1. Calcolo elementare delle probabilità

1.1 Definizioni fondamentali e assiomatizzazione della probabilità

Popolazione

La popolazione è un insieme di individui o unità statistiche specificato in un determinato contesto, che può includere sia un ambito spaziale (ad esempio, “residenti in Italia”) sia un intervallo temporale (ad esempio, “nel 2021”).
Non necessariamente la popolazione si riferisce solo a individui umani, ma può riguardare qualunque tipo di entità oggetto di studio (es. stati, aziende, animali).
La popolazione può anche essere di numerosità infinita, ad esempio se si considerano eventi su un periodo temporale illimitato o se si includono generazioni future.

Individui (Unità Statistiche)

Gli individui o unità statistiche sono gli elementi che compongono la popolazione.
Ad esempio, se la popolazione è costituita dagli stati occidentali, gli individui saranno i singoli stati.
Ogni individuo può presentare caratteristiche o valori diversi riguardo ai fenomeni di interesse.

Variabile Statistica

La variabile statistica è il fenomeno d’interesse che si manifesta in modo diverso su ciascuna unità statistica.
Esempi di variabili statistiche possono essere il reddito familiare, l’altezza, il livello di istruzione, ecc.

Campione

Il campione è un sottoinsieme limitato di individui estratti dalla popolazione di interesse.
Un campionamento probabilistico permette di quantificare l’incertezza campionaria. La selezione casuale non garantisce, da sola, che ogni singolo campione sia rappresentativo: contano anche la copertura della popolazione, le mancate risposte e la qualità delle misurazioni.
Un campione non garantisce una conoscenza certa al 100% della popolazione, ma le informazioni ottenute dallo studio del campione vengono utilizzate per stimare o inferire proprietà della popolazione.

Campione Casuale Semplice

Nel campionamento casuale semplice senza reinserimento di numerosità fissata n, ogni sottoinsieme di n unità della popolazione ha la stessa probabilità di essere estratto. La sola uguaglianza delle probabilità individuali di inclusione non basta a definire questo disegno.

Descrizione

La descrizione è la rappresentazione o la sintesi dei dati osservati, che possono riguardare il campione o l’intera popolazione.

Generalizzazione e Inferenza Statistica

La generalizzazione consiste nel trarre previsioni o prendere decisioni basate sulle informazioni ottenute dal campione.
Da qui nasce l’inferenza statistica, che permette di fare previsioni su fenomeni più ampi, come ad esempio i risultati di un’elezione, partendo dai dati raccolti in un campione.

Generalizzazione e Inferenza Statistica

La generalizzazione consiste nel fare previsioni o prendere decisioni basate sulle informazioni raccolte da un campione.
Da questa attività nasce l’inferenza statistica, ovvero il processo che permette di estendere le conclusioni ottenute dal campione all’intera popolazione.
Un esempio tipico di inferenza statistica è la previsione di un risultato elettorale sulla base di un sondaggio su un campione di elettori.

Variabili Statistiche

Le variabili statistiche si esprimono in forma numerica o categorica e si dividono in due grandi gruppi:

Variabili Qualitative (o Categoriali)
Rappresentano modalità che indicano l’appartenenza a un gruppo o categoria. Possono essere:

Nominali: variabili che non possono essere ordinate

Esempi: genere, gruppo sanguigno, colore degli occhi

Ordinali: variabili che possono essere ordinate
Esempi: gradimento, classi di grandezza aziendali.

Variabili Quantitative (o Numeriche)
Queste si suddividono ulteriormente in:

Continue: assumono valori su un intervallo continuo, permettendo l’uso di numeri decimali.
Esempi: peso, altezza.

Discrete: assumono un insieme finito o numerabile di valori distinti, non necessariamente interi.
Esempi: numero di figli per famiglia, numero di casi COVID in un mese.

Nota: la distinzione dipende dall’insieme dei valori possibili, non dalla presenza di decimali. Un importo estratto tra 0,50, 1 e 2 euro è discreto; una durata modellata su un intervallo è continua, anche se viene arrotondata nella registrazione.

Variabili Qualitative Ordinali e Nominali

• Variabili Qualitative Ordinabili (Ordinali)
  Le modalità possono essere ordinate secondo una relazione di grandezza.
  Esempi: valutazione scolastica (basso, buono, ottimo).
• Variabili Qualitative Non Ordinabili (Nominali)
  Le modalità non sono ordinabili tra loro.
  Esempio: sesso (uomo/donna), colore degli occhi.

