Teoria dei giochi.

1. Teoria dei giochi e utilità

1.1 Esempio preliminare (da Young, 1994)

Due paesi A e B, aventi rispettivamente 3.600 e 1.200 abitanti, vogliono costruire un acquedotto attingendo allo stesso lago. Il problema può essere risolto utilizzando i metodi della programmazione matematica, tramite un modello del tipo seguente:

Le soluzioni ammissibili possono essere raggruppate in due sottoinsiemi che corrispondono alle ipotesi 1 e 2 raffigurate a lato. La soluzione ottimale è:

x^∗ = ipotesi 2
z^∗ = 180 milioni

Affinché la soluzione sia attuabile deve esserci la disponibilità dei paesi ad accordarsi per una realizzazione in comune.

Se questa disponibilità esiste è necessario stabilire con quale criterio ripartire la spesa. Alcuni dei criteri possibili e i relativi costi per i due paesi sono i seguenti:

Si può osservare che il criterio 1 è il più vantaggioso per il paese A ma è rifiutato dal paese B, il criterio 2 è il più vantaggioso per il paese B ma è rifiutato dal paese A mentre gli altri criteri risultano più o meno vantaggiosi per i due paesi ma nessuno dei due può rifiutarne a priori qualcuno, anche se il paese A preferisce il criterio 4 e il paese B preferisce il criterio 3.

Serve quindi una metodologia di scelta. In altre parole la programmazione matematica risulta insufficiente a descrivere, e quindi risolvere, il problema dato.

La Teoria dei Giochi fornisce gli strumenti matematici per analizzare il problema e non fornisce “la” soluzione, ma propone una soluzione (solution concept).

1.2 Introduzione

La Ricerca Operativa classica suppone che le decisioni relative ad un problema siano prese da un unico decisore che può operare in totale autonomia e con completa libertà.

La Teoria dei Giochi tratta le situazioni in cui il risultato dipende dalle scelte fatte da più persone, dette giocatori, che operano perseguendo obiettivi che possono risultare comuni, ma non identici, differenti ed eventualmente contrastanti; possono essere presenti anche aspetti aleatori.

La teoria dei giochi studia l’interazione strategica: ciascun partecipante controlla soltanto una parte delle decisioni che determinano il risultato e deve quindi ragionare anche sulle scelte degli altri. Il volume Theory of Games and Economic Behavior di von Neumann e Morgenstern, pubblicato nel 1944, segna una sistemazione fondamentale della disciplina, preceduta da contributi come lo studio del duopolio di Cournot. La prospettiva si applica all’economia, alle decisioni politiche e sociali, ai problemi di distribuzione delle risorse e, attraverso modelli specifici, anche all’evoluzione.

Un modello identifica i giocatori, le azioni consentite, l’ordine delle decisioni, le informazioni disponibili e le preferenze sugli esiti. Non riproduce ogni particolare della realtà: rende espliciti gli aspetti che si ritengono decisivi per comprendere un’interazione. Le conclusioni vanno pertanto lette insieme alle ipotesi da cui derivano.

Esempio 1.2.1 (Dilemma del prigioniero) È uno dei problemi più noti della Teoria dei Giochi; è stato introdotto nel 1950 da Dresher e Flood (Flood, 1958); la “storiellina” seguente è dovuta a Tucker (1953). Due individui I e II sono stati arrestati per lo stesso reato e vengono interrogati separatamente dal giudice; ognuno può scegliere indipendentemente dall’altro di confessare (C) o non confessare (NC). Se entrambi non confessano vengono condannati per reati minori a due anni ciascuno; se entrambi confessano vengono condannati a cinque anni ciascuno; se uno confessa e l’altro no quello che confessa ha uno sconto di pena e viene condannato a un anno, mentre l’altro ha un’aggravante e viene condannato a sei anni. Le pene sono riportate nella tabella come coppia (I, II).

Ragionevolmente I sceglie C poiché consegue una condanna minore qualunque sia la scelta di II (−5 > −6; −1 > −2) e analogamente II sceglie C. La decisione attesa è quindi (C, C), con una condanna a 5 anni per ciascuno (equilibrio in strategie dominanti), mentre per entrambi sarebbe più vantaggiosa la scelta (NC, NC) con 2 anni per ciascuno.

