3. Statistica descrittiva

1. Introduzione alla statistica descrittiva
2. Classificazione e rilevazione dei dati
3. Distribuzioni di frequenza
4. Distribuzioni di frequenza in classi
5. Rappresentazioni grafiche
6. Funzione di ripartizione empirica
7. Indici di posizione
8. Indici di variabilità
9. Boxplot e valori anomali
10. Forma della distribuzione
11. Trasformazioni lineari dei dati
12. Standardizzazione
13. Calcoli con dati raggruppati in classi
14. Procedura per gli esercizi con dati grezzi
15. Procedura per gli esercizi con dati raggruppati in classi

Obiettivo della statistica descrittiva

La statistica descrittiva comprende gli strumenti utilizzati per organizzare, sintetizzare e rappresentare i dati osservati.

Non permette, da sola, di generalizzare i risultati alla popolazione da cui proviene il campione. Questo passaggio appartiene alla statistica inferenziale.

1. Ripasso Terminologia fondamentale

• Popolazione: insieme completo delle unità statistiche oggetto di studio.
• Campione: sottoinsieme della popolazione effettivamente osservato.
• Unità statistica: singolo elemento sul quale vengono raccolte le informazioni.
• Variabile o carattere: proprietà rilevata su ciascuna unità statistica.
• Modalità: possibili valori o categorie assunti dalla variabile.
• Numerosità campionaria: numero complessivo di osservazioni, indicato con (n).

Esempio: se si osserva l’età di 20 studenti universitari:

• la popolazione potrebbe essere costituita da tutti gli studenti di Ca’ Foscari;
• il campione è formato dai 20 studenti selezionati;
• ogni studente è un’unità statistica;
• l’età è la variabile;
• 19, 20, 21 anni sono alcune possibili modalità.

Classificazione delle variabili

La tipologia della variabile determina quali rappresentazioni grafiche e quali indici possono essere utilizzati.

1) Variabili qualitative

Descrivono una qualità o una categoria.

Variabili qualitative nominali

Le modalità non possiedono un ordine naturale.

Esempi:

• colore degli occhi;
• città di nascita;
• facoltà universitaria;
• metodo di pagamento utilizzato.

È possibile calcolare:

• frequenze assolute, relative e percentuali;
• moda;
• diagrammi a barre;
• diagrammi a torta.

Non ha senso calcolare media, mediana o frequenze cumulate.

Variabili qualitative ordinali

Le modalità possono essere ordinate logicamente, ma la distanza tra categorie non è necessariamente misurabile.

Esempi:

• livello di soddisfazione: insufficiente, sufficiente, buono, ottimo;
• titolo di studio;
• giudizio: basso, medio, alto.

È possibile calcolare:

• frequenze semplici e cumulate;
• moda;
• mediana;
• quantili;
• diagrammi a barre ordinati.

Non è normalmente corretto calcolare la media aritmetica, perché non conosciamo la distanza numerica tra le categorie.

2) Variabili quantitative

Assumono valori numerici.

Variabili quantitative discrete

Derivano generalmente da un conteggio e assumono valori isolati, spesso interi.

Esempi: numero di figli; numero di esami sostenuti; numero di automobili possedute; numero di accessi a un sito.

Variabili quantitative continue

Possono assumere qualsiasi valore all’interno di un intervallo.

Esempi: altezza; peso; tempo di attesa; reddito; temperatura.

Nella pratica, anche una variabile continua viene spesso rilevata con un numero limitato di decimali. Rimane comunque concettualmente continua.

Schema riassuntivo

2. Distribuzioni di frequenza

Una distribuzione di frequenza permette di sintetizzare i dati grezzi.