Per analizzare variabili qualitative si utilizzano strumenti statistici specifici.

Scale di Misura delle Variabili Quantitative

• Scala di Rapporto
  Ha un’origine e uno zero assoluti e ben definiti, che consentono di fare confronti di rapporto.
  Esempio: peso corporeo — un uomo di 100 kg pesa il doppio di uno di 50 kg; cambiando l’unità di misura (kg, libbre) la proporzione resta invariata.
• Scala Intervallare
  Lo zero non è assoluto, ma arbitrario, quindi i rapporti tra valori non sono sempre significativi.
  Esempio: temperatura in gradi Celsius — 20°C non è il doppio di 10°C; convertendo in Fahrenheit i rapporti cambiano, anche se la differenza resta la stessa.

Ruolo della Statistica e della Teoria delle Probabilità

• La statistica serve a limitare gli errori e l’incertezza derivanti dall’analisi di un campione invece dell’intera popolazione.
• La teoria delle probabilità fornisce criteri e metodi per quantificare il grado di certezza o incertezza legato agli eventi aleatori nei campioni.

Concetti Base della Teoria delle Probabilità

1. Esperimento Casuale
   Un’esperienza il cui esito non è prevedibile con certezza (es. lancio di un dado, estrazione al lotto, lancio di un’impresa).
2. Esito Aleatorio (Evento Elementare)
   Un singolo possibile risultato dell’esperimento casuale. Esempi: il numero uscito nel lancio del dado, il voto ottenuto in un esame.
3. Evento
   Qualsiasi enunciato che può essere vero o falso, basato sugli esiti dell’esperimento.
4. Evento Casuale
   Un evento il cui verificarsi è incerto; cioè non è noto se sia vero o falso prima che l’esperimento si svolga. Esempio: “Passerò l’esame” è un evento casuale.

Esempio di Evento Elementare e Spazio Campionario

Nel lancio di un dado a 6 facce, gli esiti possibili sono:

$$\{ 1,2,3,4,5,6\}$$

Questo insieme si chiama spazio campionario (denotato Ω) e contiene tutti gli eventi elementari.
L’evento certo, cioè quello che si verifica sicuramente, è Ω stesso.

• Un evento è un sottoinsieme di Ω.

Esempio di Evento Aleatorio

Definiamo l’evento

$$A = \{\text{esce un numero pari}\} = \{ 2,4,6\}$$

L’evento A si verifica se il numero uscito dal dado è pari.

Evento Certo nell’Esempio dell’Esame

Se consideriamo il risultato di un esame con voti da 0 a 30 e lode, l’evento certo è:

$$\Omega = \{ 0,1,2,\ldots,30,30\text{L}\}$$

Ovvero, il voto ottenuto sarà sicuramente uno di questi.

Probabilità come misura

La probabilità è una funzione che assegna a ogni evento un numero reale tra 0 e 1. Secondo l’approccio assiomatico di Kolmogorov, una misura di probabilità P deve soddisfare tre assiomi fondamentali:

1. Non negatività: $P(A) \geq 0$ per ogni evento A
2. Normalizzazione: $P(\Omega) = 1$ (la probabilità che si verifichi uno qualunque di tutti gli esiti possibili (spazio campionario) è pari a 1, cioè certezza).

Esempio pratico:

Lancio di un dado:

Spazio campionario: $\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6\}$

La probabilità che esca un numero compreso tra 1 e 6 è: $P(\Omega) = P(1 \cup 2 \cup 3 \cup 4 \cup 5 \cup 6) = 1$

Perché qualcosa tra quei sei numeri uscirà sicuramente: l'esperimento ha sempre un risultato.

