_{L} \right) - T_{L} \geq U_{L}\left( q_{H} \right) - T_{H}. \end{matrix}$$

Nel caso standard in cui H attribuisce un valore marginale maggiore alla quantità e vengono serviti entrambi i tipi, il vincolo di partecipazione di L e il vincolo di incentivo di H sono attivi. Di conseguenza $T_{L} = U_{L}\left( q_{L} \right)$ e $T_{H} = U_{H}\left( q_{H} \right) - \lbrack U_{H}\left( q_{L} \right) - U_{L}\left( q_{L} \right)\rbrack$. La differenza tra parentesi è la rendita informativa lasciata a H: senza di essa H sceglierebbe il pacchetto piccolo.

Ridurre $q_{L}$ rende meno attraente il pacchetto basso anche per H. L’impresa sacrifica così parte del surplus producibile su L per ridurre la rendita che deve lasciare a H. Nel modello regolare con soluzione interna si ottiene assenza di distorsione al vertice (no distortion at the top) e distorsione verso il basso per il tipo inferiore. Se i parametri rendono troppo costoso servire L, può emergere l’esclusione; le proprietà interne non devono essere applicate senza controllarla.

Esempio guidato: menu di consumazioni

Un locale ha 25 clienti H con domanda $q_{H} = 18 - 3p$ e 75 clienti L con domanda $q_{L} = 10 - 2p$. Il costo marginale è 2. Le domande inverse sono $P_{H} = 6 - q/3$ e $P_{L} = 5 - q/2$; le utilità lorde, negli intervalli rilevanti, sono:

$$U_{H}(q) = 6q - \frac{q^{2}}{6},\quad\quad U_{L}(q) = 5q - \frac{q^{2}}{4}.$$

Prezzo uniforme. Finché $p < 5$, entrambi i tipi acquistano e la domanda totale è $Q = 25(18 - 3p) + 75(10 - 2p) = 1.200 - 225p$. Il profitto è $(p - 2)(1.200 - 225p)$. La derivata $1.650 - 450p$ si annulla in $p = 11/3$. A questo prezzo H compra 7 unità e L ne compra $8/3$: la quantità totale è 375 e il profitto 625. Sul tratto che esclude L, cioè $5 \leq p \leq 6$, il profitto massimo è 225 al confine $p = 5$. Il prezzo uniforme trovato è quindi preferibile.

Menu di pacchetti. La rendita informativa di H è $U_{H}\left( q_{L} \right) - U_{L}\left( q_{L} \right) = q_{L} + q_{L}^{2}/12$. Usando i due vincoli attivi, il profitto complessivo diventa:

$$\Pi = 25\left( 4q_{H} - \frac{q_{H}^{2}}{6} - q_{L} - \frac{q_{L}^{2}}{12} \right) + 75\left( 3q_{L} - \frac{q_{L}^{2}}{4} \right).$$

Raccogliendo i termini si ottiene $\Pi = 100q_{H} - 25q_{H}^{2}/6 + 200q_{L} - 125q_{L}^{2}/6$. Le condizioni marginali sono $100 - 25q_{H}/3 = 0$ e $200 - 125q_{L}/3 = 0$, da cui $q_{H} = 12$ e $q_{L} = 4,8$. H riceve la quantità efficiente; L riceve meno delle 6 unità efficienti.

Il pagamento di L è $T_{L} = 5(4,8) - (4,8)^{2}/4 = 18,24$. La sua offerta lascerebbe a H una rendita di $4,8 + (4,8)^{2}/12 = 6,72$. Poiché $U_{H}(12) = 48$, il pagamento di H è $T_{H} = 48 - 6,72 = 41,28$.

Il profitto totale è $25(17,28) + 75(8,64) = 1.080$, superiore a 625. Servire soltanto H con estrazione completa produrrebbe $25 \times 24 = 600$: l’esclusione di L non migliora il risultato. Per rendere H strettamente favorevole al pacchetto grande basta abbassarne il prezzo di un importo arbitrariamente piccolo; i valori riportati utilizzano l’indifferenza favorevole all’opzione prevista.

