Teoria dei giochi.

6. Soluzioni insiemistiche di un gioco TU

6.1 Imputazioni

Un’idea per determinare le singole vincite può essere risolvere un sottogioco ristretto ai giocatori di ciascuna coalizione, oppure suddividere in parti uguali la vincita, trascurando il contributo dei singoli giocatori; esistono però altri metodi più complessi che meglio tengono conto del ruolo svolto da ciascun giocatore e che definiscono altri concetti di soluzione.

Definizione 6.1.1 Dato un gioco G = (N, v) si dice imputazione o ripartizione del valore del gioco o soluzione del gioco un vettore x = (x₁, x₂, . . ., x_n) tale che:

1. ∑_i∈N x_i = v(N): ipotesi di efficienza;
2. x_i ≥ v(i), i = 1, ..., n: ipotesi di forza dei giocatori o razionalità individuale.

Nel caso di un cost game la razionalità individuale richiede x_i ≤c(i).

L’insieme di tutte le imputazioni si indica con E(v).

Definizione 6.1.2 Se per un gioco G = (N, v) si ha:

allora E(v) ha come unico elemento x = (v(1), v(2), . . ., v(n)); in questo caso il gioco è detto inessenziale e essenziale altrimenti.

Per la razionalità individuale una imputazione deve assegnare ad ogni giocatore almeno quanto egli può ottenere da solo. Pertanto le imputazioni costituiscono un primo passo verso la determinazione della ripartizione delle vincite e ogni concetto di soluzione dovrà soddisfare questa condizione, cioè dovrà essere una imputazione. D’altra parte se il gioco è essenziale esistono più imputazioni possibili e si ripropone il problema di scegliere la soluzione. Infatti poiché la somma degli elementi delle imputazioni è costante se due imputazioni x e y sono distinte esiste almeno un giocatore k per cui x_k > y_k e almeno un giocatore h per cui x_h < y_h.

Definizione 6.1.3

• Date x, y ∈E(v) e una coalizione S si dice che x domina y mediante S, x ≻_S y, se:

dove.

• Date x, y ∈E(v) si dice che x domina y, x ≻y, se esiste S tale che x ≻_S y.

La dominanza non è riflessiva, nè antisimmetrica, nè transitiva.

Esempio 6.1.1 (Non antisimmetria) Sia dato il seguente gioco:

Date le seguenti imputazioni x = (₂¹, ₁₂, 0, 0) e y = (0, 0, ₁₂, ₁₂) si ha:

6.2 Insiemi stabili

Questo concetto di soluzione è stato proposto da Von Neumann - Morgenstern (1944) come la soluzione dei giochi TU e privilegia alcune imputazioni rispetto ad altre.

Definizione 6.2.1 Un insieme V ⊂E(v) si dice stabile se:

1. dati x, y ∈V si ha x ⊁y e viceversa stabilità interna

2. dato x /∈V , ∃y ∈V per il quale si ha y ≻x stabilità esterna

Un insieme stabile contiene la soluzione ma la decisione dipende da altre informazioni non espresse dalla forma caratteristica.

Un gioco può avere più insiemi stabili.

Esempio 6.2.1 (Maggioranza semplice) Gli insiemi stabili sono:

con c ∈[0,¹₂[ funzione delle tradizioni t ∈[0, 1 −c] funzione della forza Gli insiemi stabili oltre a essere soluzioni insiemistiche e non essere unici, possono non esistere; nel 1968 Lucas ha dato un esempio di gioco senza insiemi stabili, indebolendo ulteriormente questo concetto di soluzione.

6.3 Nucleo

Probabilmente il concetto di soluzione insiemistico più interessante per numerose classi di giochi è il nucleo; è stato introdotto da Gillies (1953 e 1959). L’idea di base è quella di considerare il comportamento delle imputazioni rispetto alle coalizioni, richiedendo:

x(S) ≥v(S)S ⊂N ipotesi di razionalità della coalizione

Definizione 6.3.1 Si dice nucleo di un gioco, o core, l’insieme:

Nel caso di un cost game c la razionalità della coalizione richiede x(S) ≤c(S), ∀S ⊂N.

Osservazione 6.3.1

• Le imputazioni non dominate costituiscono il nucleo del gioco.