Esempio 1.2.2 (Battaglia dei sessi) Due fidanzati devono scegliere tra andare al teatro (T) o alla partita (P). Lei (I) preferisce il teatro mentre lui (II) preferisce la partita, ma entrambi non hanno interesse a restare da soli, come riportato nella tabella. In questo caso non esiste una strategia dominante per nessun giocatore (ad esempio per I scegliendo T si ha che 2 > 0 ma 0 < 1).

Esempio 1.2.3 (Puro coordinamento) È una significativa variante in cui entrambi i giocatori hanno le stesse preferenze.

Si possono fare alcune considerazioni. Nell’Esempio 1.2.2 (e soprattutto nel 1.2.3) una telefonata per conoscere la decisione dell’altro giocatore, o un accordo al 50 per cento, o una strategia correlata possono risolvere facilmente il problema. Nell’Esempio 1.2.1 invece questo non succede in quanto la possibilità di comunicare renderebbe probabile un accordo per la strategia NC, ma al momento della decisione sia I che II risceglierebbero C, poiché −1 > −2.

Secondo la classificazione di Harsanyi (1966) si distinguono due classi di giochi:

• Giochi non cooperativi. Non sono possibili accordi vincolanti tra i giocatori.
• Giochi cooperativi. Sono possibili accordi vincolanti tra i giocatori.

Osservazione 1.2.1

• Nei giochi non cooperativi la comunicazione può essere ammessa e modellata esplicitamente. La distinzione riguarda la possibilità di stipulare accordi vincolanti, non la possibilità di parlarsi: una promessa non vincolante deve essere sostenuta dagli incentivi dei partecipanti.
• I giochi cooperativi sono divisi in due sottoclassi: giochi a utilità non trasferibile (NTU) o senza pagamenti laterali, e giochi a utilità trasferibile (TU) o a pagamenti laterali, che costituiscono un caso particolare dei giochi NTU.

1.2.1 Razionalità, utilità e ipotesi del modello

Definire un giocatore razionale significa assumere che le sue scelte siano coerenti con le sue preferenze. Nel modello usuale le preferenze sono complete e transitive: il giocatore può confrontare gli esiti e, se preferisce A a B e B a C, non preferisce C ad A. Quando interviene l’incertezza occorrono ulteriori ipotesi per rappresentare le preferenze mediante l’utilità attesa, come illustrato nella sezione 1.4. L’intelligenza è qui un’astrazione modellistica: il decisore comprende le regole e sa ragionare sulle loro conseguenze.

L’utilità rappresenta una valutazione soggettiva e non coincide necessariamente con il denaro. Una persona può attribuire valore al benessere altrui, alla giustizia di una ripartizione o al mantenimento di una promessa. Massimizzare la propria utilità non significa quindi essere egoisti; allo stesso modo, un comportamento razionale nel modello non è per questo moralmente giusto. Se cambiano le preferenze rappresentate dai payoff, può cambiare anche l’equilibrio.

La razionalità individuale, da sola, non assicura che i giocatori raggiungano un equilibrio né che l’esito sia unico o collettivamente desiderabile. Per interpretare i risultati servono anche ipotesi sull’informazione, sulle aspettative e su ciò che ciascuno sa degli altri. La conoscenza comune richiede più del semplice fatto che tutti conoscano una regola: tutti devono sapere che tutti la conoscono, sapere che tutti sanno che tutti la conoscono, e così via.

1.2.2 Caso e scelta strategica: il gioco delle cinque dita

Un problema di decisione contro un meccanismo casuale non è identico a un’interazione con un avversario che sceglie. Consideriamo due numeri da 1 a 5: il giocatore I riceve 1 se la loro somma è dispari e paga 1 al giocatore II se è pari. Se entrambi i numeri sono estratti in modo uniforme e indipendente, esistono 25 coppie equiprobabili. La somma è dispari in 12 casi e pari in 13: il payoff atteso di I è (12 − 13)/25 = −1/25.

Se invece ciascun giocatore sceglie il proprio numero simultaneamente all’altro, le probabilità non sono imposte dall’esterno. Conta soltanto la parità: I vuole numeri di parità diversa, II di parità uguale. La matrice seguente riporta il payoff di I; quello di II è il suo opposto.

Non esiste un equilibrio in strategie pure: chi perde può cambiare parità e vincere. In strategie miste ciascuno assegna probabilità 1/2 ai numeri pari e 1/2 ai dispari. In questo modo il payoff atteso è zero qualunque sia la scelta dell’avversario. È sufficiente, per esempio, scegliere 1 o 2 con uguale probabilità; distribuire la probabilità uniformemente su tutti e cinque i numeri non dà lo stesso risultato, perché i dispari sono tre e i pari due. Il punto decisivo è la distribuzione sulla parità, non quella sui singoli numeri.