Supponiamo di osservare una variabile X che assume le modalità: $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$

Frequenza assoluta

La frequenza assoluta $n_{j}$ indica quante volte compare la modalità $x_{j}$.

$$n_{j} = \text{numero di osservazioni uguali a}x_{j}$$

La somma delle frequenze assolute è pari alla numerosità totale:

$\overset{k}{\sum_{j = 1}}n_{j} = n$

Frequenza relativa

La frequenza relativa $f_{j}$ rappresenta la quota di osservazioni corrispondenti alla modalità (x_j):

$$f_{j} = \frac{n_{j}}{n}$$

La somma delle frequenze relative è pari a 1: $\overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j} = 1$

Frequenza percentuale

La frequenza percentuale si ottiene moltiplicando la frequenza relativa per 100:

$$p_{j} = f_{j} \cdot 100$$

La somma delle frequenze percentuali è pari al 100%.

Frequenze cumulate

Le frequenze cumulate indicano quante osservazioni presentano un valore minore o uguale a una determinata modalità.

Frequenza assoluta cumulata

$$N_{j} = \overset{j}{\sum_{i = 1}}n_{i}$$

Frequenza relativa cumulata

$$F_{j} = \overset{j}{\sum_{i = 1}}f_{i}$$

L’ultima frequenza assoluta cumulata è sempre n, mentre l’ultima frequenza relativa cumulata è sempre 1.

Le frequenze cumulate hanno senso solamente quando le modalità sono ordinabili:

• variabili qualitative ordinali;
• variabili quantitative discrete;
• variabili quantitative continue.

Non ha senso calcolare la frequenza cumulata dei colori degli occhi o delle città di nascita, perché non esiste un ordine naturale univoco.

3. Distribuzioni in classi

Quando una variabile quantitativa assume molti valori differenti, è conveniente raggruppare i dati in classi.

Esempio: $\lbrack 10,20),\lbrack 20,30),\lbrack 30,50)$

È necessario leggere attentamente gli estremi:

• [10,20) include 10 ma esclude 20;
• (10,20] esclude 10 ma include 20;
• [10,20] include entrambi gli estremi.

3.1 Ampiezza della classe

L’ampiezza della classe j è: $\delta_{j} = b_{j} - a_{j}$ dove $a_{j}$ è l’estremo inferiore e $b_{j}$ è l’estremo superiore.

Esempio: $\lbrack 30,50) \Rightarrow \delta = 50 - 30 = 20$

3.2 Centro della classe

Il centro della classe è: $c_{j} = \frac{a_{j} + b_{j}}{2}$

Esempio: $\lbrack 30,50) \Rightarrow c = \frac{30 + 50}{2} = 40$

Il centro della classe viene utilizzato per ottenere valori approssimati di media e varianza quando non sono disponibili i dati grezzi.

3.3 Densità di frequenza

La densità relativa di frequenza è: $h_{j} = \frac{f_{j}}{\delta_{j}}$

Con:

• $f_{j}$ frequenza relativa
• $\delta_{j}$ ampiezza della classe

In alternativa, si può utilizzare la densità assoluta: $h_{j}^{(a)} = \frac{n_{j}}{\delta_{j}}$

Con:

• $n_{j}$ frequenza assoluta
• $\delta_{j}$ ampiezza della classe

La scelta dipende da come viene impostato l’esercizio. L’importante è comprendere il principio: la densità corregge la frequenza tenendo conto dell’ampiezza della classe.

Perché la densità è necessaria?

Se le classi hanno ampiezze differenti, confrontare solamente le frequenze può essere fuorviante.

Esempio:

La seconda classe contiene più osservazioni, ma è anche più ampia. Nell’istogramma avrà un rettangolo più largo e più basso.

3.4 Area dei rettangoli dell’istogramma

In un istogramma, la frequenza di una classe non è rappresentata necessariamente dall’altezza del

Formula

Per ogni classe j:

$$\text{area della barra}_{j} = \text{altezza} \times \text{base}$$

Nell’istogramma:

• la base è l’ampiezza della classe: $\delta_{j}$

• l’altezza è la densità relativa di frequenza: $h_{j} = \frac{f_{j}}{\delta_{j}}$

Quindi: $\text{area della barra}_{j} = h_{j} \cdot \delta_{j}$

Sostituendo la formula della densità:

$$\text{area della barra}_{j} = \frac{f_{j}}{\delta_{j}} \cdot \delta_{j} = f_{j}$$

L’ampiezza della classe si semplifica. Rimane la frequenza relativa.