• Il nucleo può essere vuoto come nel gioco di maggioranza semplice e in generale nei giochi essenziali a somma costante.

• Il nucleo ha un aspetto normativo, cioè dice quali soluzioni non bisogna scegliere (quelle che non stanno nel nucleo) se il nucleo è non vuoto. Ovviamente se il nucleo è vuoto non si può concludere che la grande coalizione non si forma, ma solo che è caratterizzata da una più o meno elevata instabilità.

Esempio 6.3.1 (Nucleo del gioco dei guanti) Riferendosi all’Esempio 5.4.2, il nucleo è:

In generale se L = {1, ..., n_l} e R = {1, ..., n_r} si ha:

Il nucleo evidenzia il comportamento del mercato quando uno tra due beni complementari è carente.

6.3.1 Bilanciamento

È interessante poter stabilire se un gioco ha nucleo vuoto o meno, in quanto ciò fornisce indicazioni sulla stabilità della grande coalizione. Si noti che la coesività o la superadditività non danno informazioni precise; ad esempio il gioco di maggioranza semplice ha nucleo vuoto ma è superadditivo e quindi anche coesivo; d’altra parte un gioco può non essere superadditivo, ma avere nucleo non vuoto, come nel seguente esempio.

Esempio 6.3.2 (Gioco non superadditivo a nucleo non vuoto) Si consideri il gio-

Il gioco non è superadditivo poiché v(1) + v(2) = 2 e v(12) = 1 ma ha nucleo non vuoto in quanto x = (1, 1, 1) ∈C(v).

Invece se un gioco non è coesivo ha nucleo vuoto, in quanto esisterebbero una allocazione x e una partizione {S₁, S₂, . . ., S_k} per cui si avrebbe:

È necessario avere un criterio più preciso che permetta una caratterizzazione completa ma semplice.

Dalla definizione si ricava che le imputazioni del nucleo possono essere caratterizzate come le soluzioni del problema lineare:

per le quali z^∗= v(N).

Il duale del problema precedente si può scrivere come:

per le quali w^∗= v(N).

Questo permette di stabilire il seguente teorema.

Teorema 6.3.1 Un gioco v ha nucleo non vuoto se e solo se esiste una soluzione del problema primale con z^∗= v(N) o equivalentemente (per il primo teorema della dualità) esiste una soluzione del problema duale con w^∗= v(N).

Purtroppo l’utilità di questo teorema è molto limitata in quanto la difficoltà di verificare una delle tre condizioni è equivalente. Si può fare un passo avanti introducendo le collezioni bilanciate.

Definizione 6.3.2

• Una collezione B = {S₁, S₂, . . ., S_m} di sottoinsiemi di N è detta bilanciata se esistono m numeri non negativi y₁, y₂, . . ., y_m detti coefficienti di bilanciamento, tali che:

• Una collezione bilanciata è detta minimale se nessuna sottocollezione è bilanciata.

• Un gioco è detto bilanciato se per ogni collezione bilanciata minimale B = {S₁, S₂, . . ., S_m} con coefficienti di bilanciamento y₁, y₂, . . . , y_m, si ha:

Proprietà

• Ogni collezione bilanciata è unione di collezioni bilanciate minimali.

• Una collezione bilanciata è minimale se e solo se i coefficienti di bilanciamento sono unici.

• Le collezioni bilanciate non dipendono dalla funzione caratteristica, ma solo da N.

Esempio 6.3.3 (Collezioni bilanciate I)

1. Ogni partizione di N è una collezione bilanciata, con coefficienti unitari.

2. Sia N = {1, 2, 3}; B = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} è una collezione bilanciata con coeffi-

cienti (12, 12, 12). In generale per ogni N la collezione di sottoinsiemi distinti di

s elementi è bilanciata con coefficienti .

A questo punto si può migliorare la caratterizzazione dei giochi a nucleo non vuoto.

Teorema 6.3.2 (Bondareva, 1963 - Shapley, 1967) Un gioco G = (N, v) ha nucleo non vuoto se e solo se è bilanciato.

Dimostrazione

⇐⇒G è bilanciato (vertici della regione ammissibile)

Osservazione 6.3.2

• Il teorema di Bondareva-Shapley considera un sistema lineare generato da un sottoinsieme dei vincoli del problema duale associato al nucleo.