Block pricing e consumo libero: contratti diversi

Il block pricing può assumere la forma di pacchetti con quantità prestabilita oppure di una tariffa a scaglioni. Nel primo caso il cliente sceglie tra alternative discrete; nel secondo decide quanto acquistare lungo una funzione di spesa. Occorre specificare se un prezzo ridotto si applica soltanto alle unità aggiuntive o a tutte le unità: le due strutture generano incentivi diversi.

Una tariffa a due parti senza limite di consumo non fissa la quantità del cliente che la sceglie. Se H seleziona la tariffa destinata a L, non è obbligato a consumare $q_{L}$: sceglie la propria quantità ottima al prezzo unitario di L. Il vincolo corretto deve quindi confrontare utilità indirette:

$$V_{i}\left( F_{j},p_{j} \right) = \max_{q \geq 0}(U_{i}(q) - p_{j}q) - F_{j}.$$

Con domanda individuale $q_{i}(p) = max(0,a_{i} - p)$, il surplus prima della quota fissa è $S_{i}(p) = max(0,a_{i} - p)^{2}/2$. Il cliente sceglie la tariffa che massimizza $S_{i}\left( p_{j} \right) - F_{j}$, purché il risultato non sia negativo. Questa distinzione è decisiva per non progettare un menu che apparentemente separa i clienti ma che viene eluso dalle loro scelte ottimali.

Esempio guidato: prezzo uniforme, pacchetti e tariffe a due parti

Riprendiamo $a_{H} = 40$, $a_{L} = 24$, $c = 2$ e $N$ clienti per tipo. Con prezzo uniforme, sul tratto in cui entrambi acquistano, $Q = N(64 - 2p)$. Il profitto $(p - 2)N(64 - 2p)$ è massimo in $p = 17$. Ne seguono $q_{H} = 23$, $q_{L} = 7$, $\Pi = 450N$ e $CS = N\left( 23^{2} + 7^{2} \right)/2 = 289N$. Il surplus totale è $739N$. Sul tratto $p \geq 24$, in cui L non compra, il massimo si trova al confine $p = 24$ e vale $352N$: il confronto conferma il prezzo 17.

Pacchetti a quantità fissa. La differenza di utilità è $U_{H}(q) - U_{L}(q) = 16q$. I pagamenti compatibili con i vincoli attivi sono $T_{L} = 24q_{L} - q_{L}^{2}/2$ e $T_{H} = 40q_{H} - q_{H}^{2}/2 - 16q_{L}$. Il profitto per una coppia H-L è:

$$\frac{\Pi}{N} = 38q_{H} - \frac{q_{H}^{2}}{2} + 6q_{L} - \frac{q_{L}^{2}}{2}.$$

La massimizzazione fornisce $q_{H} = 38$ e $q_{L} = 6$. Si ottengono $T_{H} = 702$ e $T_{L} = 126$; il profitto è $740N$ e la rendita di H è $96N$. Questi risultati appartengono a pacchetti che fissano le quantità, non automaticamente a tariffe con consumo libero.

Tariffe a due parti con entrambi i tipi serviti. Per H il prezzo marginale ottimo è 2. Se la tariffa bassa ha prezzo unitario $p_{L}$ e lascia a L surplus zero, allora $F_{L} = \left( 24 - p_{L} \right)^{2}/2$. Il surplus ottenibile da H copiando L è:

$$S_{H}\left( p_{L} \right) - F_{L} = \frac{\left( 40 - p_{L} \right)^{2} - \left( 24 - p_{L} \right)^{2}}{2} = 512 - 16p_{L}.$$

Indicando con $q_{L} = 24 - p_{L}$ la quantità effettiva di L, tale rendita è $128 + 16q_{L}$. La quota alta compatibile con gli incentivi è quindi $F_{H} = 722 - \left( 128 + 16q_{L} \right) = 594 - 16q_{L}$. Il profitto per coppia è $594 + 6q_{L} - q_{L}^{2}/2$: il massimo si ha ancora in $q_{L} = 6$, quindi $p_{L} = 18$.

Il menu separatore è $\left( F_{H},p_{H} \right) = (498,2)$ e $\left( F_{L},p_{L} \right) = (18,18)$. H ottiene $722 - 498 = 224$ scegliendo la tariffa alta e $22^{2}/2 - 18 = 224$ scegliendo quella bassa. L ottiene zero dalla propria tariffa e un valore negativo da quella alta. Il profitto complessivo è $N\lbrack 498 + 18 + (18 - 2)6\rbrack = 612N$.