La presenza del caso non esclude dunque la strategia: un gioco può contenere entrambe. Occorre distinguere le probabilità assegnate dal meccanismo, come una distribuzione di carte, dalle probabilità che un giocatore sceglie deliberatamente per rendere imprevedibile la propria azione.

1.3 Rappresentazione di un gioco

Un gioco può essere presentato principalmente in tre forme: la forma estesa, introdotta da von Neumann (1928) e formalizzata da Kuhn (1953); la forma strategica, così chiamata da Shubik (1982), ma già definita forma normale da von Neumann e Morgenstern (1944); la forma caratteristica dovuta a von Neumann e Morgenstern (1944), usata per i giochi cooperativi.

Definizione 1.3.1

• Si chiama funzione dei pagamenti (payoff ) una funzione f che assegna ad ogni giocatore la sua vincita per ogni possibile terminazione del gioco.
• Si chiama strategia del giocatore i una funzione σ_i che assegna al giocatore i una mossa per ogni possibile situazione del gioco.

In altre parole la strategia può essere vista come un “piano di azione” che individua in ogni situazione del gioco una “azione” tra le tante possibili.

1.3.1 Forma estesa

È una descrizione puntuale del gioco, delle mosse e delle relative probabilità, della situazione dopo ogni mossa, delle strategie, degli insiemi di informazione (insiemi di nodi che globalmente rappresentano la situazione di un giocatore), ecc.; risulta molto ricca ma poco maneggevole.

In generale si utilizza una rappresentazione ad albero in cui ad ogni nodo si associa una possibile situazione del gioco, agli archi uscenti da ciascun nodo si associano le possibili mosse del giocatore che è chiamato a muovere in quella situazione e ai nodi terminali si associano i valori delle vincite (payoff) di ciascun giocatore.

Esempio 1.3.1 (Dama semplificata) Si consideri una dama giocata su una scacchiera costituita da 15 caselle (3 × 5) 8 bianche e 7 nere. Ogni giocatore ha tre pedine che muove sulle caselle bianche numerate da 1 a 8 (il bianco muove verso destra e il nero verso sinistra); se può “mangiare” una pedina dell’avversario deve farlo.

La partita termina con la vittoria del giocatore che riesce a portare per primo una sua pedina sull’ultima colonna, o viene considerata conclusa in parità se un giocatore non può muovere. In questo caso non sono assegnate probabilità alle mosse, le strategie sono le sequenze di mosse (una per ogni possibile nodo), i payoff sono espressi come risultato della partita e gli insiemi di informazione contengono un solo nodo. Il gioco può essere rappresentato in forma estesa dal seguente albero:

1.3.2 Forma strategica

Se ci sono n giocatori si utilizza una 2n-upla (Σ₁, Σ₂, . . . , Σ_n, f₁, f₂, . . . , f_n) dove:

• Σ₁, Σ₂, . . . , Σ_n sono insiemi non vuoti contenenti le possibili strategie o scelte di ogni giocatore.
• f₁, f₂, . . . , f_n sono funzioni reali definite sul prodotto cartesiano degli insiemi Σ_i cioè:

Una possibile interpretazione è che tutti i giocatori scelgono contemporaneamente la loro strategia e la f_i dice quale è il guadagno del giocatore i determinato dalle scelte fatte.

Definizione 1.3.2 Una n-upla (σ₁, σ₂, . . . , σ_n) ∈∏_k=1,...,n Σ_k è detta profilo di strategie.

Da quanto detto a proposito di strategie nella forma estesa, si può intuire la possibilità (e il modo) di passare dalla forma estesa a quella strategica (il passaggio inverso risulta più complesso).

Gli elementi della forma strategica possono essere riassunti in una tabella come negli esempi precedenti.

Se il gioco è a due giocatori si parla anche di gioco a matrice doppia, o bimatrice, in quanto i payoff dei giocatori possono essere rappresentati tramite due matrici.

1.3.3 Forma caratteristica

Questa forma può essere usata solo per i giochi cooperativi in quanto fa riferimento alla nozione di coalizione.