• Per un gioco superadditivo il teorema di Bondareva-Shapley è vero per le partizioni di N, quindi è sufficiente verificarlo per le altre collezioni bilanciate minimali.

• Il teorema è particolarmente utile per dimostrare che un gioco ha nucleo vuoto in quanto è sufficiente trovare una collezione bilanciata che non verifica la condizione.

• Un gioco a nucleo non vuoto viene anche detto bilanciato.

Esempio 6.3.4 (Collezioni bilanciate II)

1. Un gioco a tre giocatori superadditivo è bilanciato se e solo se v(12)+v(13)+v(23) ≤ 2 v(123) poiché B = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} è l’unica collezione bilanciata minimale

con coefficienti (12, 12, 12).

2. Sia dato il gioco:

Il gioco non è bilanciato in quanto B = {{1, 2}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}} è una collezione

bilanciata con coefficienti (12, 12, 12) per la quale si ha:

6.4 Esempi di giochi e nucleo

Questo paragrafo è dedicato a presentare alcune classi di giochi, per meglio approfondire il concetto di nucleo.

6.4.1 Bankruptcy game

Dopo il fallimento di una ditta un gruppo di creditori deve dividersi il capitale residuo, tenendo conto delle richieste di ciascuno. Formalmente un problema di bancarotta è una tripla B = (N, c, E), dove N = {1, ..., n} è l’insieme dei creditori, c = {c₁, ..., c_n} è il vettore delle richieste ed E è il capitale, con; per semplicità un problema di bancarotta si può indicare come (E; c₁, ..., c_n). Più in generale si ha un problema di bancarotta quando si deve allocare una risorsa insufficiente a coprire le richieste.

È facile verificare che ogni ripartizione ammissibile (“razionale) del capitale, x = {x₁, ..., x_n} deve soddisfare le seguenti condizioni:

Tra le varie possibili soluzioni tre sono particolarmente importanti: proporzionale (PROP ), Constrained Equal Award (CEA) e Constrained Equal Loss (CEL).

• PROP - Le quote assegnate sono proporzionali alle richieste di ciascuno:

• CEA - Le quote assegnate sono uguali per tutti, col vincolo di non superare le richieste di ciascuno: CEA_i = min(α, c_i)i ∈N dove α è l’unico valore reale positivo per cui

• CEL - Le quote assegnate sono uguali alle richieste di ciascuno diminuite di una quantità uguale per tutti, col vincolo di non assegnare quote negative:

CEL_i = max(c_i −β, 0)i ∈N dove β è l’unico valore reale positivo per cui

Esempio 6.4.1 (Soluzioni) Si consideri il problema di bancarotta (15; 3, 6, 7, 14).

PROP è la soluzione più intuitiva, CEA è quella che più protegge i piccoli creditori, CEL è quella più favorevole ai grossi creditori.

Interpretazione dei vasi comunicanti Dato un problema di bancarotta è possibile ottenere le soluzioni PROP , CEA e CEL da opportune situazioni di vasi comunicanti. PROP corrisponde a vasi di sezione c_i, i ∈N, con le basi inferiori allo stesso livello.

CEA corrisponde a vasi di sezione unitaria e di altezza c_i, i ∈N, con le basi inferiori allo stesso livello.

CEL corrisponde a vasi di sezione unitaria e di altezza c_i, i ∈N, con le basi superiori allo stesso livello.

Dato un problema di bancarotta si possono definire due giochi TU (Aumann e Maschler, 1985 - Curiel, Maschler e Tijs, 1987 - Herrero e Villar, 2001), uno pessimistico e uno ottimistico; per entrambi l’insieme dei giocatori è N mentre la funzione caratteristica del gioco pessimistico è:

e quella del gioco ottimistico è:

Nel gioco pessimistico se alcuni giocatori vogliono formare una coalizione, devono soddisfare le richieste degli altri, ovviamente senza rimetterci, mentre nel gioco ottimistico se alcuni giocatori formano una coalizione hanno diritto a soddisfare le loro richieste, col massimo dell’intero capitale.

Il gioco ottimistico, a differenza di quello pessimistico, non è realistico, come mostra il seguente semplice esempio.