Esempio semplice

Supponiamo di avere la classe: [0,10) con frequenza relativa: $f_{1} = 0,30$

L’ampiezza della classe è: $\delta_{1} = 10 - 0 = 10$

La densità è: $h_{1} = \frac{0,30}{10} = 0,03$

Nel grafico il rettangolo avrà:

• base pari a 10;
• altezza pari a 0,03.

La sua area sarà: $10 \cdot 0,03 = 0,30$

Quindi il rettangolo rappresenta il 30% delle osservazioni.

Perché è importante?

Il concetto diventa fondamentale quando le classi hanno ampiezze diverse.

Consideriamo due classi:

La seconda classe contiene più osservazioni: 0,40>0,30

Tuttavia il suo rettangolo sarà più basso: 0,02<0,03

Questo avviene perché la seconda classe è più larga.

Le aree restano corrette:
$0,03 \cdot 10 = 0,30$

$$0,02 \cdot 20 = 0,40$$

La seconda barra è più larga e più bassa, ma ha comunque un’area maggiore.

Area totale dell’istogramma

Poiché la somma delle frequenze relative è sempre pari a 1:

$$\overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j} = 1$$

anche la somma delle aree di tutti i rettangoli è pari a 1:

$$\text{area totale dell’istogramma} = 1$$

In percentuale:

1=100%

Quindi l’intero istogramma rappresenta il 100% delle osservazioni.

Regola da ricordare
Nell’istogramma, area = frequenza

Se le classi hanno ampiezze diverse: altezza = densità, non frequenza

4. Rappresentazioni grafiche

3.5 Diagramma a barre

È indicato soprattutto per:

• variabili qualitative;
• variabili quantitative discrete con poche modalità.

Ogni modalità è rappresentata da una barra. Le barre sono separate perché le modalità sono distinte.

L’altezza può rappresentare:

• frequenza assoluta;
• frequenza relativa;
• frequenza percentuale.

3.6 Diagramma a bastoncini

È adatto alle variabili quantitative discrete.

Ogni valore è rappresentato da un segmento verticale. Serve a evidenziare che i valori possibili sono puntuali e separati.

3.7 Diagramma a torta

È utilizzabile principalmente per variabili qualitative nominali o ordinali con poche modalità.

L’ampiezza dell’angolo associato alla modalità j è:

$$\alpha_{j} = f_{j} \cdot 360^{\circ}$$

Esempio: $f_{j} = 0,25 \Rightarrow \alpha_{j} = 0,25 \cdot 360^{\circ} = 90^{\circ}$

3.8 Istogramma

È utilizzato per variabili quantitative continue o per dati raggruppati in classi.

Caratteristiche essenziali:

• le barre sono adiacenti;
• la base rappresenta l’ampiezza della classe;
• l’altezza rappresenta la densità di frequenza;
• l’area rappresenta la frequenza.

Differenza fondamentale tra diagramma a barre e istogramma

5. Funzione di ripartizione empirica

La funzione di ripartizione empirica indica la quota di osservazioni minori o uguali a un determinato valore x.

Si definisce:

$$F_{n}(x) = \frac{1}{n} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} = \mathbf{1}_{x_{i} \leq x}$$

dove $\mathbf{1}_{x_{i} \leq x}$ vale:

• 1 se $x_{i} \leq x$;
• 0 se $x_{i} > x$.

In termini più semplici: $F_{n}(x) = \frac{\text{numero di osservazioni} \leq x}{n}$

5.1 Proprietà fondamentali

La funzione di ripartizione empirica:

1. assume valori compresi tra 0 e 1;

9. è non decrescente;
10. è una funzione a gradini;
11. è continua da destra;
12. tende a 0 per $x \rightarrow - \infty$;
13. tende a 1 per $x \rightarrow + \infty$.

5.2 Interpretazione

Se: $F_{n}(57) = 0,85$ significa che l’85% delle osservazioni è minore o uguale a 57. Non significa che il valore 57 compare nell’85% dei casi.