La quota alta 626 non funzionerebbe in una tariffa con consumo libero: H avrebbe surplus 96 nella tariffa alta e 224 copiando quella bassa. Il consumatore che cambia tariffa cambia anche quantità. Il valore 626 è invece il margine ottenuto sul pacchetto fisso alto, pari a $702 - 2(38)$.

Scelta di escludere L. Se il venditore può rinunciare a servire L, una sola tariffa $(F,p) = (722,2)$ estrae da H tutto il surplus e produce $722N$. L non aderisce perché il suo surplus prima della quota è soltanto 242. Nella classe di tariffe a due parti qui considerata, questa soluzione supera il menu separatore che serve entrambi. Il confronto con l’esclusione è dunque indispensabile: il miglior menu condizionato a servire tutti non coincide necessariamente con la migliore politica disponibile.

Pacchetti fissi e menu a due parti che servono entrambi producono le stesse quantità, quindi lo stesso surplus totale, ma lo distribuiscono diversamente. Rispetto al prezzo uniforme, l’aumento di quantità di H crea $112,5N$ di surplus; la riduzione di L ne distrugge $15,5N$. Il saldo è $97N$. Il trasferimento di rendita e la variazione delle risorse create vanno contabilizzati separatamente.

Terzo grado: gruppi osservabili ed elasticità

Nel group pricing il venditore distingue gruppi sulla base di caratteristiche osservabili e impedisce la rivendita tra essi. Può quindi scegliere prezzi lineari diversi, senza dover indurre i clienti a rivelare indirettamente il proprio tipo. Con costo marginale comune, ogni gruppo soddisfa $MR_{i} = c$. In termini di elasticità:

$$\frac{p_{i} - c}{p_{i}} = \frac{1}{\varepsilon_{i}}.$$

Il gruppo con domanda meno elastica, valutata al rispettivo prezzo ottimo, sostiene un margine proporzionale maggiore. Dire che un gruppo è “più ricco” non sostituisce l’analisi della sua elasticità. La presenza di sostituti, l’urgenza del consumo e la possibilità di rinviare l’acquisto possono essere altrettanto importanti.

Nel mercato con domande $40 - q_{H}$ e $24 - q_{L}$, i prezzi separati sono $p_{H} = 21$ e $p_{L} = 13$. Le quantità individuali sono 19 e 11; i profitti sono $361N$ e $121N$, per un totale di $482N$. La quantità aggregata rimane $30N$, come con il prezzo uniforme, ma cambia la sua distribuzione. Il surplus dei clienti è $241N$ e il surplus totale $723N$: il profitto aumenta di $32N$, mentre il benessere complessivo scende di $16N$.

L’esempio mostra che discriminare non crea necessariamente più efficienza. Qui si spostano unità verso clienti con minore disponibilità marginale a pagare, senza espandere la produzione totale. In altri casi, invece, un prezzo differenziato può consentire di servire gruppi che con il prezzo uniforme sarebbero esclusi. Il segno dell’effetto complessivo non va assunto in anticipo.

Versioning: differenziare il contratto per separare i clienti

Il versioning offre varianti del prodotto o del contratto con qualità, servizi o vincoli differenti. La versione economica non serve soltanto a ridurre il costo: può funzionare come strumento di autoselezione. Il prezzo della versione superiore deve però tenere conto del vantaggio che i clienti più disponibili a pagare otterrebbero scegliendo la versione inferiore.

Esempio guidato: biglietti flessibili e vincolati

Una compagnia ipotetica vende a 50 clienti business e 50 turisti. Il costo è nullo e ciascun cliente compra al massimo un biglietto. Le disponibilità a pagare sono:

Vendendo soltanto biglietti flessibili, il prezzo 260 produce 13.000, mentre il prezzo 120 produce 12.000. Vendendo soltanto biglietti vincolati, il prezzo 80 produce 8.000. Con entrambe le versioni, la compagnia può porre il biglietto vincolato a 80. Un cliente business ricaverebbe da questa offerta un surplus di 20; il biglietto flessibile deve lasciargli almeno altrettanto. Il suo prezzo massimo è dunque $260 - 20 = 240$.