Definizione 1.3.3

• Detto N l’insieme dei giocatori, ogni sottoinsieme S di N è detto coalizione. Se S = N si ha la grande coalizione.
• Si dice funzione caratteristica di un gioco ad n giocatori una funzione indicata con v (se il gioco è senza pagamenti laterali si usa V ed è più complessa) per cui si ha:

v : ℘(N ) → R con v(∅) = 0

• Se per ogni coppia di coalizioni disgiunte S e T si ha v(S ∪ T ) = v(S) + v(T ) la funzione v è detta additiva; se si ha v(S ∪ T ) ≥ v(S) + v(T ) la funzione v è detta superadditiva; se si ha v(S ∪ T ) ≤ v(s) + v(T ) la funzione v è detta subadditiva.

In altre parole v assegna ad S la massima vincita possibile indipendentemente dal comportamento degli altri giocatori.

Osservazione 1.3.1

• In generale la funzione caratteristica è sufficiente a descrivere il gioco, per cui possono essere identificati.

Un gioco descritto tramite la funzione caratteristica è detto in forma caratteristica o coalizionale. Se la funzione caratteristica è additiva o superadditiva o subadditiva anche il gioco è detto additivo o superadditivo o subadditivo. Se per ogni coalizione S si ha v(S) + v(N \ S) = v(N ) il gioco è detto a somma costante.

Esempio 1.3.2 (Maggioranza semplice) Tre giocatori vogliono conseguire un risultato; se almeno due di essi si uniscono raggiungono il loro obiettivo. Questa situazione può essere rappresentata dal seguente gioco:

N = {1, 2, 3} v(∅) = v(1) = v(2) = v(3) = 0; v(1, 2) = v(1, 3) = v(2, 3) = v(1, 2, 3) = 1 Il modello è molto semplice, ma anche limitato (ad esempio non è detto come si realizza l’accordo tra i giocatori).

La forma caratteristica costituisce una descrizione molto “povera” del gioco, in quanto non permette di definire la vincita di ogni singolo giocatore della coalizione, ma solo la vincita complessiva.

Esempio 1.3.3 (Rappresentazioni del dilemma del prigioniero) Forma est

Forma strategica

Σ_I = {C, NC}; Σ_II = {C, NC}

f_I (C, C) = −5; f_I (C, NC) = −1; f_I (NC, C) = −6; f_I (NC, NC) = −2

f_II (C, C) = −5; f_II(C, NC) = −6; f_II (NC, C) = −1; f_II (NC, NC) = −2

Forma caratteristica

N = {I, II}

v(∅) = 0; v(I) = v(II) = −5; v(I, II) = −4

In generale la forma estesa contiene più informazione sul gioco rispetto alla forma strategica, che risulta comunque sufficiente a rappresentare un gioco.

Esempio 1.3.4 (Rappresentazioni in forma estesa e in forma strategica) Si considerino i due seguenti giochi:

G1 Due giocatori I e II scelgono contemporaneamente tra due possibili strategie A e B;

se giocano (A, A) oppure (A, B) i payoff sono (0, 2), se giocano (B, A) i payoff sono (−1, 0), se giocano (B, B) i payoff sono (2, 1).

G2 Due giocatori I e II scelgono successivamente tra due possibili strategie A e B; se

il giocatore I gioca A il gioco termina con payoff (0, 2), se gioca B il turno passa al giocatore II; se II gioca A il gioco termina con payoff (−1, 0), se gioca B il gioco termina con payoff (2, 1).

F

Forma strategica

G1 - G2 La forma strategica è la stessa, ma ovviamente è sufficiente a descrivere i giochi in quanto non esiste una differenza sostanziale.

1.4 Teoria dell’utilità

Negli esempi fatti era ovvio quale potesse essere lo scopo dei giocatori, ma in generale è necessario essere più precisi. In questo paragrafo si definiscono i concetti di preferenza e di utilità di von Neumann-Morgenstern che permettono di assegnare e interpretare i valori numerici utilizzati nelle rappresentazioni dei giochi. I giocatori cercano di adottare una strategia che permetta loro di giungere al risultato che preferiscono, cioè vogliono massimizzare la loro utilità; al fine di identificare quale risultato si vuole perseguire è necessario prendere in considerazione valori differenti: economico, sentimentale, sociale, ecc. Ad esempio se un giocatore deve decidere se donare una somma di denaro senza ricevere nulla in cambio, considerando solo i valori monetari la decisione sarebbe sempre non donare.