5.3 Come costruirla

Supponiamo di avere i dati ordinati: 1;2;2;4;5

La numerosità è: n=5

La funzione di ripartizione empirica è:

$$F_{n}(x) = \{\begin{matrix} 0 & x < 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \leq x < 2 \\ \frac{3}{5} & 2 \leq x < 4 \\ \frac{4}{5} & 4 \leq x < 5 \\ 1 & x \geq 5 \end{matrix}$$

Il salto in corrispondenza del valore 2 è pari a: $\frac{2}{5}$ perché il valore 2 compare due volte.

5.4 Collegamento con le frequenze cumulate

Per una modalità osservata $x_{j}$:

$$F_{n}(x_{j}) = F_{j}$$

dove $F_{j}$ è la frequenza relativa cumulata fino a $x_{j}$.

5.5 Collegamento con l’istogramma

Se un istogramma rappresenta densità relative, la frequenza relativa di una classe corrisponde alla sua area: $f_{j} = h_{j}\delta_{j}$

La funzione cumulata si ottiene sommando progressivamente le aree delle classi precedenti.

Se viene richiesta una stima interna a una classe e si assume una distribuzione uniforme all’interno dell’intervallo, la funzione cumulata cresce linearmente entro quella classe.

Attenzione

La funzione di ripartizione empirica costruita sui dati grezzi è a gradini.

La funzione cumulata interpolata a partire da un istogramma può invece essere rappresentata con segmenti lineari. Non bisogna confondere le due costruzioni.

6. Indici di posizione

Gli indici di posizione sintetizzano il livello centrale o la collocazione dei dati.

6.1 Media aritmetica

Per dati grezzi: $\overline{x} = \frac{1}{n} \cdot \overset{n}{\sum_{i = 1}}x_{i}$

Per una distribuzione di frequenza: $\overline{x} = \frac{1}{n} \cdot \overset{k}{\sum_{j = 1}}n_{j}x_{j}$

oppure, usando le frequenze relative: $\overline{x} = \overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j}x_{j}$

Esempio

La numerosità è: n=2+3+1=6

La media è: $\overline{x} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$

6.2 Media per dati raggruppati in classi

Se sono disponibili solamente le classi, si utilizza il centro di ciascuna classe:

$$\overline{x} \approx \overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j}c_{j}$$

Il risultato è approssimato, perché non conosciamo i singoli valori interni alle classi.

6.3 Proprietà della media

La somma degli scarti dalla media è pari a zero:

$$\overset{n}{\sum_{i = 1}}(x_{i} - \overline{x}) = 0$$

La media minimizza la somma dei quadrati degli scarti:

$\overset{n}{\sum_{i = 1}}(x_{i} - a)^{2}$ tra tutti i possibili valori di a.

La media utilizza tutte le osservazioni, ma è sensibile ai valori estremi.

Esempio: 20;21;22;23;100
La media è:
$\overline{x} = 37,2$

Il valore 37,2 non rappresenta bene il gruppo centrale, perché il dato 100 altera sensibilmente il risultato.

6.4 Mediana

La mediana è il valore che occupa una posizione centrale dopo aver ordinato i dati.

Dati con numerosità dispari

Se n è dispari, la mediana è l’osservazione in posizione: $\frac{n + 1}{2}$

Esempio: 2;4;5;7;10
La mediana è: 5

Dati con numerosità pari

In molti testi introduttivi, se n è pari, la mediana viene calcolata come media dei due valori centrali.

Esempio: 2;4;7;10

Mediana convenzionale: $\frac{4 + 7}{2} = 5,5$

Convenzione importante per l’esame

Negli esercizi basati sulla funzione di ripartizione empirica, utilizza la definizione del quantile adottata nel corso:

$x_{p} =$$\min${ $x:F_{n}(x) \geq p$}

Il quantile di ordine p è il più piccolo valore x per il quale la funzione di ripartizione empirica raggiunge o supera p.