3. Additività numerabile (per eventi disgiunti): Se $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ sono disgiunti ($A_{i} \cap A_{j} = \varnothing$), allora

$P\left( \bigcup_{i = 1}^{\infty}A_{i} \right) = \overset{\infty}{\sum_{i = 1}}P(A_{i})$

Traduzione in parole semplici:

Se hai una successione infinita di eventi $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ che non si sovrappongono tra loro (cioè sono mutuamente disgiunti, ovvero: $A_{i} \cap A_{j} = \varnothing$ per ogni $i \neq j$ ), allora la probabilità che si verifichi almeno uno di questi eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

Esempio pratico:

Immagina di avere:

• $$A_{1} = \{\text{esce 1 col dado}\},$$
• $$A_{2} = \{\text{esce 2 col dado}\},$$
• …
• $$A_{6} = \{\text{esce 6 col dado}\}$$

Questi eventi sono mutuamente disgiunti: non possono accadere contemporaneamente. Allora:

$$P\left( \bigcup_{i = 1}^{6}A_{i} \right) = \overset{6}{\sum_{i = 1}}P(A_{i}) = \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{6} = 1$$

Stessa cosa vale anche se ci sono infiniti eventi, purché siano disgiunti tra loro.

Proprietà derivate

• $P(\varnothing) = 0$ (se un’evento è impossibile la probabilità assegnata è 0).
• $P(\Omega) = 1$ (evento certo)

• $P(A^{c}) = 1 - P(A)$ (evento complementare)
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Leggi di De Morgan

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$

$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

Probabilità che si verifichi soltanto uno dei due eventi

“Solo uno tra A e B è vero” significa:

$$(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$

Poiché i due eventi sono incompatibili:

$$P(\text{solo uno}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$$

Equivalentemente:

$$P(\text{solo uno}) = 1 - P(A \cap B) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$$

Tabella dei simboli e significati in probabilità

1.2 Probabilità condizionata

Definizione

La probabilità condizionata di un evento A dato che si è verificato B (con $P(B) > 0$) è:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Proprietà

Moltiplicazione: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Esempio: Probabilità condizionata

Supponiamo di avere un mazzo di 52 carte standard (senza jolly). Vogliamo calcolare la probabilità di pescare una carta fante (J) sapendo che la carta estratta è di cuori.

Passo 1: Definire gli eventi

• A= evento "la carta estratta è un fante"
• B= evento "la carta estratta è di cuori"

Passo 2: Calcolare le probabilità

• Probabilità di pescare una carta di cuori: $P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ (perché ci sono 13 carte di cuori su 52 totali)
• Probabilità di pescare una carta che sia sia fante e di cuori (cioè il fante di cuori): $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$ (c’è una sola carta che è il fante di cuori)

Passo 3: Calcolare la probabilità condizionata

$P(A \mid B)$ cioè la probabilità che la carta sia un fante sapendo che è di cuori:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{52}}{\frac{13}{52}} = \frac{1}{13} \approx 0.0769$$

Interpretazione

Se sai che la carta estratta è di cuori, allora la probabilità che sia un fante è $\frac{1}{13}$, perché tra le 13 carte di cuori c’è esattamente un fante.

1.3 Indipendenza stocastica

Definizione

Due eventi A e B sono indipendenti se e solo se:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

In altre parole, la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è il prodotto delle loro probabilità individuali.

Attenzione: indipendenza ≠ disgiunzione!

• Eventi disgiunti (o mutuamente esclusivi) sono quelli che non possono accadere contemporaneamente:

$$A \cap B = \varnothing \Longrightarrow P(A \cap B) = 0$$

• Se due eventi sono disgiunti e hanno probabilità positive, non possono essere indipendenti, perché:

$$P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \times P(B) > 0$$

Esempio pratico di indipendenza

Immagina di lanciare due monete diverse, Moneta 1 e Moneta 2.

• Evento A: "Moneta 1 esce testa"
• Evento B: "Moneta 2 esce testa"

Le probabilità sono:

• $$P(A) = \frac{1}{2}$$
• $$P(B) = \frac{1}{2}$$
• $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ (entrambi escono testa)

Verifica:

$$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$$

Quindi A e B sono indipendenti.

Esempio pratico di disgiunzione

Prendi un dado a 6 facce.

• Evento C: "esce un numero pari" = {2, 4, 6}
• Evento D: "esce un numero dispari" = {1, 3, 5}

Questi due eventi non possono verificarsi insieme, quindi sono disgiunti:

$$C \cap D = \varnothing \Longrightarrow P(C \cap D) = 0$$

Inoltre:

$$P(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},P(D) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Se fossero indipendenti, dovremmo avere:

$$P(C \cap D) = P(C) \times P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Ma invece:

$$P(C \cap D) = 0 \neq \frac{1}{4}$$

Quindi gli eventi disgiunti non sono indipendenti.