Definizione 1.4.1

• Dati due eventi A e B si dice che A è preferibile a B per un giocatore se egli cerca di conseguire A invece di B e si indica con A ≻ B.
• Dati due eventi A e B si dice che A è indifferente a B per un giocatore se nessuno è preferibile all’altro e si indica con A ≡ B.

Assiomi

A1 Dati due eventi A e B allora A ≻ B oppure B ≻ A oppure A ≡ B.

A2 A ≡ A.

A3 A ≡ B ⇒ B ≡ A.

A4 A ≡ B, B ≡ C ⇒ A ≡ C.

A5 A ≻ B, B ≻ C ⇒ A ≻ C.

A6 A ≻ B, B ≡ C ⇒ A ≻ C.

A7 A ≡ B, B ≻ C ⇒ A ≻ C.

Osservazione 1.4.1

• L’assioma A1 è detto di completezza delle preferenze o legge di tricotomia; gli assiomi A2, A3 e A4 sono detti rispettivamente di riflessività dell’indifferenza, di simmetria dell’indifferenza e di transitività dell’indifferenza, conseguentemente l’indifferenza è una relazione di equivalenza; l’assioma A5 è detto di transitività della preferenza; gli assiomi A6 e A7 sono detti di transitività della preferenza sull’indifferenza (cfr. Owen, 1994).
• La relazione di preferenza è solo qualitativa e non quantitativa, per cui non si adatta a definire quanto si può ottenere in più a fronte di un rischio maggiore. Inoltre nessun bene soddisfa l’ipotesi di linearità, tranne al più in brevi intervalli.

Gli eventi possono essere certi oppure incerti secondo una probabilità nota; tale situazione viene rappresentata tramite il concetto di lotteria.

Definizione 1.4.2 Dati due eventi A e B si chiama lotteria l’evento rA + (1 − r)B, 0 ≤ r ≤ 1, in cui A si verifica con probabilità r e l’evento B con probabilità 1 − r.

Osservazione 1.4.2

• La lotteria non è una combinazione lineare di eventi, in quanto il risultato può essere solo A o B e non qualcosa di intermedio; la lotteria permette di valutare l’evento “esce A o esce B”.

Proprietà

P1 A ≡ C ⇒ {rA + (1 − r)B} ≡ {rC + (1 − r)B} ∀r, ∀B

P2 A ≻ C ⇒ {rA + (1 − r)B} ≻ {rC + (1 − r)B} r > 0, ∀B

P3 A ≻ C ≻ B ⇒ ∃!r, 0 < r < 1 t.c. {rA + (1 − r)B} ≡ C

Osservazione 1.4.3

• Se un decisore soddisfa gli assiomi A1 - A7 e le proprietà P1 - P3 viene considerato “razionale”.

Esempio 1.4.1 (Preferenze) Siano date le lotterie:

E₁ = {0, 100 con P(0) = 1/2, P(100) = 1/2} E₂ = {40, 60 con P(40) = 3/4, P(60) = 1/4} E₃ = {0, 100, 40, 60 con P(0) = 1/4, P(100) = 1/4, P(40) = 3/8, P(60) = 1/8} Il guadagno atteso di E₁ è 50, quello di E₂ è 45 e quello di E₃ è 47.5, ma questo non impone una preferenza tra i tre eventi, nel senso che E₁ permette guadagni maggiori, E₂ garantisce rischi minori ed E₃ è intermedio; le uniche relazioni da soddisfare sono:

E₁ ≡ E₂ ⇒ E₁ ≡ E₃, E₂ ≡ E₃

oppure

E₁ ≻ E₂ ⇒ E₁ ≻ E₃, E₃ ≻ E₂

oppure

E₂ ≻ E₁ ⇒ E₂ ≻ E₃, E₃ ≻ E₁

Dato un insieme di eventi E, una relazione di preferenza su E può essere rappresentata con una funzione di utilità u : E → R tale che per ogni coppia di eventi E₁, E₂ ∈ E si ha:

E₁ ≻ E₂ ⇔ u(E₁) > u(E₂)

u(rE₁ + (1 − r)E₂) = ru(E₁) + (1 − r)u(E₂)

Osservazione 1.4.4

• La funzione di utilità permette di quantificare le preferenze.
• L’utilità di von Neumann-Morgenstern impone la linearità sulle lotterie. La funzione u è unica a meno di trasformazioni affini, cioè u è una funzione di utilità se e solo se lo è anche:

û = αu + β con α > 0

Esempio 1.4.2 (Funzioni di utilità) Il dilemma del prigioniero può essere rappresentato con una qualunque delle seguenti matrici:

Le tre matrici sono legate dalle relazioni affini:

u^′_I = u_I + 6 u^′′_I = u_I + 1

u^′_II = u_II + 6 u^′′_II = 10u_II + 50

Per evidenziare la differenza tra guadagno e utilità può essere interessante il seguente esempio.