Quindi: $x_{p} = x_{\lceil np\rceil}$

dove:

• n è il numero totale di osservazioni;
• p è il livello del quantile;
• $\lceil np\rceil$ significa arrotondare np all’intero superiore;
• $x_{(k)}$ è il k-esimo dato dopo aver ordinato i valori in senso crescente.

Con i dati: [2;4;7;10] il quantile empirico di ordine (0,5) è: $x_{0,5} = x_{\lceil 4 \cdot 0,5\rceil} = x_{2} = 4$

Questo risultato è diverso dalla mediana convenzionale pari a 5,5.

Quando la traccia parla di quantile empirico o utilizza $F_{n}(x)$, segui la definizione:

$x_{p} =$$\min${ $x:F_{n}(x) \geq p$}

Non mescolare convenzioni differenti all’interno dello stesso esercizio.

6.5 Moda

La moda è la modalità con frequenza più elevata.

Una distribuzione può essere:

• unimodale: una sola moda;
• bimodale: due mode;
• multimodale: più mode;
• amodale: nessun valore prevalente.

La moda può essere calcolata anche per variabili qualitative nominali.

Moda nei dati raggruppati in classi

Se le classi hanno la stessa ampiezza, la classe modale è quella con frequenza più alta.

Se le classi hanno ampiezze differenti, la classe modale è quella con densità più alta, non necessariamente quella con frequenza più alta.

6.6 Quantili

Il quantile empirico di ordine p, con 0<p<1, è:

$x_{p} =$$\min${ $x:F_{n}(x) \geq p$}

Procedura operativa:

1. ordina i dati;

2. calcola: $k = \lceil np\rceil$

3. seleziona l’osservazione in posizione k: $x_{p} = x_{(k)}$

Esempio

Dati ordinati: [2;3;4;5;6;8;9;12;15;20]

Calcolare $x_{0,8}$.

n=10

$k = \lceil np\rceil$
$k = \lceil 10 \cdot 0,8\rceil = 8$
Quindi: $x_{0,8} = x_{(8)} = 12$

6.7 Quartili

I quartili sono quantili particolari:

$$Q_{1} = x_{0,25}$$

$$Q_{2} = x_{0,50}$$

$$Q_{3} = x_{0,75}$$

Interpretazione:

• $Q_{1}$ : almeno il 25% dei dati è minore o uguale a $Q_{1}$;
• $Q_{2}$: almeno il 50% dei dati è minore o uguale a $Q_{2}$;
• $Q_{3}$: almeno il 75% dei dati è minore o uguale a $Q_{3}$.

6.8 Quantili per dati raggruppati in classi

Se sono disponibili solamente dati raggruppati in classi, il quantile può essere stimato tramite interpolazione lineare:

$$x_{p} \approx L_{j} + \delta_{j} \cdot \frac{p - F_{j - 1}}{f_{j}}$$

dove:

• $L_{j}$ è l’estremo inferiore della classe che contiene il quantile;
• $\delta_{j}$ è l’ampiezza della classe;
• $F_{j - 1}$ è la frequenza relativa cumulata prima della classe;
• $f_{j}$ è la frequenza relativa della classe;
• $p$ è l’ordine del quantile.

Questa formula presuppone che le osservazioni siano distribuite uniformemente all’interno della classe.

7. Indici di variabilità

Gli indici di variabilità misurano quanto i valori sono dispersi.

Due distribuzioni possono avere la stessa media ma una dispersione molto diversa.

Esempio:

A: 9;10;11 B: 0;10;20

Entrambe hanno media 10, ma la distribuzione B è molto più dispersa.

7.1 Campo di variazione

Il range o campo di variazione è: $R = x_{\max} - x_{\min}$

È semplice da calcolare, ma dipende solamente da due valori ed è molto sensibile agli outlier.

7.2 Differenza interquartile

La differenza interquartile, indicata anche con IQ o IQR, è: $IQ = Q_{3} - Q_{1}$

Misura l’ampiezza dell’intervallo che contiene il 50% centrale dei dati.

È un indice robusto perché risente poco dei valori estremi.