Esempio 6.4.2 (Inconsistenza del gioco ottimistico) Si consideri il problema di bancarotta (5; 3, 4). I due giochi sono definiti rispettivamente da:

per cui il gioco ottimistico dice che i due giocatori separatamente possono ottenere rispettivamente 3 e 4, mentre il capitale è solo 5.

Il nucleo del gioco pessimistico coincide con l’insieme delle soluzioni ammissibili del problema di bancarotta, cioè:

⇒ La prima è la condizione di efficienza. Per la seconda condizione per ogni i ∈N si

⇐ La condizione di efficienza è ovviamente soddisfatta. Per ogni S ⊂N si hanno due casi:

6.4.2 Fixed tree game

Un insieme di agenti è collegato alla sorgente di un servizio tramite una fissata connessione ad albero; ciascun agente corrisponde ad un vertice dell’albero. Il servizio è pagato in base all’utilizzo ma restano i costi di manutenzione. È possibile associare al problema un gioco TU che ha come giocatori l’insieme di agenti N = {1, ..., n} e come funzione caratteristica:

dove c_i è il costo di manutenzione dell’unico arco entrante nel vertice associato al giocatore i e T è una componente connessa dell’albero contenente la sorgente.

Il nucleo di un fixed tree game è dato dall’insieme delle allocazioni che si ottengono ripartendo il costo di ciascun arco solo tra i giocatori della componente connessa non contenente la sorgente che si ottiene eliminando l’arco stesso.

6.4.3 Weighted majority game

I rappresentanti in un consiglio di amministrazione vogliono valutare la loro situazione ed esaminare le possibili alleanze. Formalmente un problema di maggioranza pesata è una tripla W = (N, w, q), dove N = {1, ..., n} è l’insieme dei consiglieri, w = {w₁, ..., w_n} è il vettore dei “pesi”, ad esempio il numero di azioni e q è la quota di maggioranza, cioè il numero di voti necessari per approvare una mozione, con q < ∑_i∈N w_i; per semplicità si indica come (q; w₁, ..., w_n). È possibile associare al problema un gioco TU semplice 0-1 dove l’insieme dei giocatori è N e la funzione caratteristica è:

Il gioco risulta monotono e spesso si suppone anche q ≥ ½ ∑_i∈N w_i in modo che se S è vincente N ∖ S sia perdente.

Questi giochi sono più utilizzati nei consigli di amministrazione che in politica, in quanto nel secondo caso la formazione di una maggioranza è legata non solo ai numeri, ma anche alla collocazione dei partiti.

Esempio 6.4.3 (Consiglio di sicurezza dell’ONU) Il Consiglio di sicurezza dell’ONU è composto da cinque membri permanenti con diritto di veto e dieci membri eletti. Un provvedimento è approvato se riceve almeno 9 voti e nessun veto. Questo problema può essere rappresentato come un problema di maggioranza pesata in cui w_i = 1 se i è un membro eletto e w_i = 7 se i è un membro permanente e q = 38.

Un gioco di maggioranza pesata ha solitamente nucleo vuoto, salvo nel caso in cui esistano giocatori di veto; un giocatore i è detto di veto se v(S) = 0 se i /∈S. Detto V l’insieme dei giocatori di veto e data una allocazione x tale che

⇒ È sufficiente verificare che x_i = 0, i ∈N \ V . i ∈N \ V ⇒v(N \ {i}) = 1 (altrimenti i sarebbe di veto) per cui

⇐ Per ogni S ⊂N si hanno due casi:

Osservazione 6.4.1

• Se il giocatore i è di veto non è vero che i ∈S ⇒v(S) = 1.

6.4.4 Sequencing game

Alcuni agenti attendono un servizio e ogni agente conosce il proprio tempo di servizio e il costo per unità di tempo. Due agenti adiacenti possono scambiarsi di posto se questo è vantaggioso. Formalmente un problema di sequenziamento è una quadrupla S = (N, σ₀, α, s) dove N = {1, ..., n} è l’insieme degli agenti, σ₀ è una permutazione che definisce l’ordine iniziale, α = (α₁, ..., α_n) è il vettore dei costi per unità di tempo e s = (s₁, ..., s_n) è il vettore dei tempi di servizio. Dato un ordinamento σ si può definire il costo C_σ come la somma dei costi degli agenti, ciascuno dei quali è dato dal tempo trascorso per il costo unitario, cioè:

dove P(σ, i) è l’insieme degli agenti che precedono i nell’ordinamento σ. Il problema è determinare l’ordinamento ottimale σ^∗ degli agenti.