Esempio 1.4.3 (Ultimatum game) Due persone devono dividersi la cifra di 100 euro con le seguenti regole:

• I propone una divisione (numeri interi, lasciando almeno 1 euro a ciascuno)
• se II accetta la divisione proposta, la divisione ha luogo
• se II non accetta la divisione proposta, non si assegna alcuna cifra
• entrambe le persone non sanno e non sapranno mai chi è l’altra. Quale cifra conviene proporre a I? La scelta ottimale del secondo giocatore è accettare sempre. In conseguenza la scelta ottimale del primo giocatore è proporre il massimo.

Nelle sperimentazioni, questa soluzione non si realizza quasi mai, poiché l’utilità reale dei giocatori tiene conto di altri fattori, ad esempio l’equità, e quindi una funzione di utilità che dipende solo dalla quantità di denaro non rappresenta le preferenze dei giocatori.

1.5 Game Form

E’ possibile evidenziare esplicitamente la differenza tra le regole del gioco e le preferenze dei giocatori facendo riferimento alla game form.

Esempio 1.5.1 (Decisore) Si consideri la situazione in cui si deve decidere se uscire con o senza l’ombrello in una giornata con tempo variabile.

Un decisore prudente prende sempre l’ombrello, ma in generale è necessario tenere conto delle preferenze del decisore, eventualmente aggiungendo ulteriori informazioni (distanza da percorrere, caratteristiche dell’ombrello, etc.).

Si consideri un gioco a n giocatori in forma strategica (Σ₁, Σ₂, . . . , Σ_n, f₁, f₂, . . . , f_n). La game form è data da (Σ₁, Σ₂, . . . , Σ_n, E, h) dove E è l’insieme degli eventi finali (o esiti) e h : ∏_i=1,...,n Σ_i → E è una funzione che permette di individuare a quale esito si perviene per ogni profilo di strategie.

Per studiare il comportamento dei giocatori e quindi risolvere il gioco è necessario conoscere le preferenze dei giocatori sui possibili esiti, eventualmente rappresentate da una funzione di utilità

u_i : E → R, i = 1, . . . , n

da cui si ottengono le funzioni di utilità indotte:

pervenendo alla rappresentazione in forma strategica.

1.6 Soluzione di un gioco (Solution concept)

Una volta detto cosa è un gioco e come lo si può rappresentare è necessario specificare cosa vuol dire risolverlo o determinare una soluzione.

Innanzitutto poiché le variabili decisionali non dipendono da un unico giocatore, non è possibile dare una soluzione nel senso della ricerca operativa classica; risolvere un gioco consiste nel fornire delle indicazioni ad uno o più giocatori, eventualmente tutti, sulle strategie da adottare se il gioco è non cooperativo o cooperativo ad utilità non trasferibile, oppure sulla suddivisione della vincita se il gioco è cooperativo ad utilità trasferibile. Ovviamente tali indicazioni non possono essere assolute in quanto bisogna tenere conto di altri fattori alcuni aleatori, altri legati a preferenze e sensazioni del singolo giocatore.

Nell’esempio della battaglia dei sessi se entrambi sono “egoisti” o “altruisti” l’esito è una serata solitaria per entrambi, quindi è necessario che uno sia “egoista” e l’altro “altruista”; d’altra parte è sufficiente che nelle situazioni precedenti sia stata scelta più volte la partita per far si che sia probabile la scelta teatro (o viceversa), senza quindi coinvolgere “egoismo” e “altruismo”, ma solo un sentimento di “parità”.

In altre parole il termine “concetto di soluzione” indica quella che secondo alcuni criteri assoluti è una scelta che può risultare accettabile a tutti i giocatori secondo i loro criteri soggettivi.

Esempio 1.6.1 (Divisione di una torta tra due giocatori) È uno dei problemi più significativi, in quanto molto semplice, molto comune e molto complesso. La soluzione più usuale in cui uno taglia e l’altro sceglie in realtà non è assolutamente equa in quanto può favorire chi sceglie se chi taglia non è preciso, o chi taglia se è a conoscenza di qualche preferenza o “punto debole” di chi sceglie.