7.3 Varianza descrittiva

La varianza descrittiva è:

$s^{2} = \frac{1}{n}\overset{n}{\sum_{i = 1}}(x_{i} - \overline{x})^{2}$

Per una distribuzione di frequenza:

$$s^{2} = \overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j}(x_{j} - \overline{x})^{2}$$

oppure:

$$s^{2} = \frac{1}{n}\overset{k}{\sum_{j = 1}}n_{j}(x_{j} - \overline{x})^{2}$$

Formula abbreviata

La formula più rapida negli esercizi è (2ab si semplifica):

$s^{2} = \frac{1}{n}\overset{n}{\sum_{i = 1}}x_{i}^{2} - {\overline{x}}^{2}$

Per dati con frequenze:

$$s^{2} = \overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j}x_{j}^{2} - {\overline{x}}^{2}$$

Attenzione al denominatore

In statistica descrittiva si utilizza normalmente: $\frac{1}{n}$

Nell’inferenza statistica compare spesso la varianza campionaria corretta:

$$S^{2} = \frac{1}{n - 1}\overset{n}{\sum_{i = 1}}(x_{i} - \overline{x})^{2}$$

Non sono la stessa cosa.

Quando l’esercizio riguarda la semplice descrizione dei dati, utilizza la formula indicata nel materiale del corso. Se viene richiesto uno stimatore corretto della varianza della popolazione, il denominatore diventa (n-1).

7.4 Deviazione standard

Lo scarto quadratico medio o deviazione standard è: $s = \sqrt{s^{2}}$

La varianza è espressa nell’unità di misura originaria elevata al quadrato. La deviazione standard, invece, possiede la stessa unità di misura dei dati.

Esempio:

• dati espressi in euro;
• varianza espressa in euro quadrati;
• deviazione standard espressa in euro.

7.5 Coefficiente di variazione

Il coefficiente di variazione è: $CV = \frac{s}{|\overline{x}|}$

Talvolta viene espresso in percentuale: $CV\% = CV \cdot 100$

È un indice puro, privo di unità di misura.

Serve per confrontare la variabilità relativa di distribuzioni:

• espresse in unità di misura differenti;
• caratterizzate da medie diverse.

Esempio

Distribuzione A:

${\overline{x}}_{A} = 100,s_{A} = 10$
$CV_{A} = \frac{10}{100} = 0,10$

Distribuzione B:

$${\overline{x}}_{B} = 20,s_{B} = 4$$

$CV_{B} = \frac{4}{20} = 0,20$

Sebbene A abbia una deviazione standard maggiore, B presenta una dispersione relativa più elevata.

Attenzione

Il coefficiente di variazione non è informativo quando la media è pari a zero o molto vicina a zero.

7.6 Indici robusti e non robusti

8. Boxplot

Il boxplot sintetizza la distribuzione utilizzando quartili, differenza interquartile e possibili valori anomali.

8.1 Elementi principali

La scatola è delimitata da: $Q_{1}\text{e}Q_{3}$

La sua ampiezza è: $IQ = Q_{3} - Q_{1}$
All’interno della scatola viene indicata la mediana: $Q_{2}$

La scatola contiene il 50% centrale dei dati.

8.2 Soglie per individuare gli outlier

Si calcolano le soglie:

$L = Q_{1} - 1,5 \cdot IQ$
$U = Q_{3} + 1,5 \cdot IQ$

Sono considerati potenziali outlier i dati: $x_{i} < L$ oppure: $x_{i} > U$

8.3 Posizione corretta dei baffi

I baffi non arrivano automaticamente al minimo e al massimo assoluti.

Arrivano:

• al più piccolo valore osservato che non è un outlier;
• al più grande valore osservato che non è un outlier.

Gli eventuali valori anomali vengono rappresentati separatamente tramite punti.

Esempio

Dati ordinati: [1;2;3;4;5;6;7;20]

Supponiamo:

$$Q_{1} = 2$$

$$Q_{3} = 6$$

$IQ = 6 - 2 = 4$

Soglia superiore: $U = 6 + 1,5 \cdot 4 = 12$

Il valore 20 è maggiore di 12, quindi è un outlier.