Il menu $\left( p_{F},p_{V} \right) = (240,80)$ produce $50(240) + 50(80) = 16.000$. Il cliente business ottiene una rendita informativa di 20; il turista ottiene zero e non desidera il biglietto flessibile. Le opzioni risultano compatibili con gli incentivi, usando la convenzione sull’indifferenza.

Se i clienti business diventano 85 e i turisti 15, il menu produce 21.600, mentre vendere soltanto il biglietto flessibile a 260 produce 22.100. Servire i turisti genera 1.200 di ricavo, ma obbliga a lasciare $85 \times 20 = 1.700$ ai clienti business. Ampliare il mercato non coincide sempre con aumentare il profitto.

Bundling puro, misto e vendite abbinate

Il bundling puro rende disponibili due beni soltanto insieme. Il bundling misto affianca il pacchetto alle vendite separate. La vendita abbinata, o tying, condiziona l’acquisto di un bene all’acquisto di un altro: è una nozione contrattuale vicina, ma non identica alla semplice offerta facoltativa di un pacchetto.

Il pacchetto può rendere meno disperse le disponibilità complessive a pagare. Se chi valuta molto A valuta poco B e viceversa, la somma delle valutazioni può risultare simile per clienti diversi. Il monopolista può così applicare un prezzo del pacchetto accettabile per molti clienti. Questa intuizione non è una legge universale: contano costi, complementarità, composizione della domanda e scelta tra singoli beni e pacchetto.

Esempio guidato: due contenuti e due sale

Le sale 1 e 2 valutano un contenuto A rispettivamente 9.000 e 10.000, e un contenuto B rispettivamente 3.000 e 2.000. I costi sono nulli. Vendendo separatamente, A a 9.000 produce 18.000 e B a 2.000 produce 4.000: il totale è 22.000. Il pacchetto vale invece 12.000 per entrambe le sale e, venduto a quel prezzo, produce 24.000.

Il totale delle disponibilità a pagare è proprio 24.000. Non esiste quindi una strategia che, rispettando la partecipazione delle due sale, produca ricavi superiori con questi dati. Il bundling puro raggiunge il limite; quello misto può replicarlo, ma non superarlo. Il risultato dipende dall’additività dei valori e dall’acquisto in caso di indifferenza.

Esempio guidato: quando il bundling misto migliora il risultato

Tre gruppi di 100 persone hanno valutazioni per due eventi A e B pari a $(30,15)$, $(20,25)$ e $(10,25)$. Le valutazioni del pacchetto sono quindi 45, 45 e 35. I costi sono nulli.

La vendita separata ottima applica $p_{A} = 20$ e $p_{B} = 25$, con profitti rispettivamente 4.000 e 5.000: totale 9.000. Nel bundling puro, il prezzo 35 serve tutti e produce 10.500; il prezzo 45 serve soltanto i primi due gruppi e produce 9.000.

Nel bundling misto si possono fissare $p_{A} = 30$, $p_{B} = 25$ e $p_{AB} = 45$. Con scelta favorevole al pacchetto in caso di indifferenza, i primi due gruppi acquistano entrambi gli eventi e il terzo acquista soltanto B. Il profitto è $200(45) + 100(25) = 11.500$.

L’indifferenza è sostanziale: il primo gruppo ottiene zero sia dal pacchetto sia da A; il secondo ottiene zero sia dal pacchetto sia da B. Per rendere stretta la selezione si può porre, per un piccolo $\eta > 0$, $p_{AB} = 45 - 2\eta$, $p_{B} = 25 - \eta$ e mantenere $p_{A} = 30$. Il profitto diventa $11.500 - 500\eta$ e si avvicina a 11.500 quando $\eta$ tende a zero. Il valore pieno richiede la convenzione sull’indifferenza; altrimenti è un valore limite.

Varietà nel monopolio: differenziazione orizzontale

La differenziazione orizzontale riguarda caratteristiche sulle quali i clienti hanno gusti diversi. A parità di prezzo alcuni preferiscono una varietà, altri un’altra; non esiste necessariamente un ordinamento condiviso dal peggiore al migliore. Nel modello di Hotelling una posizione lungo un segmento può rappresentare un luogo oppure una caratteristica del prodotto. La distanza dal punto preferito produce una disutilità.