1.4 Teorema di Bayes

Formula

Se gli eventi $B_{1},B_{2},...,B_{n}$ sono una partizione dello spazio Ω (mutuamente disgiunti [nessuna coppia di insiemi ha elementi in comune] e con$\bigcup B_{i} = \Omega$ [Ogni elemento di $\Omega$ appartiene almeno a uno degli insiemi $B_{i}$]), allora:

$$P(B_{i}|A) = \frac{P(A|B_{i}) \cdot P(B_{i})}{\sum_{j = 1}^{n}P(A|B_{j}) \cdot P(B_{j})}$$

Interpretazione

• Serve per invertire le probabilità condizionate, molto usato in statistica bayesiana.
• Tipico esempio: test diagnostici (probabilità di essere malato dato che il test è positivo).

Esercizio sul Teorema di Bayes

Testo:
Un test diagnostico individua una malattia con:

• probabilità di test positivo dato che il paziente è malato: $P( + |M) = 0,95$
• probabilità di test positivo dato che il paziente è sano: $P( + |\overline{M}) = 0,10$
• probabilità di essere malato nella popolazione: $P(M) = 0,01$

Calcola:
a) la probabilità che una persona con test positivo sia davvero malata: $P(M| + )$

Svolgimento:

Applichiamo il Teorema di Bayes:

Formula:

$$P(M| + ) = \frac{P( + |M) \cdot P(M)}{P( + |M) \cdot P(M) + P( + |\overline{M}) \cdot P(\overline{M})}$$

Calcolo:

$$P(M| + ) = \frac{0,95 \cdot 0,01}{0,95 \cdot 0,01 + 0,10 \cdot 0,99} = \frac{0,0095}{0,0095 + 0,099} = \frac{0,0095}{0,1085} \approx 0,0876$$

Risultato: $P(M| + ) \approx 8,76\%$

Interpretazione: nonostante il test sia affidabile, la bassa prevalenza della malattia nella popolazione riduce drasticamente la probabilità reale di essere malati in presenza di un test positivo.

Bayes: dal calcolo al significato

La probabilità a priori descrive quanto un evento è frequente prima di conoscere il nuovo risultato; la probabilità a posteriori incorpora quell’informazione. Nel precedente esempio, il 95% è la probabilità di un risultato positivo tra i malati, non la probabilità di essere malati tra i positivi. I denominatori sono diversi: invertire la condizione cambia il gruppo di riferimento.

Per capire il risultato dell’esercizio, immaginiamo 10.000 persone e usiamo conteggi attesi: 100 sono malate e 9.900 non lo sono. Il test produce in media 95 veri positivi e 990 falsi positivi. Tra i 1.085 positivi, dunque, soltanto 95 sono malati: 95 diviso 1.085 dà circa 8,76%. Questi sono numeri teorici attesi, non una previsione esatta per ogni gruppo reale di 10.000 persone.

Il denominatore della formula di Bayes è la probabilità totale dell’evidenza: somma tutti i modi alternativi e incompatibili in cui il risultato positivo può presentarsi. Quando la condizione cercata è rara, anche una quota contenuta di falsi positivi applicata al gruppo molto più numeroso dei non malati può pesare parecchio. È il motivo per cui il tasso di base non può essere ignorato.

La stessa logica vale fuori dalla diagnostica: si può aggiornare la probabilità che un pezzo provenga da una macchina dopo aver osservato un difetto, oppure che un messaggio sia indesiderato dopo aver rilevato certe parole. Prima del calcolo conviene scrivere esplicitamente che cosa è noto e che cosa si vuole conoscere, poi controllare che la probabilità dell’evento condizionante sia positiva.

Riassunto del capitolo:

La probabilità è una misura definita su uno spazio campionario che rispetta i tre assiomi di Kolmogorov: non negatività, normalizzazione e additività numerabile.

La probabilità condizionata permette di aggiornare le probabilità quando si conosce un evento, mentre l’indipendenza stocastica significa che il verificarsi di un evento non influisce sull’altro.

Il Teorema di Bayes consente di calcolare la probabilità a posteriori di un evento, dato un altro evento osservato, utile soprattutto quando c'è una partizione dello spazio campionario.