Il baffo superiore arriva a 7, non a 20.

8.4 Interpretazione del boxplot

Dal boxplot è possibile leggere:

• livello centrale dei dati;
• variabilità del 50% centrale;
• eventuale asimmetria;
• presenza di outlier;
• confronto tra distribuzioni differenti.

Possibili segnali di asimmetria positiva:

• baffo superiore più lungo;
• mediana spostata verso il bordo inferiore della scatola;
• outlier soprattutto verso valori elevati.

Possibili segnali di asimmetria negativa:

• baffo inferiore più lungo;
• mediana spostata verso il bordo superiore della scatola;
• outlier soprattutto verso valori bassi.

9. Forma della distribuzione

9.1 Distribuzione simmetrica

Una distribuzione è simmetrica quando la parte sinistra e la parte destra sono speculari rispetto a un valore centrale.

In una distribuzione simmetrica:

$$\text{media} = \text{mediana}$$

quando la media esiste.

Non è sempre corretto affermare che anche la moda coincide con esse. La coincidenza tra media, mediana e moda è tipica delle distribuzioni simmetriche unimodali, come la distribuzione normale.

Una distribuzione simmetrica può avere:

• due mode;
• più mode;
• nessuna moda chiaramente identificabile.

9.2 Asimmetria positiva

Una distribuzione presenta asimmetria positiva quando la coda più lunga si trova verso destra.

Generalmente:

$$\text{media} > \text{mediana}$$

perché i valori elevati trascinano la media verso destra.

Esempio tipico: distribuzione dei redditi.

9.3 Asimmetria negativa

Una distribuzione presenta asimmetria negativa quando la coda più lunga si trova verso sinistra.

Generalmente:

$$\text{media} < \text{mediana}$$

perché i valori bassi trascinano la media verso sinistra.

Precisazione

Le relazioni tra media e mediana sono segnali utili, ma non costituiscono regole matematiche assolute

10. Trasformazioni lineari dei dati

Queste proprietà permettono di risolvere rapidamente molti esercizi.

Supponiamo di trasformare ogni dato secondo la formula: $Y = a + bX$

10.1 Media

$$\overline{y} = a + b\overline{x}$$

10.2 Varianza

$$s_{Y}^{2} = b^{2}s_{X}^{2}$$

L’aggiunta di una costante a non modifica la varianza.

10.3 Deviazione standard

$$s_{Y} = |b|s_{X}$$

10.4 Coefficiente di variazione

Il coefficiente di variazione rimane invariato se tutti i dati vengono moltiplicati per una costante positiva.

Non rimane necessariamente invariato se viene aggiunta una costante, perché cambia la media ma non cambia la deviazione standard.

10.5 Quantili

Se b>0: $y_{p} = a + bx_{p}$
Se b<0, l’ordine dei dati viene invertito e bisogna prestare maggiore attenzione.

11. Standardizzazione

La standardizzazione trasforma un valore $x_{i}$ nel corrispondente valore standardizzato:

$$z_{i} = \frac{x_{i} - \overline{x}}{s}$$

Interpretazione:

• $z_{i}$>0: osservazione superiore alla media;
• $z_{i}$<0: osservazione inferiore alla media;
• $z_{i}$=0: osservazione uguale alla media;
• |$z_{i}$| elevato: osservazione distante dalla media.

Esempio:

$\overline{x} = 20,s = 4,x_{i} = 28$
$z_{i} = \frac{28 - 20}{4} = 2$

Il valore 28 si trova due deviazioni standard sopra la media.

La distribuzione dei valori standardizzati ha:

$\overline{z} = 0$, $s_{z} = 1$

12. Calcoli con dati raggruppati in classi

Quando vengono fornite solamente le classi, non si conoscono i singoli dati. È possibile ricavare valori approssimati sostituendo ciascuna classe con il proprio centro.