Un monopolista multiprodotto deve confrontare il beneficio di una maggiore varietà con il costo di sostenerla. Aggiungere un punto vendita riduce la distanza di alcuni clienti, ma richiede un investimento. Inoltre parte delle vendite del nuovo prodotto può provenire da altri prodotti della stessa impresa: questa è la cannibalizzazione, che va distinta dalle vendite sottratte ai concorrenti.

Esempio guidato: scelta del numero di varietà

Consideriamo $N$ clienti uniformi su $\lbrack 0,1\rbrack$, valore del consumo $v$, costo marginale $c$ e disutilità di distanza $t$. Supponiamo copertura completa, un prezzo comune e $n$ varietà equidistanti, poste al centro dei rispettivi segmenti. La distanza massima dalla varietà più vicina è $1/(2n)$, quella media $1/(4n)$. Ogni varietà costa $F$ da mantenere.

Il prezzo più alto compatibile con la copertura completa è $p = v - t/(2n)$. Il profitto diventa $\Pi(n) = N\lbrack v - c - t/(2n)\rbrack - nF$. Trattando provvisoriamente $n$ come continuo, la condizione marginale dà $n_{M} = \sqrt{Nt/(2F)}$. La scelta finale deve confrontare i numeri interi ammissibili e verificare che non sia preferibile una copertura parziale.

Il surplus totale, con tutti serviti, è invece $W(n) = N(v - c) - Nt/(4n) - nF$. Il numero continuo che lo massimizza è $n_{W} = \sqrt{Nt/(4F)}$. In questo specifico modello il monopolista può offrire più varietà, non meno, del livello efficiente: aumentando la copertura qualitativa del cliente più distante può alzare il prezzo per tutti.

Con $N = 100$, $v = 30$, $c = 10$, $t = 8$ e $F = 150$, una varietà permette prezzo 26 e profitto 1.450; due varietà permettono prezzo 28 e profitto 1.500. Il surplus totale è però 1.650 con una varietà e 1.600 con due. Ai parametri indicati la copertura completa è compatibile con l’ottimo di prezzo. L’esempio dimostra che la relazione tra monopolio e varietà dipende dal meccanismo di prezzo, non da una regola secondo cui la varietà sarebbe sempre insufficiente.

Qualità e differenziazione verticale

Nella differenziazione verticale tutti i clienti, a parità di prezzo, preferiscono una qualità superiore. Cambia però quanto ciascuno è disposto a pagare per ottenerla. Una rappresentazione è $u(\theta,s) = \theta s - p$, dove $s$ è la qualità e $\theta$ misura l’apprezzamento individuale. Il monopolista può offrire una sola qualità oppure un menu di qualità e prezzi.

Con $\theta$ uniforme tra zero e uno, prezzo $p$ e qualità positiva $s$, compra chi ha $\theta \geq p/s$. Se il costo unitario è $k(s)$, il profitto con una massa $N$ di consumatori è $\Pi = \left( p - k(s) \right)N(1 - p/s)$, per $0 \leq p \leq s$. A qualità data, il prezzo ottimo è $p(s) = \lbrack s + k(s)\rbrack/2$. La qualità viene poi scelta tenendo conto sia del maggiore valore per i clienti sia del suo costo.

Per esempio, con $k(s) = s^{2}/2$, la sostituzione del prezzo ottimo dà $\Pi(s) = Ns(1 - s/2)^{2}/4$ nell’intervallo economicamente rilevante. Il massimo positivo si trova in $s = 2/3$: il prezzo è $4/9$, compra un terzo dei clienti e il profitto è $2N/27$. La soluzione richiede scegliere congiuntamente qualità e prezzo, non presumere che la qualità più alta sia sempre la migliore.

Un menu di qualità reintroduce i vincoli di autoselezione: la qualità inferiore deve essere abbastanza economica da attrarre i clienti meno interessati, ma non così conveniente da attirare tutti. Il collegamento con il versioning è diretto. La qualità del prodotto, la quantità acquistata e le restrizioni del contratto possono essere strumenti diversi per affrontare lo stesso problema informativo.