Smith (1956) ha dimostrato che l’ordinamento ottimale si può ottenere ordinando gli agenti secondo indici di urgenza debolmente decrescenti, dove l’urgenza è u_i = α_i/s_i, i ∈ N.

Esempio 6.4.4 (Problema di sequenziamento) Si consideri il problema di sequenziamento definito da N = {1, 2, 3}, σ₀ = (1, 2, 3), α = (5, 9, 8), s = (5, 3, 4); il costo iniziale è C_σ0 = 25 + 72 + 96 = 193 e gli indici di urgenza sono u = (1, 3, 2), per cui σ^∗= (2, 3, 1) con costo C_σ∗= 27 + 56 + 60 = 143.

È possibile associare al problema un gioco TU dove l’insieme dei giocatori è N e la funzione caratteristica è definita come segue. Una coalizione T ⊆N è detta connessa secondo σ se per ogni i, j ∈T e k ∈N si ha σ(i) < σ(k) < σ(j) ⇒k ∈T . Scambiando due giocatori i, j la variazione di costo è α_js_i −α_is_j; la variazione è positiva se e solo se u_i < u_j; se la variazione è negativa non si ha lo scambio. Il guadagno di uno scambio è g_ij = max{0, α_js_i −α_is_j}, quindi il guadagno di una coalizione T connessa secondo σ è:

In generale data una coalizione S ⊆N, l’ordine σ induce una partizione in componenti connesse, S/σ, per cui si ha:

Esempio 6.4.5 (Sequencing game) Riferendosi all’Esempio 6.4.4 la funzione caratteristica è:

v(23) = 0 poiché lo scambio produrrebbe una perdita, in quanto u₂ > u₃; invece v(13) = 0 perché la coalizione non è connessa e i giocatori 1 e 3 non possono scambiarsi anche se otterrebbero un guadagno di 20 e il giocatore 2 avrebbe un guadagno, poiché il tempo di servizio di 3 è 4 e quello di 1 è 5.

Questi giochi hanno nucleo non vuoto e una allocazione interessante è la Equal Gain Splitting Rule (EGS - Curiel , Pederzoli e Tijs, 1989), che divide in parti uguali il guadagno di ogni scambio tra i due giocatori coinvolti; cioè:

Esempio 6.4.6 (EGS-Rule) Riferendosi all’Esempio 6.4.4 i guadagni g_ij sono:

e conseguentemente

Osservazione 6.4.2

• La soluzione EGS non è simmetrica per i giocatori 1 e 2 che sono simmetrici per il gioco ma non per il problema associato; infatti 1 può scambiarsi vantaggiosamente sia con 2 che con 3, mentre 2 può scambiarsi vantaggiosamente solo con 1; quindi la EGS tiene conto del ruolo effettivo di ciascun giocatore.

• g₂₁, g₃₁, g₃₂ non vengono utilizzati perché l’ordine iniziale dato non permette questi scambi.

• Una variante è.

6.4.5 Production game

Alcuni agenti possiedono le risorse utilizzate in un processo produttivo, che vogliono utilizzare in modo da massimizzare il valore dei beni prodotti. Formalmente un problema di produzione è una quadrupla P = (N, A, (bⁱ)_i∈N, c) dove N = {1, ..., n} è l’insieme degli agenti, A è la matrice tecnologica del processo produttivo, bⁱ è il vettore delle risorse dell’agente i e c è il vettore dei prezzi dei beni prodotti.

È possibile associare al problema un gioco TU dove l’insieme dei giocatori è N e la funzione caratteristica è definita come:

dove b^S = ∑_i∈S bⁱ rappresenta le risorse possedute dalla coalizione S.

Il nucleo di un gioco di produzione contiene le imputazioni x tali che x_i = b^iTu^∗ dove u^∗ è una soluzione ottimale del duale del problema di produzione:

Osservazione 6.4.3

• Il risultato precedente può essere esteso a tutti i giochi originati da un problema lineare (Teorema di Owen, 1975).