12.1 Media approssimata

$\overline{x} \approx \overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j}c_{j}$

12.2 Varianza approssimata

$$s^{2} \approx \overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j}(c_{j} - \overline{x})^{2}$$

oppure: $s^{2} \approx \overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j}c_{j}^{2} - {\overline{x}}^{2}$

12.3 Errore da evitare

Il centro della classe non deve essere utilizzato se sono disponibili i dati grezzi. È solamente uno strumento di approssimazione quando i valori individuali non sono noti.

13. Procedura per risolvere gli esercizi tipici

13.1 Esercizio con dati grezzi

1. Ordina i dati in senso crescente.

14. Conta la numerosità n.
15. Costruisci la tabella delle frequenze.
16. Calcola le frequenze cumulate.
17. Scrivi $F_{n}(x)$ a tratti, se richiesto.
18. Per il quantile $x_{p}$, calcola: $k = \lceil np\rceil$
19. Se richiesto, calcola: $IQ = Q_{3} - Q_{1}$
20. Determina le soglie del boxplot: $Q_{1} - 1,5IQ$, $Q_{3} + 1,5IQ$
21. Individua i baffi e gli eventuali outlier.
22. Calcola media, varianza e coefficiente di variazione.

13.2 Esercizio con dati raggruppati in classi

1. Calcola l’ampiezza di ogni classe: $\delta_{j} = b_{j} - a_{j}$

7. Ricava le frequenze relative, se non sono già fornite: $f_{j} = \frac{n_{j}}{n}$
8. Calcola la densità: $h_{j} = \frac{f_{j}}{\delta_{j}}$

4. Per disegnare l’istogramma, usa:

   base = ampiezza della classe;

   altezza = densità;

   area = frequenza relativa.

5. Per trovare la frequenza di una classe a partire dall’istogramma: $f_{j} = h_{j}\delta_{j}$

6. Per calcolare una frequenza cumulata, somma le aree delle classi precedenti.

9. Per calcolare media e varianza approssimate, usa i centri delle classi.

14. Mini-esempio completo

Consideriamo i dati ordinati: [1;2;2;3;4;5;5;5;7;10]

Frequenze

Funzione di ripartizione empirica

$$F_{n}(x) = \{\begin{matrix} 0 & x < 1 \\ 0,10 & 1 \leq x < 2 \\ 0,30 & 2 \leq x < 3 \\ 0,40 & 3 \leq x < 4 \\ 0,50 & 4 \leq x < 5 \\ 0,80 & 5 \leq x < 7 \\ 0,90 & 7 \leq x < 10 \\ 1 & x \geq 10 \end{matrix}$$

Quantili empirici

$$Q_{1} = x_{0,25}$$

$$k = \lceil 10 \cdot 0,25\rceil = 3$$

$$Q_{1} = x_{(3)} = 2$$

$$Q_{2} = x_{0,50}$$

$$k = \lceil 10 \cdot 0,50\rceil = 5$$

$$Q_{2} = x_{(5)} = 4$$

$$Q_{3} = x_{0,75}$$

$$k = \lceil 10 \cdot 0,75\rceil = 8$$

$$Q_{3} = x_{(8)} = 5$$

Differenza interquartile

$$IQ = Q_{3} - Q_{1} = 5 - 2 = 3$$

Soglie del boxplot

$L = Q_{1} - 1,5IQ = 2 - 1,5 \cdot 3 = - 2,5$
$U = Q_{3} + 1,5IQ = 5 + 1,5 \cdot 3 = 9,5$

Il valore 10 supera 9,5, quindi è un outlier.

I baffi arrivano:

• inferiormente a 1;
• superiormente a 7.

Moda

La moda è: 5

perché compare tre volte.

Media
$\overline{x} = \frac{1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 7 + 10}{10} = \frac{44}{10} = 4,4$

La media è superiore alla mediana empirica pari a 4. La presenza del valore elevato 10 spinge la media verso destra.

Errore tipico: media, mediana e moda coincidono sempre nelle distribuzioni simmetriche?

La coincidenza completa è tipica delle distribuzioni simmetriche unimodali. La simmetria, da sola, non garantisce una moda unica.