ESERCIZI CAPITOLO 1

Esercizio 1 – Probabilità condizionata e indipendenza

Testo:
In una classe, il 60% degli studenti ha superato l’esame di Statistica (evento S), mentre il 40% ha frequentato tutte le lezioni (evento F). Inoltre, il 30% degli studenti ha sia frequentato tutte le lezioni che superato l’esame.
Calcola:

$$P(S|F)$$

Verifica se gli eventi S e F sono indipendenti.

Svolgimento:

a) Calcolo della probabilità condizionata

$$P(S|F) = \frac{P(S \cap F)}{P(F)} = \frac{0,30}{0,40} = 0,75$$

Interpretazione: il 75% di chi ha frequentato tutte le lezioni ha superato l’esame.

b) Verifica dell’indipendenza

Due eventi sono indipendenti se:

$$P(S \cap F) = P(S) \cdot P(F)$$

Verifichiamo:

$$P(S) \cdot P(F) = 0,60 \cdot 0,40 = 0,24 \neq 0,30 = P(S \cap F)$$

Conclusione: S e F non sono indipendenti.

Esercizio 2 - Il Test della "Sindrome del Caffeinismo"

In una nota università, si stima che il 4% degli studenti soffra della Sindrome del Caffeinismo Acuto (M), una condizione causata dall'abuso di caffè durante la sessione estiva.

Per identificare gli studenti a rischio, il centro medico universitario ha sviluppato un test salivare rapido. I dati tecnici del test dicono che:

• La probabilità che il test dia esito positivo dato che lo studente è malato è del 90%.
• La probabilità che il test dia esito negativo dato che lo studente è sano è del 85%.

Durante uno screening di massa, uno studente viene estratto a caso e sottoposto al test, che risulta positivo (+).

Le tue domande:

1. Qual è la probabilità complessiva che uno studente scelto a caso risulti positivo al test? (Probabilità totale).
2. [Domanda Bayesiana] Qual è la probabilità reale che lo studente sia effettivamente malato, sapendo che il suo test è risultato positivo?

Dati:

$$P(M) = 0,04$$

$$P(\overline{M}) = 1 - 0,04 = 0,96$$

$$P( + |M) = 0,90 \Longrightarrow P( - |M) = 1 - 0,90 = 0,10$$

$$P( - |\overline{M}) = 0,85 \Longrightarrow P(P|\overline{M}) = 1 - 0,85 = 0,15$$

1. La probabilità che uno studente scelto a caso risulti positivo al test è data da:

$$P( + ) = P( + |M) \cdot P(M) + P( + |\overline{M}) \cdot P(\overline{M}) = 0.90 \cdot 0.04 + 0.15 \cdot 0,96 = 0,18 \Longrightarrow 18\%$$

2. La probabilità reale che lo studente sia effettivamente malato, sapendo che il suo test è risultato

positivo:

$$P(M| + ) = \frac{P( + |M) \cdot P(M)}{P( + |M) \cdot P(M) + P( + |\overline{M}) \cdot P(\overline{M})} = \frac{0.90 \cdot 0.04}{0.18} = 0,20 \Longrightarrow 20\%$$

Anche se il test sembra molto preciso (90% di sensibilità), la probabilità reale di essere malati dopo un test positivo è solo del 20%. Questo succede perché la malattia è molto rara (4%) e il numero assoluto di sani che risultano positivi per errore (14,4%) è molto più grande dei malati veri scoperti dal test (3,6%).

Esercizio 3 - Patologia grave

Si sa che una patologia molto grave colpisce il 4,6% della popolazione. Il Servizio Sanitario Nazionale decide di istituire uno screening, proponendo a ciascun cittadino di sottoporsi gratuitamente ad un test. I dati tecnici del test sono i seguenti:

• La probabilità che il test risulti negativo su un soggetto malato è pari a 0,01.
• La probabilità che il test risulti positivo su un soggetto sano è uguale a 0,04.

Domande:

1. Qual è la probabilità che il test risulti positivo su un individuo scelto a caso?
2. Qual è la probabilità che un individuo risulti positivo al test e sia effettivamente malato?
3. Qual è la probabilità che un individuo risultato positivo al test sia effettivamente malato?
4. Supponendo che ciascun individuo risultato positivo al test sia sottoposto ad un trattamento il cui costo ammonta a 9.600 euro, qual è il costo atteso per ciascun individuo che si sottopone allo screening?