6.4.6 Assignment game

Gli agenti sono divisi in due gruppi, i venditori e i compratori; ciascun venditore possiede un solo oggetto, di cui conosce la propria valutazione, e ogni compratore può acquistare un solo oggetto e conosce la propria valutazione di ogni oggetto; se un venditore ha più di un oggetto da vendere o un compratore è interessato a più oggetti si considerano più copie con identiche valutazioni. È opportuno precisare che si tratta di oggetti che non hanno un prezzo di mercato, ma il prezzo dipende dalle valutazioni e dalle capacità di contrattazione. L’obiettivo dei giocatori di entrambi i gruppi è massimizzare il guadagno, rispetto alle proprie valutazioni. Formalmente un problema di assegnazione è una quadrupla A = (N^v, N^c, A, B) dove N^v= {1, ..., n^v} è l’insieme dei venditori, N^c= {1, ..., n^c} è l’insieme dei compratori, A è un vettore dove a_j è la valutazione che il venditore j ∈N^v attribuisce al proprio oggetto, B è una matrice dove b_ij è la valutazione che il compratore i ∈N^c attribuisce all’oggetto offerto dal venditore j ∈N^v.

È possibile associare al problema un gioco TU dove l’insieme dei giocatori è N = N^v∪N^c e la funzione caratteristica v è definita come segue:

• Se un venditore j^∗ e un compratore i^∗ formano una coalizione allora:

• Se una coalizione S contiene più compratori che venditori, detto i(j) ∈S ∩N^cil compratore dell’oggetto offerto dal venditore j ∈S ∩N^v, si ha:

• Se una coalizione S contiene più venditori che compratori, detto j(i) ∈S ∩N^vil venditore dell’oggetto acquistato dal compratore i ∈S ∩N^c, si ha:

L’insieme dei valori c_ij definisce un problema di assegnazione che può scriversi come:

dove x_ij = 1 se i e j si accordano, e x_ij = 0 altrimenti.

In accordo al teorema di Owen, il nucleo di un gioco di assegnazione contiene le imputazioni ottenute da una soluzione ottimale del duale (Shapley e Shubik, 1972):

Osservazione 6.4.4

• Si utilizzano solo le soluzioni ottimali duali aventi le componenti non negative per rispettare le condizioni di razionalità individuale.

Esempio 6.4.7 (Gioco di assegnazione) Si supponga di avere tre giocatori, dove il giocatore 1 è un venditore che valuta il proprio oggetto a₁ = 10 e i giocatori 2 e 3 sono compratori le cui valutazioni sono rispettivamente b₂₁ = 12, b₃₁ = 15. La funzione caratteristica del gioco è:

Il nucleo è l’insieme delle imputazioni (x₁, x₂, x₃) con x₁ = α, x₂ = 0, x₃ = 5−α, 2 ≤α ≤ 5. Questo vuol dire che l’oggetto non viene venduto al giocatore 2 e il payoff dei giocatori 1 e 3 dipende da come si accordano, ma il prezzo deve garantire al giocatore 1 un’utilità di almeno 2 unità. In altre parole il prezzo di vendita deve essere almeno 12, altrimenti il giocatore 1 può accordarsi col giocatore 2, ma non più di 15, altrimenti il giocatore 3 si ritira. Si noti infine che se la valutazione del giocatore 2 fosse ̄b₂₁ = 15 allora l’unica allocazione nel nucleo sarebbe (5, 0, 0) cioè il prezzo di vendita sarebbe esattamente 15. Quest’esempio conferma la ben nota legge della domanda e dell’offerta.

Osservazione 6.4.5

• L’esempio 6.4.7 permette alcune considerazioni di carattere economico.

1. La legge dell’equilibrio tra domanda e offerta dice che il prezzo deve far sì che la domanda sia uguale all’offerta, per cui se il prezzo dell’oggetto fosse inferiore a 12 vi sarebbero due acquirenti mentre se il prezzo fosse superiore a 15 non vi sarebbero acquirenti. 2. Le leggi economiche non escludono, come il nucleo, un’utilità positiva per il giocatore 2; infatti il giocatore 1 potrebbe offrire al giocatore 2 parte della sua utilità in cambio di un’offerta maggiore per far sì che il prezzo pagato dal giocatore 3 sia più alto oppure il giocatore 3 potrebbe offrire al giocatore 2 parte della sua utilità in cambio del suo ritiro per far sì che il prezzo pagato al giocatore 1 sia più basso.