Dati:

• $M$: l'individuo è malato $\rightarrow P(M) = 0,046$ (Prevalenza).
• $\overline{M}$: l'individuo è sano $\rightarrow P(\overline{M}) = 1 - 0,046 = 0,954$.
• +/-: l'esito del test (Positivo o Negativo).

Dalle specifiche del test ricaviamo:

• $P( - |M) = 0,01$ (Falsi negativi) $\rightarrow P( + |M) = 0,99$(Sensibilità).
• $P( + |\overline{M}) = 0,04$ (Falsi positivi) $\rightarrow P( - |\overline{M}) = 0,96$ (Specificità).

1. Utilizziamo la Formula delle Probabilità Totali per sommare i "veri positivi" e i "falsi positivi":

$$P( + ) = P( + |M) \cdot P(M) + P( + |\overline{M}) \cdot P(\overline{M})$$

$$P( + ) = (0,99 \cdot 0,046) + (0,04 \cdot 0,954) = 0,04554 + 0,03816 = \mathbf{0},\mathbf{0837}$$

2. Questa è la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi contemporaneamente:

Dato che: $P( + |M) = \frac{P( + \cap M)}{P(M)}$

Allora:

$P( + \cap M) = P( + |M) \cdot P(M) = 0,99 \cdot 0,046 = \mathbf{0},\mathbf{0455}$

3. Usiamo il Teorema di Bayes per sapere quanto è affidabile un esito positivo:

$$P(M| + ) = \frac{P( + \cap M)}{P( + )} = \frac{0,04554}{0,0837} \approx \mathbf{0},\mathbf{5436}$$

Intuizione: Nonostante la sensibilità del 99%, se risulti positivo hai solo il 54,36% di probabilità di essere davvero malato a causa della rarità della malattia (Prevalenza bassa) e del numero di falsi positivi generati dalla massa di persone sane.

4. Sia X la variabile casuale "Costo del trattamento". L'individuo genera un costo solo se risulta positivo al test.

• Se il test è positivo: X = 9.600 con probabilità P(+) = 0,0837.
• Se il test è negativo: X = 0 con probabilità P(-) = 0,9163.

Il valore atteso (media teorica della spesa per individuo) è:

$$E\lbrack X\rbrack = 9.600 \cdot P( + ) + 0 \cdot P( - )$$

$$E\lbrack X\rbrack = 9.600 \cdot 0,0837 = \mathbf{803},\mathbf{52}\text{euro}$$

Questo significa che, mediamente, lo Stato deve accantonare circa 803,50 euro per ogni cittadino che decide di aderire alla campagna di screening.

Esercizio 4 - Trasferimento tra urne e Teorema di Bayes

L'urna A contiene 3 palline bianche e 2 nere; l’urna B contiene 3 bianche e 6 nere. Si pesca una pallina dall’urna A e, senza guardarla, la si mette nell’urna B; si pesca poi una pallina dall’urna B.

1. Definire gli eventi coinvolti.

5. Calcolare la probabilità che la pallina pescata dall’urna B sia nera.
6. Motivare il calcolo della probabilità che la pallina trasferita da A fosse nera, sapendo che la pallina estratta da B è risultata nera.

1. Siano $T_{B}eT_{N}$ gli eventi "trasferimento di una pallina bianca" e "nera" da A a B.

Sia $E_{N}$ l'evento "estrazione di una pallina nera da B".

Probabilità a priori (da A): $P(T_{B}) = \frac{3}{5}eP(T_{N}) = \frac{2}{5}$.

Probabilità condizionate (in B):

Se viene trasferita una bianca, l'urna B passa a 4B e 6N (totale 10): $P(E_{N}|T_{B}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Se viene trasferita una nera, l'urna B passa a 3B e 7N (totale 10): $P(E_{N}|T_{N}) = \frac{7}{10}$.

2. Probabilità Totale: $P(E_{N}) = P(T_{B}) \cdot P(E_{N}|T_{B}) + P(T_{N}) \cdot P(E_{N}|T_{N})$

$$P(E_{N}) = (3/5 \cdot 3/5) + (2/5 \cdot 7/10) = 9/25 + 7/25 = \mathbf{16}/\mathbf{25} \approx \mathbf{0}.\mathbf{64}.$$

3. Bayes : Per trovare $P(T_{N}|E_{N})$ usiamo la formula di Bayes:

$$P(T_{N}|E_{N}) = \frac{P(E_{N}|T_{N})P(T_{N})}{P(E_{N})} = \frac{7/10 \cdot 2/5}{\frac{16}{25}} = \frac{\frac{7}{25}}{\frac{16}{25}} = \mathbf{7}/\mathbf{16} \approx \mathbf{0}.\mathbf{4375}\$\$$$

Esercizio 5 - Doppia estrazione senza reinserimento e Urne Multiple

In questo caso la motivazione è più complessa perché bisogna considerare la dipendenza tra la prima e la seconda estrazione nell'urna di destinazione.

Testo: L'urna I contiene 9 palline bianche e 6 nere. L'urna II contiene 9 palline bianche e 7 nere. Si pesca una pallina dall'urna I e la si inserisce nell'urna II. Si estraggono quindi, senza reinserimento, due palline dall'urna II.

1. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta dall'urna II sia nera?
2. Giustificare il procedimento per trovare la probabilità che la pallina trasferita dall'urna I fosse bianca, sapendo che sono state estratte due nere dall'urna II.

1. Per prima cosa, dobbiamo definire gli eventi legati al trasferimento dall'urna I (la "causa"):

• $T_{B}$: viene trasferita una pallina bianca da I a II.
• $T_{N}$: viene trasferita una pallina nera da I a II.

Calcoliamo le probabilità basandoci sulla composizione dell'urna I (9B, 6N; totale 15):

• $$P(T_{B}) = \frac{9}{15} = \mathbf{0}.\mathbf{6}$$
• $$P(T_{N}) = \frac{6}{15} = \mathbf{0}.\mathbf{4}$$

In un'estrazione senza reinserimento da una popolazione finita, se l'esito della prima estrazione è ignoto, la probabilità che la seconda pallina sia di un certo colore è uguale alla probabilità che lo sia la prima $P(N_{2}) = P(N_{1})$. Applichiamo quindi la Formula delle Probabilità Totali:

$$P(N_{2}) = P(N_{2}|T_{B}) \cdot P(T_{B}) + P(N_{2}|T_{N}) \cdot P(T_{N})$$

• Se è stata trasferita una Bianca ($T_{B}$), l'urna II passa da (9B, 7N) a (10B, 7N; totale 17): $P(N_{2}|T_{B}) = \frac{7}{17}$

• Se è stata trasferita una Nera ($T_{N}$), l'urna II passa da (9B, 7N) a (9B, 8N; totale 17):$P(N_{2}|T_{N}) = \frac{8}{17}$

$$P(N_{2}) = \left( \frac{7}{17} \cdot 0.6 \right) + \left( \frac{8}{17} \cdot 0.4 \right) = \frac{4.2 + 3.2}{17} = \frac{7.4}{17} \approx \mathbf{0}.\mathbf{435}$$

2. Dobbiamo calcolare la probabilità di una "causa" ($T_{B}$) dato un "effetto" osservato (l'evento $E_{2N}$: "estrazione di due nere"). Utilizziamo il Teorema di Bayes:

$$P(T_{B}|E_{2N}) = \frac{P(E_{2N}|T_{B}) \cdot P(T_{B})}{P(E_{2N})}$$

Passaggio 1: Calcolo delle verosimiglianze (Likelihood) Usiamo il calcolo combinatorio per l'estrazione in blocco (senza reinserimento):

$$P(E_{2N}|T_{B}) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{17}{2}} = \frac{21}{136} \approx 0.1544$$

$$P(E_{2N}|T_{N}) = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{17}{2}} = \frac{28}{136} \approx 0.2059$$

Passaggio 2: Calcolo della probabilità totale dell'evento osservato $P(E_{2N}) = (0.1544 \cdot 0.6) + (0.2059 \cdot 0.4) = 0.09264 + 0.08236 = \mathbf{0}.\mathbf{175}$

Passaggio 3: Applicazione di Bayes

$$P(T_{B}|E_{2N}) = \frac{0.09264}{0.175} \approx \mathbf{0}.\mathbf{529}$$